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17 如图,半圆 O 的直径 $DE=12\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=30°$,$BC=12\ \mathrm{cm}$.半圆 O 以 2 cm/s 的速度从左向右运动,当圆心 O 运动到点 B 时停止,点 D,E 始终在直线 BC 上.设运动时间为 t s,运动开始时,半圆 O 在 $△ ABC$ 的左侧,$OC=8\ \mathrm{cm}$.当 t 为何值时,$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的一边所在直线与半圆 O 所在的圆相切?
答案
17.【解】①当半圆O运动到点E与点C重合时，
∵AC⊥OE，OC=OE=6 cm，此时AC与半圆O所在的圆相切，
∴点O运动了2 cm，运动时间为2÷2=1(s)，
∴t=1。
②当圆心O运动到AC右侧，且半圆O所在的圆与AC相切时，OC=6 cm，
∴点O运动了8+6=14(cm)，运动时间为14÷2=7(s)，
∴t=7。
③如图，过C点作CF⊥AB，交AB于F点。
∵∠ABC=30°，BC=12 cm，
∴FO=6 cm。当半圆O所在的圆与AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6 cm，且圆心O又在直线BC上，
∴点O与点C重合，即当O点运动到C点时，半圆O所在的圆与AB相切，此时点O运动了8 cm，运动时间为8÷2=4(s)，
∴t=4。
综上，当t为1，4，7时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切。
解析
【分析】
解决本题的核心依据是直线与圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先明确半圆半径为6cm，由于半圆的直径DE始终在直线BC上，因此直线BC不可能与圆相切，只需分情况讨论AC、AB与半圆所在圆相切的情况即可：
1. 针对AC与圆相切的情况：因为AC⊥BC，圆心O到AC的距离等于OC的长度，因此分O在C左侧、O在C右侧两种情况，分别计算O移动的路程，结合速度即可求出对应时间；
2. 针对AB与圆相切的情况：利用含30°角的直角三角形的性质，找到BC上到AB距离为6cm的点的位置，计算O移动的路程即可求出对应时间。最后汇总所有符合条件的t值即可。
【解析】
已知半圆O的直径DE=12cm，因此半圆半径$r=6\ \mathrm{cm}$，初始时$OC=8\ \mathrm{cm}$，半圆运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，分三种情况讨论：
① 当半圆O运动到点E与点C重合时，$AC⊥ OE$，此时$OC=OE=6\ \mathrm{cm}$，满足圆心O到AC的距离等于半径，AC与半圆O所在的圆相切。
此时点O向右运动的路程为$8-6=2\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=2÷2=1(\mathrm{s})$。
② 当圆心O运动到AC右侧，且半圆O所在的圆与AC相切时，此时$OC=6\ \mathrm{cm}$（圆心到AC的距离等于半径）。
此时点O向右运动的路程为$8+6=14\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=14÷2=7(\mathrm{s})$。
③ 如图，过C点作$CF⊥ AB$，交AB于F点。
$\because∠ ABC=30°$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$CF=BC·\sin30°=12×\frac{1}{2}=6\ \mathrm{cm}$，即点C到AB的距离为6cm，等于半圆半径。
因此当点O运动到与点C重合时，圆心O到AB的距离等于半径，半圆O所在的圆与AB相切。
此时点O向右运动的路程为$8\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=8÷2=4(\mathrm{s})$。
【答案】
当t为1，4，7时，$\mathrm{Rt}△ ABC$的一边所在直线与半圆O所在的圆相切。
【知识点】
直线与圆相切的判定；含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论
【点评】
本题是动态几何与圆的切线性质结合的经典题型，解题关键是抓住相切时“圆心到直线距离等于半径”的核心性质，对所有可能的相切情况分类讨论避免漏解，同时结合动点的路程、速度、时间的关系求解，能够有效考查几何性质的应用能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心依据是直线与圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先明确半圆半径为6cm，由于半圆的直径DE始终在直线BC上，因此直线BC不可能与圆相切，只需分情况讨论AC、AB与半圆所在圆相切的情况即可：
1. 针对AC与圆相切的情况：因为AC⊥BC，圆心O到AC的距离等于OC的长度，因此分O在C左侧、O在C右侧两种情况，分别计算O移动的路程，结合速度即可求出对应时间；
