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10 如图,过D,A,C三点的圆的圆心为E,过B,E,F三点的圆的圆心为D,如果∠A=63°,那么∠B的度数为
18°
.答案
10. 18° 【解析】连接DE。
∵过D，A，C三点的圆的圆心为E，
∴∠C+$\frac{1}{2}$∠AED=180°。
∵过B，E，F三点的圆的圆心为D，
∴∠BED=∠DBE，
∴∠AED=180°−∠B，
∴∠C=90°+$\frac{1}{2}$∠B。
∵∠A+∠C+∠B=180°，
∴63°+90°+$\frac{1}{2}$∠B+∠B=180°，
∴∠B=18°。故答案为18°。
∵过D，A，C三点的圆的圆心为E，
∴∠C+$\frac{1}{2}$∠AED=180°。
∵过B，E，F三点的圆的圆心为D，
∴∠BED=∠DBE，
∴∠AED=180°−∠B，
∴∠C=90°+$\frac{1}{2}$∠B。
∵∠A+∠C+∠B=180°，
∴63°+90°+$\frac{1}{2}$∠B+∠B=180°，
∴∠B=18°。故答案为18°。
解析
【分析】
遇到含多个圆的圆心的几何题，首先联想到同圆的所有半径相等，可得到多组等腰三角形，再利用等腰三角形性质、三角形内外角关系、内角和定理推导角的数量关系。本题要求∠B的度数，可先连接辅助线DE，设∠B为未知数，用含未知数的式子表示出△ABC的另外两个内角，再根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
连接DE。
∵过D、A、C三点的圆的圆心为E，
∴EA=EC=ED，可得∠C + $\frac{1}{2}$∠AED = 180°。
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴DB=DE，
∴∠BED=∠DBE=∠B，因此∠AED=180°-∠BED=180°-∠B。
将∠AED代入上式可得：∠C = 90° + $\frac{1}{2}$∠B。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，有∠A + ∠B + ∠C = 180°，已知∠A=63°，代入得：
63° + ∠B + 90° + $\frac{1}{2}$∠B = 180°，
整理得$\frac{3}{2}$∠B = 27°，解得∠B=18°。
【答案】
18°
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题，解题的核心是通过连接DE构造等腰三角形，将圆的性质转化为角的等量关系，再结合三角形内角和建立方程求解，能够有效考察学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
遇到含多个圆的圆心的几何题，首先联想到同圆的所有半径相等，可得到多组等腰三角形，再利用等腰三角形性质、三角形内外角关系、内角和定理推导角的数量关系。本题要求∠B的度数，可先连接辅助线DE，设∠B为未知数，用含未知数的式子表示出△ABC的另外两个内角，再根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
连接DE。
∵过D、A、C三点的圆的圆心为E，
∴EA=EC=ED，可得∠C + $\frac{1}{2}$∠AED = 180°。
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴DB=DE，
∴∠BED=∠DBE=∠B，因此∠AED=180°-∠BED=180°-∠B。
将∠AED代入上式可得：∠C = 90° + $\frac{1}{2}$∠B。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，有∠A + ∠B + ∠C = 180°，已知∠A=63°，代入得：
63° + ∠B + 90° + $\frac{1}{2}$∠B = 180°，
整理得$\frac{3}{2}$∠B = 27°，解得∠B=18°。
【答案】
18°
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题，解题的核心是通过连接DE构造等腰三角形，将圆的性质转化为角的等量关系，再结合三角形内角和建立方程求解，能够有效考察学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
11[2026浙江温州调研]如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴正半轴的夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x的取值范围是
$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
.答案
11. $-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$ 【解析】
∵直线AB与x轴正半轴的夹角为45°，
∴设直线AB的表达式为y=x+b。如图，当直线AB与⊙O相切，且切点在第四象限时，设切点为C，连接OC，则OC⊥AB。又
∵∠OPC=45°，
∴△AOC是等腰直角三角形。
∵⊙O的半径为1，
∴OC=PC=1，
∴OP=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴P($\sqrt{2}$,0)。当直线AB与⊙O相切，且切点在第二象限时，同理可得P($-\sqrt{2}$,0)，
