1. 已知$abc≠0$，方程$ax^2+bx+c=0$①，$bx^2+cx+a=0$②，$cx^2+ax+b=0$③恰有一个公共解.
(1)求这个公共解；
(2)若$a=1,b=2$，求$c$的值，并解这三个方程.

(1)解:设公共解为 $x=k$,则 $ak^2 + bk + c=0,bk^2 + ck +a=0,ck^2 + ak + b=0.$
将这三个式子相加,得$(a+b+c)k^2+(a+b+c)k+(a+b+c)=0$,即$(a+b+c)(k^2+k+1)=0.$
因为 $k^2 +k +1=(k+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}＞0$,所以 $a+b+c=0.$
把 $a+b+c=0$,即 $c=-a-b$ 代入方程①,得 $ax^2+bx-a-b=0$,因式分解,得$(x-1)(ax+a+b)=0$,所以 $x=1$ 是公共解.
(2)$\because a=1,b=2$,由 $a+b+c=0$,得 $c=-3$.
方程①:$x^2+2x-3=0$,因式分解,得$(x+3)(x-1)=0$,解得 $x_1=1,x_2=-3$.
方程②:$2x^2-3x+1=0$,因式分解,得$(2x-1)(x-1)=0$,解得 $x_1=1,x_2=\dfrac{1}{2}$.
方程③:$-3x^2+x+2=0$,因式分解,得$(-3x-2)(x-1)=0$,解得 $x_1=1,x_2=-\dfrac{2}{3}$.

2.阅读理解:德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿”.
(1)如图①,点C把线段AB分成两部分,如果$\frac{CB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$,那么称点C为线段AB的黄金分割点.在图中,若$AB=12$,则$AC=$.(保留根号)

第2题图①
(2)宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为2($MN=2$)的矩形纸片折叠黄金矩形.
第一步 在矩形纸片一端,利用图②的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步 如图③,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步 如图④,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图中所示的AD处.
第四步 展平纸片,按照所得的点D折出DE,使$DE⊥ ND$,则图⑤中就出现黄金矩形.

问题解决:
①图④中$AB=$;(保留根号)
②请写出图⑤中所有的黄金矩形,并证明;
③请结合图⑤,在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并证明.

(1)$6\sqrt{5}-6$
(2)①$\sqrt{5}$
②解:题图⑤中的黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.
$\because AD=AB=\sqrt{5},AN=AC=1,BC=2$,
$\therefore CD=AD-AC=\sqrt{5}-1,DN=\sqrt{5}+1$,
$\because \dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2},\dfrac{MN}{DN}=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore$矩形BCDE,矩形MNDE是黄金矩形.
③解:如答图,在矩形BCDE上添加线段GH,使四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求作的黄金矩形.

证明:$\because CD=GH=DH=\sqrt{5}-1,DE=MN=2$,
$\therefore EH=DE-DH=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$,
$\because \dfrac{EH}{GH}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore$四边形BGHE为黄金矩形.