2. 针对AB与圆相切的情况：利用含30°角的直角三角形的性质，找到BC上到AB距离为6cm的点的位置，计算O移动的路程即可求出对应时间。最后汇总所有符合条件的t值即可。
【解析】
已知半圆O的直径DE=12cm，因此半圆半径$r=6\ \mathrm{cm}$，初始时$OC=8\ \mathrm{cm}$，半圆运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，分三种情况讨论：
① 当半圆O运动到点E与点C重合时，$AC⊥ OE$，此时$OC=OE=6\ \mathrm{cm}$，满足圆心O到AC的距离等于半径，AC与半圆O所在的圆相切。
此时点O向右运动的路程为$8-6=2\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=2÷2=1(\mathrm{s})$。
② 当圆心O运动到AC右侧，且半圆O所在的圆与AC相切时，此时$OC=6\ \mathrm{cm}$（圆心到AC的距离等于半径）。
此时点O向右运动的路程为$8+6=14\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=14÷2=7(\mathrm{s})$。
③ 如图，过C点作$CF⊥ AB$，交AB于F点。
$\because∠ ABC=30°$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$CF=BC·\sin30°=12×\frac{1}{2}=6\ \mathrm{cm}$，即点C到AB的距离为6cm，等于半圆半径。
因此当点O运动到与点C重合时，圆心O到AB的距离等于半径，半圆O所在的圆与AB相切。
此时点O向右运动的路程为$8\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=8÷2=4(\mathrm{s})$。
【答案】
当t为1，4，7时，$\mathrm{Rt}△ ABC$的一边所在直线与半圆O所在的圆相切。
【知识点】
直线与圆相切的判定；含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论
【点评】
本题是动态几何与圆的切线性质结合的经典题型，解题关键是抓住相切时“圆心到直线距离等于半径”的核心性质，对所有可能的相切情况分类讨论避免漏解，同时结合动点的路程、速度、时间的关系求解，能够有效考查几何性质的应用能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
18 如图，$△ ABC$是圆$O$的内接三角形，连接$BO$并延长交$AC$于点$D$，设$∠ ACB=α$，$∠ BAC=mα$。
(1)若$α=30°$，求$∠ ABD$的度数。
(2)若$∠ ADB=nα+90°$，求证：$m+n=1$。
(3)若弧$AB$的长是$\odot O$周长的$\dfrac{1}{4}$，$2∠ ADB=5∠ CBD$，求$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}$的值。
(1)若$α=30°$，求$∠ ABD$的度数。
(2)若$∠ ADB=nα+90°$，求证：$m+n=1$。
(3)若弧$AB$的长是$\odot O$周长的$\dfrac{1}{4}$，$2∠ ADB=5∠ CBD$，求$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}$的值。
答案
18. (1)【解】连接OA，如图(1)。
∵∠ACB=α=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°。
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2)【证明】延长BD交⊙O于E，连接CE，如图(2)。
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°−α。在△CDE中，∠E=∠BAC=mα，∠EDC=∠ADB=nα+90°，
∴∠DCE=180°−∠E−∠EDC=90°−mα−nα，即∠ACE=90°−mα−nα，
∴90°−α=90°−mα−nα，
∴m+n=1。
(3)【解】过点D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，连接AO，如图(3)。
∵弧AB的长是⊙O周长的$\frac{1}{4}$，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∴△DCM，△BDN都是等腰直角三角形。
∵2∠ADB=5∠CBD，
∴2(∠CBD+∠ACB)=5∠CBD，
∴2∠ACB=3∠CBD，
∴∠CBD=30°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠CBD−∠ABO=60°。设MD=MC=t，则在Rt△DCM中，CD=$\sqrt{2}$t。在Rt△BDM中，BD=2DM=2t。在Rt△BDN中，DN=$\sqrt{2}$t。在Rt△ADN中，AD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}t$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△BCD}}=\frac{AD}{CD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
