10.若$m=a^2+b^2-1,n=2a-4b-7$,请比较$m$与$n$的大小.

10.解:$\because m-n=a^2+b^2-1-(2a-4b-7)=a^2+b^2-2a+4b+6=a^2-2a+1+b^2+4b+4+1=(a-1)^2+(b+2)^2+1＞0,$
$\therefore m＞n.$

11.若$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2+b^2+c^2+3=2a+2b+2c$,试判断$△ ABC$的形状.

11.解:$\because a^2+b^2+c^2+3=2a+2b+2c,$
$\therefore a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0,$
$\therefore (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0,$
$\therefore a-1=0,b-1=0,c-1=0,\therefore a=1,b=1,c=1,$
$\therefore a=b=c,\therefore △ ABC$为等边三角形.

12.(2025·高邮期末)若实数$a,b$满足$a+b^2=1$,则$a^2+4b^2$的最小值是.

12.1

13. 新定义（2025·姜堰区期末）定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(ac≠0)$有一个根是$c$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程$x^2+2x-3=0$是否为“黄金方程”,请说明理由;
(2)已知关于$x$的一元二次方程$2x^2+bx+c=0(c≠0)$是“黄金方程”,求代数式$b^2-2c+1$的最小值.

13.解:(1)是“黄金方程”,理由如下:
$\because x^2+2x-3=0,\therefore (x+3)(x-1)=0,$
$\therefore x+3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=-3,x_2=1.$
$\because c=-3,\therefore$一元二次方程$x^2+2x-3=0$是“黄金方程”.
(2)$\because$关于x的一元二次方程$2x^2+bx+c=0(c≠0)$是“黄金方程”,
$\therefore 2c^2+bc+c=0.$
$\because c≠0,\therefore 2c=-b-1,$
$\therefore b^2-2c+1=b^2+b+1+1=(b+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}.$
$\because (b+\frac{1}{2})^2\ge0,\therefore b^2-2c+1$的最小值为$\frac{7}{4}.$

14. 阅读理解 配方法是一种重要的解决问题的数学方法,可以求代数式的最大值或最小值.例如,求代数式 $x^2 + 2x - 4$ 的最小值.
$x^2 + 2x - 4=(x^2 + 2x + 1)-5=(x+1)^2 -5$,可知当 $x=-1$ 时,$x^2 + 2x -4$ 有最小值,最小值是-5.
再例如,求代数式 $-3x^2 +6x -4$ 的最大值.
$-3x^2 +6x -4=-3(x^2 -2x +1)-4 +3=-3(x-1)^2 -1$,可知当 $x=1$ 时,$-3x^2 +6x -4$ 有最大值,最大值是-1.
【直接应用】(1)求代数式 $x^2 +4x -3$ 的最小值;
【类比应用】(2)已知多项式 $M=a^2 +b^2 -2a +3b +2025$,试求 $M$ 的最小值;
【知识迁移】(3)如图,学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地,菜地的一面靠墙(墙足够长),求围成的菜地的最大面积.

14.解:(1)$x^2+4x-3=(x+2)^2-7,$
$\therefore$当$x=-2$时,$x^2+4x-3$有最小值,最小值是$-7.$
(2)$M=a^2+b^2-2a+3b+2025=(a-1)^2+(b+\frac{3}{2})^2+\frac{8087}{4},\therefore$当$a=1,b=-\frac{3}{2}$时,$M$有最小值$\frac{8087}{4},$
$\therefore M$的最小值是$\frac{8087}{4}.$
(3)设垂直于墙的一边长为x米,则平行于墙的一边长为$(20-2x)$米.
根据题意,得$S=x(20-2x)=20x-2x^2=-2(x^2-10x)=-2(x-5)^2+50,$
$\therefore$当$x=5$时,$S$有最大值,最大值是50.
答:围成的菜地的最大面积是50平方米.