∴$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先明确“直线与圆有公共点”等价于直线与圆相交或相切，对应性质为圆心到直线的距离小于等于圆的半径。我们先找直线与圆相切的临界状态，计算此时点P的横坐标，再结合对称性得到另一侧的临界值，最终确定x的取值范围：第一步根据直线与x轴夹角为45°确定直线斜率；第二步分析相切时构成的直角三角形，结合45°角和半径长度，用勾股定理计算OP的长度；第三步考虑切点在第二象限、第四象限两种情况，得到两个临界x值，进而推出取值范围。
【解析】
当直线AB与⊙O相切时，为直线与圆有公共点的临界情况，此时圆心O到直线AB的距离等于半径1。
∵直线AB与x轴正半轴的夹角为45°，
∴设直线AB的表达式为y=x+b。
如图，当直线AB与⊙O相切，且切点在第四象限时，设切点为C，连接OC，则OC⊥AB，OC=1。
∵∠OPC=45°，∠OCP=90°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴OC=PC=1，由勾股定理可得$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，此时P点坐标为$(\sqrt{2},0)$。
当直线AB与⊙O相切，且切点在第二象限时，同理可得此时P点坐标为$(-\sqrt{2},0)$。
∴若直线AB与⊙O有公共点，x的取值范围是$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题需要结合直线与圆的位置关系确定临界状态，利用特殊角的三角形性质计算边界值，解题时要注意全面考虑两种相切的情况，避免遗漏负区间的取值。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“直线与圆有公共点”等价于直线与圆相交或相切，对应性质为圆心到直线的距离小于等于圆的半径。我们先找直线与圆相切的临界状态，计算此时点P的横坐标，再结合对称性得到另一侧的临界值，最终确定x的取值范围：第一步根据直线与x轴夹角为45°确定直线斜率；第二步分析相切时构成的直角三角形，结合45°角和半径长度，用勾股定理计算OP的长度；第三步考虑切点在第二象限、第四象限两种情况，得到两个临界x值，进而推出取值范围。
【解析】
当直线AB与⊙O相切时，为直线与圆有公共点的临界情况，此时圆心O到直线AB的距离等于半径1。
∵直线AB与x轴正半轴的夹角为45°，
∴设直线AB的表达式为y=x+b。
如图，当直线AB与⊙O相切，且切点在第四象限时，设切点为C，连接OC，则OC⊥AB，OC=1。
∵∠OPC=45°，∠OCP=90°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴OC=PC=1，由勾股定理可得$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，此时P点坐标为$(\sqrt{2},0)$。
当直线AB与⊙O相切，且切点在第二象限时，同理可得此时P点坐标为$(-\sqrt{2},0)$。
∴若直线AB与⊙O有公共点，x的取值范围是$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题需要结合直线与圆的位置关系确定临界状态，利用特殊角的三角形性质计算边界值，解题时要注意全面考虑两种相切的情况，避免遗漏负区间的取值。
【难度系数】
0.7
12 如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交$\overset{\frown}{BC}$于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为
(第12题图)
(第14题图)
$\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$
.(第12题图)
(第14题图)
答案
12. $\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$ 【解析】如图，作点D关于OB的对称点D'，连接D'C交OB于点E'，连接E'D，OD'，此时E'C+E'D为EC+ED的最小值，即E'C+E'D=CD'的长度。由题意得∠COD=∠DOB=∠BOD'=30°，
∴∠COD'=90°，
∴CD'=$\sqrt{OC^2+OD'^2}=2\sqrt{2}$。
∵$\widehat{CD}$的长为$\frac{30π×2}{180}=\frac{π}{3}$，
∴阴影部分周长的最小值为$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}=\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$。故答案为$\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$。
解析
【分析】
要计算阴影部分周长的最小值，首先明确阴影部分周长由固定长度的弧$\overset{\frown}{CD}$和两条动线段CE、ED的长度和组成。因为弧$\overset{\frown}{CD}$的长度为定值，因此只需让CE+ED的和最小即可。这属于典型的“将军饮马”最短路径问题，解决方法是作点D关于动点所在直线OB的对称点D'，利用轴对称性质得ED=ED'，将CE+ED转化为CE+ED'，当C、E、D'三点共线时，CE+ED'的和最小，等于线段CD'的长度，最后计算CD'和弧$\overset{\frown}{CD}$的长度，相加即可得到最小周长。
【解析】
作点D关于OB的对称点D'，连接D'C交OB于点E'，连接E'D、OD'，此时E'C+E'D=E'C+E'D'=CD'，即为EC+ED的最小值。
∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠DOB=30°。
