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1.(2025·从化区模拟)已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是 (
A.$k ＞ -1$
B.$k ＜ 1$
C.$k ＜ 1$且$k ≠ 0$
D.$k ＞ -1$且$k ≠ 0$
C
)A.$k ＞ -1$
B.$k ＜ 1$
C.$k ＜ 1$且$k ≠ 0$
D.$k ＞ -1$且$k ≠ 0$
答案
C
2.已知$(m-1)x^{|m+1|}-3x-5=0$是一元二次方程，则$m=$
-3
.答案
-3
3.(2025·朝阳区期末)已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$有一个根为$x=0$，则$a=$
-1
答案
-1
4.已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$的常数项为0.
求:(1)$m$的值；
(2)此一元二次方程的解.
求:(1)$m$的值；
(2)此一元二次方程的解.
答案
解:(1)由题意,得$m^2 - 3m + 2 = 0$,
解得$m=2$或$m=1$.
$\because m-1≠0,\therefore m≠1,\therefore m=2$.
(2)将$m=2$代入$(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$,
得$x^2+5x=0$,即$x(x+5)=0$,
解得$x_1=0,x_2=-5$.
解得$m=2$或$m=1$.
$\because m-1≠0,\therefore m≠1,\therefore m=2$.
(2)将$m=2$代入$(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$,
得$x^2+5x=0$,即$x(x+5)=0$,
解得$x_1=0,x_2=-5$.
5.若$4a + 2b + c = 0$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$必有一根为（
A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$-2$或$2$
C
）A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$-2$或$2$
答案
C
6.(2025·高新区期末)如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx -5 =0$有一个根为2000，那么方程$a(x+1)^2 + b(x+1)=5$必有一个根为
1999
.答案
1999
7.(2025·天台期末)若$x_1=2025,x_2=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根,则方程$ax^2+bx-\dfrac{2027}{2025}c=0$的解为
$x_1=2027,x_2=-1$
.答案
$x_1=2027,x_2=-1$
8.已知$(x^2 + y^2 + 1)(x^2 + y^2 - 3)=5$，则$x^2 + y^2$的值为
4
。答案
4
9. 下列方程中,满足两个实数根的和等于3的方程是 （
A.$2x^2 + 6x - 5 = 0$
B.$2x^2 - 3x - 5 = 0$
C.$2x^2 - 6x + 5 = 0$
D.$2x^2 - 6x - 5 = 0$
D
）A.$2x^2 + 6x - 5 = 0$
B.$2x^2 - 3x - 5 = 0$
C.$2x^2 - 6x + 5 = 0$
D.$2x^2 - 6x - 5 = 0$
答案
D
10.(2025·苏州模拟)已知关于$x$的方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$，若$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，则$m$的值为
-3
。答案
-3
11.(2025·高邮期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(a+2)x + a^2 -5=0$有实数根.
(1)求$a$的取值范围；
(2)若方程的两根为$x_1,x_2$，且$x_1^2 + x_2^2=44$，求$a$的值.
(1)求$a$的取值范围；
(2)若方程的两根为$x_1,x_2$，且$x_1^2 + x_2^2=44$，求$a$的值.
答案
解:(1)因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(a+2)x + a^2 -5=0$有实数根,
所以$\Delta=[-2(a+2)]^2 -4(a^2 -5)≥ 0$,
解得$a≥ -\dfrac{9}{4}$,
故$a$的取值范围是$a≥ -\dfrac{9}{4}$.
(2)因为方程的两根为$x_1,x_2$,
所以$x_1+x_2=2a+4$,$x_1x_2=a^2 -5$.
又因为$x_1^2+x_2^2=44$,
所以$(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=44$,
则$(2a+4)^2 -2(a^2 -5)=44$,
解得$a=1$或$a=-9$.
又因为$a≥ -\dfrac{9}{4}$,所以$a=1$.
所以$\Delta=[-2(a+2)]^2 -4(a^2 -5)≥ 0$,
解得$a≥ -\dfrac{9}{4}$,
故$a$的取值范围是$a≥ -\dfrac{9}{4}$.
(2)因为方程的两根为$x_1,x_2$,
所以$x_1+x_2=2a+4$,$x_1x_2=a^2 -5$.
又因为$x_1^2+x_2^2=44$,
所以$(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=44$,
则$(2a+4)^2 -2(a^2 -5)=44$,
解得$a=1$或$a=-9$.
又因为$a≥ -\dfrac{9}{4}$,所以$a=1$.