思路分析
(2)延长BD交⊙O于E，连接CE，用两种方法表示∠ACE，写出等式变形即可证明。
思路分析
(3)分为AB=CB，AD是⊙O切线；AB=AD，AD是⊙O切线；AB=AD，CD是⊙O切线三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可。
解析
【分析】
(1) 求∠ABD的度数时，利用圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，连接OA得到弧AB对应的圆心角∠AOB，再结合OA=OB判定△AOB为等边三角形，即可求出∠ABD。
(2) 证明m+n=1需建立角度等量关系：延长BD为直径BE，连接CE，利用直径所对圆周角为直角得到∠BCE=90°，再结合同弧所对圆周角相等、三角形内角和定理，用两种形式表示∠ACE，联立等式化简即可得证。
(3) 求面积比时，先根据弧AB占周长的$\frac{1}{4}$求出圆心角∠AOB=90°，进而得到∠ACB=45°；再利用三角形外角性质和已知角度关系求出∠CBD的度数，通过作高构造特殊直角三角形，求出AD与CD的长度比，同高的两个三角形面积比等于底的比，即可得到结果。
【解析】
(1) 连接OA，如图(1)。
∵∠ACB=α=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°。
∵OA=OB（⊙O的半径相等），
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2) 证明：延长BD交⊙O于E，连接CE，如图(2)。
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°−α。
在△CDE中，同弧AB所对的圆周角相等，故∠E=∠BAC=mα；对顶角相等，故∠EDC=∠ADB=nα+90°。
由三角形内角和为180°得：∠DCE=180°−∠E−∠EDC=90°−mα−nα，即∠ACE=90°−mα−nα，
∴90°−α=90°−mα−nα，
化简得m+n=1。
(3) 过点D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，连接AO，如图(3)。
∵弧AB的长是⊙O周长的$\frac{1}{4}$，
∴∠AOB=$\frac{1}{4}$×360°=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°，
由圆周角定理得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°。
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB=∠CBD+∠ACB，
又2∠ADB=5∠CBD，
∴2(∠CBD+45°)=5∠CBD，解得∠CBD=30°。
∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−45°−(45°+30°)=60°。
设MD=MC=t：
在Rt△DCM中，CD=$\sqrt{MD^2+MC^2}=\sqrt{2}t$；
在Rt△BDM中，∠CBD=30°，故BD=2MD=2t；
在Rt△BDN中，∠ABO=45°，故DN=BD·sin45°=$\sqrt{2}t$；
在Rt△ADN中，∠BAC=60°，故AD=$\frac{DN}{sin60°}=\frac{2\sqrt{6}}{3}t$。
△ABD与△BCD同高（以B为顶点，AC为底），故$\frac{S_{△ABD}}{S_{△BCD}}=\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}t}{\sqrt{2}t}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) 已证得$\boldsymbol{m+n=1}$
(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，特殊直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，梯度设置合理，既考查了圆周角定理、直径的性质等基础知识点，也对辅助线构造、角度推导、特殊三角形边长计算的能力有一定要求，能有效考查学生对圆相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠ABD的度数时，利用圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，连接OA得到弧AB对应的圆心角∠AOB，再结合OA=OB判定△AOB为等边三角形，即可求出∠ABD。
(2) 证明m+n=1需建立角度等量关系：延长BD为直径BE，连接CE，利用直径所对圆周角为直角得到∠BCE=90°，再结合同弧所对圆周角相等、三角形内角和定理，用两种形式表示∠ACE，联立等式化简即可得证。