由轴对称的性质可得∠BOD'=∠DOB=30°，OD'=OD=OC=OB=2，
∴∠COD'=∠COD+∠DOB+∠BOD'=30°+30°+30°=90°。
在Rt△COD'中，由勾股定理得：$CD'=\sqrt{OC^2+OD'^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
弧$\overset{\frown}{CD}$的长：$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπr}{180}=\frac{30π×2}{180}=\frac{π}{3}$，
因此阴影部分周长的最小值为$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}=\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$。
【答案】
$\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$
【知识点】
最短路径问题，弧长计算，轴对称性质
【点评】
本题结合了扇形性质、几何最值模型和基础几何计算，解题核心是利用轴对称转化动线段的和，将动态问题转化为静态线段长度计算，同时要求熟练掌握弧长公式和勾股定理的应用，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分周长的最小值，首先明确阴影部分周长由固定长度的弧$\overset{\frown}{CD}$和两条动线段CE、ED的长度和组成。因为弧$\overset{\frown}{CD}$的长度为定值，因此只需让CE+ED的和最小即可。这属于典型的“将军饮马”最短路径问题，解决方法是作点D关于动点所在直线OB的对称点D'，利用轴对称性质得ED=ED'，将CE+ED转化为CE+ED'，当C、E、D'三点共线时，CE+ED'的和最小，等于线段CD'的长度，最后计算CD'和弧$\overset{\frown}{CD}$的长度，相加即可得到最小周长。
【解析】
作点D关于OB的对称点D'，连接D'C交OB于点E'，连接E'D、OD'，此时E'C+E'D=E'C+E'D'=CD'，即为EC+ED的最小值。
∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠DOB=30°。
由轴对称的性质可得∠BOD'=∠DOB=30°，OD'=OD=OC=OB=2，
∴∠COD'=∠COD+∠DOB+∠BOD'=30°+30°+30°=90°。
在Rt△COD'中，由勾股定理得：$CD'=\sqrt{OC^2+OD'^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
弧$\overset{\frown}{CD}$的长：$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπr}{180}=\frac{30π×2}{180}=\frac{π}{3}$，
因此阴影部分周长的最小值为$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}=\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$。
【答案】
$\frac{6\sqrt{2}+π}{3}$
【知识点】
最短路径问题，弧长计算，轴对称性质
【点评】
本题结合了扇形性质、几何最值模型和基础几何计算，解题核心是利用轴对称转化动线段的和，将动态问题转化为静态线段长度计算，同时要求熟练掌握弧长公式和勾股定理的应用，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6
13[2026江苏南京调研]已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$I$是$△ ABC$的内心，若$∠ BIC = ∠ BOC$，则$∠ BAC$的度数是
$60°$或$108°$
。答案
13. 60°或108° 【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图(1)所示。
∵I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°−∠IBC−∠ICB=180°−$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−$\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°−\frac{1}{2}(180°−∠A)=180°−90°+\frac{1}{2}∠A=90°+\frac{1}{2}∠A$。
∵∠O=2∠A，∠BIC=∠BOC，
∴$90°+\frac{1}{2}∠A=2∠A$，
∴∠A=60°。
当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示。
∵I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°−∠IBC−∠ICB=180°−$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−$\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°−\frac{1}{2}(180°−∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$。
∵∠BOC=2(180°−∠A)，∠BIC=∠BOC，
