12. 已知关于$x$的方程$(m^2 -6m +10)x^2 -4x +n=0$.
(1)小聪说:该方程一定为一元二次方程.小聪的结论正确吗?请说明理由.
(2)当$m=2$时,
①若该方程有实数解,求$n$的取值范围;
②若该方程的两个实数解分别为$x_1$和$x_2$,满足$(x_1 -2)^2 + (x_2 -2)^2 +n^2=16$,求$n$的值.

解:(1)小聪的结论正确,理由如下:
$\because m^2-6m+10=m^2-6m+9+1=(m-3)^2+1＞0$,
$\therefore$关于$x$的方程$(m^2-6m+10)x^2-4x+n=0$一定是一元二次方程.
(2)①由题意,得原方程为$(2^2-6×2+10)x^2-4x+n=0$,即$2x^2-4x+n=0$.
$\because$该方程有实数解,$\therefore\Delta=(-4)^2-8n≥0$,$\therefore n≤2$.
②$\because$该方程的两个实数解分别为$x_1$和$x_2$,
$\therefore x_1+x_2=2$,$x_1x_2=\dfrac{n}{2}$.
$\because (x_1-2)^2+(x_2-2)^2+n^2=16$,
$\therefore x_1^2-4x_1+4+x_2^2-4x_2+4+n^2=16$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-4(x_1+x_2)+8+n^2=16$,
$\therefore n^2-n-12=0$,解得$n=4$或$n=-3$.
$\because n≤2$,$\therefore n=-3$.

13.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程$x^2 -10x +24=0$的一个根，则菱形ABCD的边CD的长为（）

A.4
B.6
C.4或6
D.8

B

14.学校课外兴趣活动小组准备利用长8 m的墙AB和一段长26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙的一边CD的长为x m.
(1)如图①，如果矩形苗圃园的一边在墙AB上，另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60 m²时，求x的值；
(2)如图②，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当苗圃园的面积为60 m²时，求x的值.

解:(1)$\because$篱笆的总长为26 m,平行于墙的一边CD的长为$x$ m,$\therefore$垂直于墙的一边CE的长为$\dfrac{26-x}{2}$ m.
根据题意,得$\dfrac{26-x}{2}· x=60$,即$x^2-26x+120=0$,
解得$x_1=6$,$x_2=20$(不符合题意,舍去).
答:$x$的值为6.
(2)$\because$篱笆的总长为26 m,平行于墙的一边CD的长为$x$ m,
$\therefore$垂直于墙的一边AC的长为$\dfrac{26+8-2x}{2}=(17-x)$m.
根据题意,得$(17-x)x=60$,即$x^2-17x+60=0$,
解得$x_1=5$(不符合题意,舍去),$x_2=12$.
答:$x$的值为12.

15.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多地得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？
(2)商场平均每天可能盈利1700元吗？请说明理由.

解:(1)设每件衬衫应降价$x$元,则平均每天可销售$(20+2x)$件,根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1200$,
整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$,$x_2=20$.
$\because$要扩大销售量,减少库存,$\therefore x=20$.
答:每件衬衫应降价20元.
(2)不可能.理由如下:
根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1700$,
整理,得$x^2-30x+450=0$.
$\because\Delta=(-30)^2-4×1×450=-900＜0$,
$\therefore$该方程无实数根,
$\therefore$商场平均每天不可能盈利1700元.