(3) 求面积比时，先根据弧AB占周长的$\frac{1}{4}$求出圆心角∠AOB=90°，进而得到∠ACB=45°；再利用三角形外角性质和已知角度关系求出∠CBD的度数，通过作高构造特殊直角三角形，求出AD与CD的长度比，同高的两个三角形面积比等于底的比，即可得到结果。
【解析】
(1) 连接OA，如图(1)。
∵∠ACB=α=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°。
∵OA=OB（⊙O的半径相等），
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2) 证明：延长BD交⊙O于E，连接CE，如图(2)。
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°−α。
在△CDE中，同弧AB所对的圆周角相等，故∠E=∠BAC=mα；对顶角相等，故∠EDC=∠ADB=nα+90°。
由三角形内角和为180°得：∠DCE=180°−∠E−∠EDC=90°−mα−nα，即∠ACE=90°−mα−nα，
∴90°−α=90°−mα−nα，
化简得m+n=1。
(3) 过点D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，连接AO，如图(3)。
∵弧AB的长是⊙O周长的$\frac{1}{4}$，
∴∠AOB=$\frac{1}{4}$×360°=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°，
由圆周角定理得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°。
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB=∠CBD+∠ACB，
又2∠ADB=5∠CBD，
∴2(∠CBD+45°)=5∠CBD，解得∠CBD=30°。
∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−45°−(45°+30°)=60°。
设MD=MC=t：
在Rt△DCM中，CD=$\sqrt{MD^2+MC^2}=\sqrt{2}t$；
在Rt△BDM中，∠CBD=30°，故BD=2MD=2t；
在Rt△BDN中，∠ABO=45°，故DN=BD·sin45°=$\sqrt{2}t$；
在Rt△ADN中，∠BAC=60°，故AD=$\frac{DN}{sin60°}=\frac{2\sqrt{6}}{3}t$。
△ABD与△BCD同高（以B为顶点，AC为底），故$\frac{S_{△ABD}}{S_{△BCD}}=\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}t}{\sqrt{2}t}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) 已证得$\boldsymbol{m+n=1}$
(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，特殊直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，梯度设置合理，既考查了圆周角定理、直径的性质等基础知识点，也对辅助线构造、角度推导、特殊三角形边长计算的能力有一定要求，能有效考查学生对圆相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
19 新考法[2026江苏常州期中]有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”.
(1)关于“对分四边形”,下列说法正确的是
①菱形是“对分四边形”；
②“对分四边形”至少有两组邻边相等；
③“对分四边形”的对角线互相平分.
(2)如图(1),PA为$\odot O$的切线,A为切点.在$\odot O$上是否存在点B,C,使以P,A,B,C为顶点的四边形是“对分四边形”?
小明的作法:
①以P为圆心,PA长为半径作弧,与$\odot O$交于点B；
②连接PO并延长,交$\odot O$于点C；
③点B,C即为所求.
请根据小明的作法补全图形,并证明四边形PACB是“对分四边形”.
(3)如图(2),$\odot O$的半径为5,AB是$\odot O$的弦,AB=8,点C是$\odot O$上的动点,若存在四边形ABCD是“对分四边形”,且有一条边所在的直线是$\odot O$的切线,直接写出AC的长度.
图(2)
(1)关于“对分四边形”,下列说法正确的是
①②
. (填所有正确的序号)①菱形是“对分四边形”；
②“对分四边形”至少有两组邻边相等；
③“对分四边形”的对角线互相平分.
(2)如图(1),PA为$\odot O$的切线,A为切点.在$\odot O$上是否存在点B,C,使以P,A,B,C为顶点的四边形是“对分四边形”?
小明的作法:
①以P为圆心,PA长为半径作弧,与$\odot O$交于点B；
②连接PO并延长,交$\odot O$于点C；
③点B,C即为所求.
请根据小明的作法补全图形,并证明四边形PACB是“对分四边形”.
(3)如图(2),$\odot O$的半径为5,AB是$\odot O$的弦,AB=8,点C是$\odot O$上的动点,若存在四边形ABCD是“对分四边形”,且有一条边所在的直线是$\odot O$的切线,直接写出AC的长度.