∴$90°+\frac{1}{2}∠A=2(180°−∠A)$，
∴∠A=108°。当△ABC是直角三角形时，不符合题意。故答案为60°或108°。
易错警示
本题要分△ABC是锐角、钝角或直角三角形三种情况进行讨论，不要默认其为锐角三角形，从而导致答案不完整。
解析
【分析】
解题需先明确两个核心性质：一是三角形内心是内角平分线的交点，可推导得到∠BIC和∠BAC的固定数量关系；二是圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍。由于题干未给出△ABC的形状，需分锐角三角形、钝角三角形两种情况讨论∠BOC的表达式，直角三角形经验证不符合题意，最后结合∠BIC=∠BOC列方程求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当△ABC是锐角三角形时，如图(1)所示：
∵I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°−∠IBC−∠ICB=180°−$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−$\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°−\frac{1}{2}(180°−∠BAC)=90°+\frac{1}{2}∠BAC$。
根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC，已知∠BIC=∠BOC，
∴$90°+\frac{1}{2}∠BAC=2∠BAC$，
解得∠BAC=60°。
②当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示：
同理可得∠BIC=$90°+\frac{1}{2}∠BAC$，
此时∠BOC=2(180°−∠BAC)，已知∠BIC=∠BOC，
∴$90°+\frac{1}{2}∠BAC=2(180°−∠BAC)$，
解得∠BAC=108°。
当△ABC是直角三角形时，代入验证不符合题意，故舍去。
【答案】
60°或108°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题易因默认△ABC为锐角三角形导致漏解，解题时要注意结合图形分类讨论，熟练掌握内心、圆心角、圆周角的相关性质，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.5
解题需先明确两个核心性质：一是三角形内心是内角平分线的交点，可推导得到∠BIC和∠BAC的固定数量关系；二是圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍。由于题干未给出△ABC的形状，需分锐角三角形、钝角三角形两种情况讨论∠BOC的表达式，直角三角形经验证不符合题意，最后结合∠BIC=∠BOC列方程求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当△ABC是锐角三角形时，如图(1)所示：
∵I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°−∠IBC−∠ICB=180°−$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−$\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°−\frac{1}{2}(180°−∠BAC)=90°+\frac{1}{2}∠BAC$。
根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC，已知∠BIC=∠BOC，
∴$90°+\frac{1}{2}∠BAC=2∠BAC$，
解得∠BAC=60°。
②当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示：
同理可得∠BIC=$90°+\frac{1}{2}∠BAC$，
此时∠BOC=2(180°−∠BAC)，已知∠BIC=∠BOC，
∴$90°+\frac{1}{2}∠BAC=2(180°−∠BAC)$，
解得∠BAC=108°。
当△ABC是直角三角形时，代入验证不符合题意，故舍去。
【答案】
60°或108°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题易因默认△ABC为锐角三角形导致漏解，解题时要注意结合图形分类讨论，熟练掌握内心、圆心角、圆周角的相关性质，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.5
14 如图，∠ACB=45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设$t=PE+\sqrt{2}PF$，则t的取值范围是
$2\sqrt{2} ≤ t ≤ 4+2\sqrt{2}$
。答案
14. $2\sqrt{2} ≤ t ≤ 4+2\sqrt{2}$ 【解析】如图，设半径为2的⊙O与角的两边相切于点M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，
∴∠CND=∠OMD=90°。
∵∠ACB=45°，
∴△CND是等腰直角三角形，
∴∠CDN=45°，
∴△OMD是等腰直角三角形。
∵ON=OM=2，
∴OD=2$\sqrt{2}$，
∴CN=DN=2+2$\sqrt{2}$。如图(1)，延长EP交CB于Q。
∵EQ⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CEQ=∠PFQ=90°。
