1[较难]在数轴上,点A在原点的左侧,点B在原点的右侧,点A距离原点12个单位长度,点B距离原点2个单位长度.
(1)点A对应的数为,点B对应的数为,两点之间的距离为;
(2)若点P为数轴上一点,且$BP=2$,求AP的长;
(3)若点N,Q,M同时向数轴负方向运动,点N从点A出发,点Q从原点出发,点M从点B出发,且点N的运动速度是每秒6个单位长度,点Q的运动速度是每秒8个单位长度,点M的运动速度是每秒2个单位长度.运动过程中,当其中一个点与另外两个点的距离相等时,求这时三个点对应的数各是多少.

(1) 因为点A在原点的左侧,距离原点12个单位长度,所以点A对应的数为-12,同理可得点B对应的数为2,所以A,B两点之间的距离为2-(-12)=2+12=14。
(2) 分两种情况:①当点P在点B的右侧时,AP=AB+BP=14+2=16;②当点P在点B的左侧时,AP=AB-BP=14-2=12. 综上,AP的长是16或12。
(3) 设运动的时间为t秒,则动点N,Q,M对应的数分别为-12-6t,-8t,2-2t. 分三种情况:
①当NQ=QM时,-8t-(-12-6t)=2-2t-(-8t),所以$t=\frac{5}{4}$,此时,点N对应的数为$-12-6×\frac{5}{4}=-19.5$,点Q对应的数为$-8×\frac{5}{4}=-10$,点M对应的数为$2-2×\frac{5}{4}=-0.5$。
②当NQ=NM时,-12-6t-(-8t)=2-2t-(-12-6t),所以t=-13(舍)。
③当MN=MQ时,(2-2t)-(-12-6t)=(2-2t)-(-8t),解得t=6,此时点N表示的数为-12-6×6=-48,点Q表示的数为-8×6=-48,点M表示的数为2-2×6=-10。
综上,点N表示的数为-19.5,点Q表示的数为-10,点M表示的数为-0.5或点N表示的数为-48,点Q表示的数为-48,点M表示的数为-10.

2[中]数轴体现了数形结合的数学思想,若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离表示为$AB=|a-b|$.如:点A表示的数为2,点B表示的数为3,则$AB=|2-3|=1$.
(1)问题提出:如图,数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为13,A,B两点之间的距离$AB=$,到A,B距离相等的点表示的数为.

(2)拓展探究:在(1)的条件下,若点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为t秒$(t＞0)$.
①用含t的式子表示:t秒后,点P表示的数为,点Q表示的数为.
②求当t为何值时,P,Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
(3)类比延伸:在(2)的条件下,如果P,Q两点相遇后按照原来的速度继续运动,当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向,并以原来的速度在线段AB上往复运动,那么t为何值时P,Q两点第二次相遇?求出t的值和此时相遇点所表示的数.

(1) 因为点A表示的数为-2,点B表示的数为13,所以AB=|13-(-2)|=15,到A,B距离相等的点表示的数为$\frac{13-2}{2}=\frac{11}{2}$。
(2) ①t秒后,点P表示的数为-2+3t,点Q表示的数为13-2t。
②根据题意得-2+3t=13-2t,解得t=3,相遇点所表示的数为-2+3×3=7。故当t为3时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数是7。
(3) 由已知得P运动5秒到B,Q运动$\frac{15}{2}$秒到A,第一次返回途中,点P表示的数是13-3(t-5),点Q表示的数是$-2+2(t-\frac{15}{2})$。根据题意得$13-3(t-5)=-2+2(t-\frac{15}{2})$,解得t=9。第二次相遇点所表示的数为13-3×(9-5)=1。故t的值为9,相遇点所表示的数是1。

3[较难]如图,已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,另一动点R从B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,R同时出发,则点P运动秒时,追上点R.

设点P运动x秒时,在点C处追上点R,则AC=6x,BC=4x. 因为AC-BC=AB=10,所以6x-4x=10,解得x=5,所以点P运动5秒时追上点R。