图(2)
答案
19.【解】(1)
∵菱形的两条对角线分别平分两组对角，
∴菱形是“对分四边形”，故①正确。
∵“对分四边形”被平分对角的对角线分成的两个三角形全等，
∴至少两组邻边相等，故②正确。两个底边相等，腰不相等的等腰三角形底边重合拼在一起，此时组成的四边形是“对分四边形”，但对角线不互相平分，故③错误。故答案为①②。
(2)补全图形如图(1)。证明：如图(1)，连接OA，OB。
∵OA=OB，PA=PB，PO=PO，
∴△POA≌△POB(SSS)，
∴∠APC=∠BPC。
∵PC=PC，
∴△PAC≌△PBC(SAS)，
∴∠ACP=∠BCP，
∴四边形APBC是“对分四边形”。
(3)AC的长度为$\frac{48}{5}$或$4\sqrt{5}$或8。
①如图(2)，当CB=AB，DA=DC，AD是⊙O的切线时，由对称性可知，此时AD，DC都是⊙O的切线。连接BO并延长交AC于E，连接OA，OC。
∵BA=BC，OA=OC，
∴BE⊥AC，AC=2AE。设OE=x。
∵AE²=OA²−OE²=AB²−BE²，
∴5²−x²=8²−(5+x)²，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\sqrt{OA^2−OE^2}=\frac{24}{5}$，
∴AC=$\frac{48}{5}$。
②如图(3)，当AB=AD，CD=CB，AD是⊙O的切线时，连接CO并延长交AB于F，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE。
∵AD是⊙O的切线，
∴∠CAD+∠EAC=90°。
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠E=90°，
∴∠CAD=∠E。又
∵∠B=∠E，
∴∠CAD=∠B。
∵△BAC≌△DAC(SSS)，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠B=∠CAB，
∴AC=BC。连接OB，又
∵OA=OB，
∴CF⊥AB，AF=BF=4，
∴OF=$\sqrt{OA^2−AF^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$，
∴CF=OC+FO=8，
∴AC=$\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
③如图(4)，当AB=AD，CD=CB，CD是⊙O的切线时，由②可得∠ACD=∠B，∠ACD=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AC=AB=8。综上所述，AC的长度为$\frac{48}{5}$或$4\sqrt{5}$或8。
解析
【分析】
本题为新定义类几何综合题，解题需紧扣“对分四边形”的定义（有一条对角线平分一组对角的四边形）分析：
(1) 结合菱形性质、全等三角形判定逐一判断三个说法的正误，判断错误结论可通过举反例验证；
(2) 先按小明的作法补全图形，要证明四边形PACB是对分四边形，需证对角线PC平分∠APB和∠ACB，可先通过SSS证△POA≌△POB得到∠APC=∠BPC，再通过SAS证△PAC≌△PBC得到∠ACP=∠BCP，即可符合定义；
(3) 分类讨论哪条边是⊙O的切线、哪条对角线平分对角，结合切线性质、垂径定理、勾股定理分别计算AC的长度，注意避免漏解。
【解析】
(1) ①菱形的对角线平分两组对角，符合“对分四边形”的定义，故①正确；
②“对分四边形”中，平分对角的对角线将四边形分成两个全等三角形，因此至少有两组邻边相等，故②正确；
③将两个底边相等、腰不相等的等腰三角形沿底边重合拼接，得到的四边形是“对分四边形”，但对角线不互相平分，故③错误。
(2) 补全图形如图(1)。
证明：如图(1)，连接OA，OB。
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
由作图可知PA=PB，又
∵PO=PO，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠APC=∠BPC，
又
∵PC=PC，PA=PB，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴∠ACP=∠BCP，
即对角线PC平分∠APB和∠ACB，
∴四边形APBC是“对分四边形”。
(3) 分三种情况讨论：
①如图(2)，当CB=AB，DA=DC，AD是⊙O的切线时，由对称性可知AD、DC均为⊙O的切线。连接BO并延长交AC于E，连接OA、OC。
∵BA=BC，OA=OC，
∴BE垂直平分AC，即AC=2AE。
设OE=x，则BE=OB+OE=5+x，
在Rt△AOE中，AE²=OA²−OE²=5²−x²，
在Rt△ABE中，AE²=AB²−BE²=8²−(5+x)²，
∴25−x²=64−(25+10x+x²)，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\sqrt{5^2-(\frac{7}{5})^2}=\frac{24}{5}$，
∴AC=2AE=$\frac{48}{5}$。
②如图(3)，当AB=AD，CD=CB，AD是⊙O的切线时，连接CO并延长交AB于F，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE。
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，即∠CAD+∠EAC=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，即∠EAC+∠E=90°，
∴∠CAD=∠E，又
∵同弧所对的圆周角相等，∠B=∠E，
∴∠CAD=∠B，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△BAC≌△DAC（SSS），
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠B=∠CAB，
∴AC=BC。
又
∵OA=OB，