∵∠ACB=45°，
∴∠EQC=45°，
∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，
∴CE=EQ，PQ=$\sqrt{2}$PF，
∴t=PE+$\sqrt{2}$PF=PE+PQ=EQ。当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值。连接OP，则四边形ENOP是正方形，
∴EN=OP=2，
∴t的最大值为EQ=CE=CN+EN=2+2$\sqrt{2}$+2=4+2$\sqrt{2}$。
如图(2)，延长EP交CB于Q，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的左侧时，t有最小值。连接OP，同理可得t=PE+$\sqrt{2}$PF=PE+PQ=EQ=CE=CN−EN=2$\sqrt{2}$，即t的最小值为2$\sqrt{2}$。故t的取值范围是$2\sqrt{2} ≤ t ≤ 4+2\sqrt{2}$。故答案为$2\sqrt{2} ≤ t ≤ 4+2\sqrt{2}$。
关键点拨
分3种情况讨论：①当半圆O运动到点E与点C重合时；②当圆心O运动到AC右侧，且半圆O所在的圆与AC相切时；③当半圆O所在的圆与AB相切时。
解析
【分析】
本题要求$t=PE+\sqrt{2}PF$的取值范围，首先结合已知$∠ ACB=45°$，看到$\sqrt{2}$的系数可联想到等腰直角三角形的三边关系，优先考虑将$\sqrt{2}PF$转化为线段长度。首先根据圆与角两边相切的性质，连接圆心到切点的半径，得到垂直关系，先算出点C到相关切点的线段长度；接着通过延长PE交BC于Q，构造等腰直角三角形，将$\sqrt{2}PF$转化为PQ，此时t就转化为线段EQ的长度，EQ是垂直于AC的线段，其长度的最值出现在EQ与$\odot O$相切的位置，最后结合圆的半径计算最值即可得到t的范围。
【解析】
设$\odot O$与$∠ ACB$的两边AC、BC分别相切于点N、M，连接ON、OM，延长NO交CB于点D。
由切线的性质可得：$∠ CND=∠ OMD=90°$。
$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore △ CND$为等腰直角三角形，$∠ CDN=45°$，进而$△ OMD$也为等腰直角三角形。
已知$\odot O$半径$ON=OM=2$，$\therefore OD=\sqrt{2}OM=2\sqrt{2}$，$\therefore DN=ON+OD=2+2\sqrt{2}$，等腰$Rt△ CND$中$CN=DN=2+2\sqrt{2}$。
①求t的最大值：
如图(1)，延长EP交CB于点Q。
$\because EQ⊥ AC$，$PF⊥ BC$，$\therefore ∠ CEQ=∠ PFQ=90°$，又$∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ EQC=45°$，即$△ ECQ$、$△ PFQ$均为等腰直角三角形。
$\therefore CE=EQ$，$PQ=\sqrt{2}PF$，因此$t=PE+\sqrt{2}PF=PE+PQ=EQ$。
当EQ与$\odot O$相切，且点P在圆心O右侧时，t取最大值。连接OP，此时四边形ENOP为正方形，$EN=OP=2$，
$\therefore t_{最大值}=EQ=CE=CN+EN=2+2\sqrt{2}+2=4+2\sqrt{2}$。
②求t的最小值：
如图(2)，同理延长EP交CB于Q，当EQ与$\odot O$相切，且点P在圆心O左侧时，t取最小值。
同理可得$t=PE+\sqrt{2}PF=EQ=CE=CN-EN=2+2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2} ≤ t ≤ 4+2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质，等腰直角三角形的性质，最值求解
【点评】
本题重点考查数形结合思想与转化思想，解题的关键是利用45°角的特殊性将含根号的代数式转化为可求最值的线段长度，结合圆的切线性质确定最值位置，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题要求$t=PE+\sqrt{2}PF$的取值范围，首先结合已知$∠ ACB=45°$，看到$\sqrt{2}$的系数可联想到等腰直角三角形的三边关系，优先考虑将$\sqrt{2}PF$转化为线段长度。首先根据圆与角两边相切的性质，连接圆心到切点的半径，得到垂直关系，先算出点C到相关切点的线段长度；接着通过延长PE交BC于Q，构造等腰直角三角形，将$\sqrt{2}PF$转化为PQ，此时t就转化为线段EQ的长度，EQ是垂直于AC的线段，其长度的最值出现在EQ与$\odot O$相切的位置，最后结合圆的半径计算最值即可得到t的范围。
【解析】
设$\odot O$与$∠ ACB$的两边AC、BC分别相切于点N、M，连接ON、OM，延长NO交CB于点D。
由切线的性质可得：$∠ CND=∠ OMD=90°$。
$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore △ CND$为等腰直角三角形，$∠ CDN=45°$，进而$△ OMD$也为等腰直角三角形。
已知$\odot O$半径$ON=OM=2$，$\therefore OD=\sqrt{2}OM=2\sqrt{2}$，$\therefore DN=ON+OD=2+2\sqrt{2}$，等腰$Rt△ CND$中$CN=DN=2+2\sqrt{2}$。
①求t的最大值：
如图(1)