∴CF垂直平分AB，即AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{OA^2−AF^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$，
∴CF=OC+OF=5+3=8，
在Rt△AFC中，AC=$\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
③如图(4)，当AB=AD，CD=CB，CD是⊙O的切线时，同②可证△BAC≌△DAC，得∠ACD=∠ACB，结合切线性质和圆周角性质可推导得∠B=∠ACB，
∴AC=AB=8。
综上，AC的长度为$\frac{48}{5}$或$4\sqrt{5}$或8。
【答案】
(1) $\boxed{①②}$
(2) 补全图形如下，证明见解析：
(3) $\boxed{\frac{48}{5}}$或$\boxed{4\sqrt{5}}$或$\boxed{8}$，对应图如下：
【知识点】
新定义几何问题、圆的切线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题以新定义“对分四边形”为载体，综合考查了菱形性质、圆的相关性质、勾股定理、垂径定理等知识点，渗透了分类讨论的数学思想，要求学生能够紧扣新定义分析问题，对综合推理能力和作图分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题为新定义类几何综合题，解题需紧扣“对分四边形”的定义（有一条对角线平分一组对角的四边形）分析：
(1) 结合菱形性质、全等三角形判定逐一判断三个说法的正误，判断错误结论可通过举反例验证；
(2) 先按小明的作法补全图形，要证明四边形PACB是对分四边形，需证对角线PC平分∠APB和∠ACB，可先通过SSS证△POA≌△POB得到∠APC=∠BPC，再通过SAS证△PAC≌△PBC得到∠ACP=∠BCP，即可符合定义；
(3) 分类讨论哪条边是⊙O的切线、哪条对角线平分对角，结合切线性质、垂径定理、勾股定理分别计算AC的长度，注意避免漏解。
【解析】
(1) ①菱形的对角线平分两组对角，符合“对分四边形”的定义，故①正确；
②“对分四边形”中，平分对角的对角线将四边形分成两个全等三角形，因此至少有两组邻边相等，故②正确；
③将两个底边相等、腰不相等的等腰三角形沿底边重合拼接，得到的四边形是“对分四边形”，但对角线不互相平分，故③错误。
(2) 补全图形如图(1)。
证明：如图(1)，连接OA，OB。
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
由作图可知PA=PB，又
∵PO=PO，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠APC=∠BPC，
又
∵PC=PC，PA=PB，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴∠ACP=∠BCP，
即对角线PC平分∠APB和∠ACB，
∴四边形APBC是“对分四边形”。
(3) 分三种情况讨论：
①如图(2)，当CB=AB，DA=DC，AD是⊙O的切线时，由对称性可知AD、DC均为⊙O的切线。连接BO并延长交AC于E，连接OA、OC。
∵BA=BC，OA=OC，
∴BE垂直平分AC，即AC=2AE。
设OE=x，则BE=OB+OE=5+x，
在Rt△AOE中，AE²=OA²−OE²=5²−x²，
在Rt△ABE中，AE²=AB²−BE²=8²−(5+x)²，
∴25−x²=64−(25+10x+x²)，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\sqrt{5^2-(\frac{7}{5})^2}=\frac{24}{5}$，
∴AC=2AE=$\frac{48}{5}$。
②如图(3)，当AB=AD，CD=CB，AD是⊙O的切线时，连接CO并延长交AB于F，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE。
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，即∠CAD+∠EAC=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，即∠EAC+∠E=90°，
∴∠CAD=∠E，又
∵同弧所对的圆周角相等，∠B=∠E，
∴∠CAD=∠B，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△BAC≌△DAC（SSS），
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠B=∠CAB，
∴AC=BC。
又
∵OA=OB，
∴CF垂直平分AB，即AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{OA^2−AF^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$，
∴CF=OC+OF=5+3=8，
在Rt△AFC中，AC=$\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
③如图(4)，当AB=AD，CD=CB，CD是⊙O的切线时，同②可证△BAC≌△DAC，得∠ACD=∠ACB，结合切线性质和圆周角性质可推导得∠B=∠ACB，
∴AC=AB=8。
综上，AC的长度为$\frac{48}{5}$或$4\sqrt{5}$或8。
【答案】
(1) $\boxed{①②}$
(2) 补全图形如下，证明见解析：
(3) $\boxed{\frac{48}{5}}$或$\boxed{4\sqrt{5}}$或$\boxed{8}$，对应图如下：
【知识点】
新定义几何问题、圆的切线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题以新定义“对分四边形”为载体，综合考查了菱形性质、圆的相关性质、勾股定理、垂径定理等知识点，渗透了分类讨论的数学思想，要求学生能够紧扣新定义分析问题，对综合推理能力和作图分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