，延长EP交CB于点Q。$\because EQ⊥ AC$，$PF⊥ BC$，$\therefore ∠ CEQ=∠ PFQ=90°$，又$∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ EQC=45°$，即$△ ECQ$、$△ PFQ$均为等腰直角三角形。
$\therefore CE=EQ$，$PQ=\sqrt{2}PF$，因此$t=PE+\sqrt{2}PF=PE+PQ=EQ$。
当EQ与$\odot O$相切，且点P在圆心O右侧时，t取最大值。连接OP，此时四边形ENOP为正方形，$EN=OP=2$，
$\therefore t_{最大值}=EQ=CE=CN+EN=2+2\sqrt{2}+2=4+2\sqrt{2}$。
②求t的最小值：
如图(2)
，同理延长EP交CB于Q，当EQ与$\odot O$相切，且点P在圆心O左侧时，t取最小值。同理可得$t=PE+\sqrt{2}PF=EQ=CE=CN-EN=2+2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2} ≤ t ≤ 4+2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质，等腰直角三角形的性质，最值求解
【点评】
本题重点考查数形结合思想与转化思想，解题的关键是利用45°角的特殊性将含根号的代数式转化为可求最值的线段长度，结合圆的切线性质确定最值位置，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共44分)
15[2025江苏无锡期中]如图,已知$\overset{\frown}{AB}$.
(1)在$\overset{\frown}{AB}$上作点C,使$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$的长度比为1:3;(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接AB,若$AB=8$,$\overset{\frown}{AB}$上的点到AB的最大距离为2,求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径长.(如果需要图形,请使用备用图)
15[2025江苏无锡期中]如图,已知$\overset{\frown}{AB}$.
(1)在$\overset{\frown}{AB}$上作点C,使$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$的长度比为1:3;(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接AB,若$AB=8$,$\overset{\frown}{AB}$上的点到AB的最大距离为2,求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径长.(如果需要图形,请使用备用图)
答案
15.【解】(1)如图(1)，点C即为所求。
(2)如图(2)，设$\widehat{AB}$所在圆的圆心为O，作半径OD⊥AB于点E，连接OA。设OA=OD=r。
∵OD⊥AB，
∴AE=EB=4。
∵$\widehat{AB}$上的点到AB的最大距离为2，
∴ED=2，
∴OE=r−2。
∵在Rt△AEO中，OA²=AE²+OE²，
∴r²=4²+(r−2)²，解得r=5，
∴$\widehat{AB}$所在圆的半径长为5。
解析
【分析】
(1) 要使$\overset{\frown}{AC}:\overset{\frown}{BC}=1:3$，需将$\overset{\frown}{AB}$四等分，$\overset{\frown}{AC}$占1份、$\overset{\frown}{BC}$占3份。首先通过作两条弦的垂直平分线确定$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，先作$\overset{\frown}{AB}$的中点将弧二等分，再作其中一段半弧的中点，即可得到满足比例要求的点C。
(2) 弧上的点到弦AB的最大距离，是垂直于AB的半径与弧的交点到AB的线段长度。可作垂直于AB的半径构造直角三角形，结合垂径定理得到AB的半长，再用半径表示出直角三角形的直角边，利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
(1) 按尺规作图要求操作，最终得到的点C即为所求，作图痕迹保留即可。
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，作半径$OD⊥ AB$于点E，连接OA，设$OA=OD=r$。
∵$OD⊥ AB$，根据垂径定理，
∴$AE=EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵$\overset{\frown}{AB}$上的点到AB的最大距离为2，
∴$ED=2$，则$OE=OD-ED=r-2$。
在$Rt△ AEO$中，由勾股定理得$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开化简：$r^2=16+r^2-4r+4$，
解得$r=5$。
【答案】
(1) 如图(1)，点C即为所求。
(2) $\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径长为5。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题综合考查尺规作图和圆的相关计算，第一问需要理解弧长比与弧等分的对应关系，掌握弧所在圆圆心的确定方法；第二问的关键是明确弧上点到弦的最大距离对应的线段，结合垂径定理构造直角三角形，用方程思想求解，侧重对基础操作能力和几何计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要使$\overset{\frown}{AC}:\overset{\frown}{BC}=1:3$，需将$\overset{\frown}{AB}$四等分，$\overset{\frown}{AC}$占1份、$\overset{\frown}{BC}$占3份。首先通过作两条弦的垂直平分线确定$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，先作$\overset{\frown}{AB}$的中点将弧二等分，再作其中一段半弧的中点，即可得到满足比例要求的点C。
(2) 弧上的点到弦AB的最大距离，是垂直于AB的半径与弧的交点到AB的线段长度。可作垂直于AB的半径构造直角三角形，结合垂径定理得到AB的半长，再用半径表示出直角三角形的直角边，利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
(1) 按尺规作图要求操作，最终得到的点C即为所求，作图痕迹保留即可。
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，作半径$OD⊥ AB$于点E，连接OA，设$OA=OD=r$。
∵$OD⊥ AB$，根据垂径定理，
∴$AE=EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵$\overset{\frown}{AB}$上的点到AB的最大距离为2，
∴$ED=2$，则$OE=OD-ED=r-2$。
在$Rt△ AEO$中，由勾股定理得$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开化简：$r^2=16+r^2-4r+4$，
解得$r=5$。
【答案】
(1) 如图(1)，点C即为所求。
(2) $\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径长为5。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题综合考查尺规作图和圆的相关计算，第一问需要理解弧长比与弧等分的对应关系，掌握弧所在圆圆心的确定方法；第二问的关键是明确弧上点到弦的最大距离对应的线段，结合垂径定理构造直角三角形，用方程思想求解，侧重对基础操作能力和几何计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
16[2026广东广州期末]如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB=CD$，$OE ⊥ CD$，$OF ⊥ AB$，垂足分别为E，F。比较CE和AF的大小，并证明你的结论。
答案
16.【解】CE=AF，证明如下：
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，AF=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=CD，
∴CE=AF。
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，AF=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=CD，
∴CE=AF。
解析
【分析】
要比较CE和AF的大小，首先观察已知条件：题目给出OE⊥CD、OF⊥AB，且O是圆心，可联想到垂径定理，利用垂径定理可得到CE与CD、AF与AB的数量关系；再结合已知AB=CD的条件，即可推导出CE和AF的大小关系。
【解析】
CE=AF，证明如下：
∵OE⊥CD，OF⊥AB，O是⊙O的圆心，根据垂径定理，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，AF=$\frac{1}{2}$AB。
又
∵AB=CD，
∴$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，即CE=AF。
【答案】
CE=AF
【知识点】
垂径定理；等量代换
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心考查垂径定理的直接应用，解题时只需结合已知条件，利用垂径定理建立待比较线段与已知等弦的数量关系，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.9
要比较CE和AF的大小，首先观察已知条件：题目给出OE⊥CD、OF⊥AB，且O是圆心，可联想到垂径定理，利用垂径定理可得到CE与CD、AF与AB的数量关系；再结合已知AB=CD的条件，即可推导出CE和AF的大小关系。
【解析】
CE=AF，证明如下：
∵OE⊥CD，OF⊥AB，O是⊙O的圆心，根据垂径定理，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，AF=$\frac{1}{2}$AB。
又
∵AB=CD，
∴$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，即CE=AF。
【答案】
CE=AF
【知识点】
垂径定理；等量代换
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心考查垂径定理的直接应用，解题时只需结合已知条件，利用垂径定理建立待比较线段与已知等弦的数量关系，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.9
