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1 如图，∠ACB = ∠ADC = 90°，BC = a，AC = b，AB = c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（
A.$\frac{b^2}{c}$
B.$\frac{b^2}{a}$
C.$\frac{ab}{c}$
D.$\frac{a^2}{c}$
A
）A.$\frac{b^2}{c}$
B.$\frac{b^2}{a}$
C.$\frac{ab}{c}$
D.$\frac{a^2}{c}$
答案
1. A 【解析】
∵ △ABC∽△CAD,
∴ $\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,即$CD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}$,
∴ 要使△ABC∽△CAD,只要CD等于$\frac{b^2}{c}$,故选 A.
∵ △ABC∽△CAD,
∴ $\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,即$CD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}$,
∴ 要使△ABC∽△CAD,只要CD等于$\frac{b^2}{c}$,故选 A.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确两个三角形均为直角三角形，已知相似关系△ABC∽△CAD，解题核心是找准相似三角形的对应边。首先两个直角∠ACB和∠ADC是对应角，对应顶点为C→D；再根据相似三角形的顶点书写顺序，可得A→C、B→A、C→D的对应关系，因此可列出与CD相关的对应边比例式，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
∵ △ABC∽△CAD，∠ACB=∠ADC=90°，
∴ 对应边成比例，即$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
将AC=b，AB=c代入得：
$CD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}$，
因此要使△ABC∽△CAD，CD等于$\frac{b^2}{c}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是根据相似的书写顺序准确找到对应边，避免对应边匹配错误导致计算失误，掌握相似三角形的对应关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确两个三角形均为直角三角形，已知相似关系△ABC∽△CAD，解题核心是找准相似三角形的对应边。首先两个直角∠ACB和∠ADC是对应角，对应顶点为C→D；再根据相似三角形的顶点书写顺序，可得A→C、B→A、C→D的对应关系，因此可列出与CD相关的对应边比例式，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
∵ △ABC∽△CAD，∠ACB=∠ADC=90°，
∴ 对应边成比例，即$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
将AC=b，AB=c代入得：
$CD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}$，
因此要使△ABC∽△CAD，CD等于$\frac{b^2}{c}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是根据相似的书写顺序准确找到对应边，避免对应边匹配错误导致计算失误，掌握相似三角形的对应关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
2已知两个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为1,4和3,12,则这两个直角三角形
相似
.(填“相似”或“不相似”)答案
2. 相似 【解析】
∵ 两个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为1,4和3,12,且1:3=4:12,
∴ 这两个直角三角形相似,故答案为相似.
∵ 两个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为1,4和3,12,且1:3=4:12,
∴ 这两个直角三角形相似,故答案为相似.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，首先回忆直角三角形相似的特殊判定定理：若一个直角三角形的一条直角边和斜边与另一个直角三角形的对应直角边、斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似。我们先分别计算两个三角形已知直角边的比值、斜边的比值，再判断两个比值是否相等，若相等则两三角形相似，反之不相似。
【解析】
已知两个三角形均为直角三角形，
第一个三角形的已知直角边长为1，斜边长为4；第二个三角形的已知直角边长为3，斜边长为12。
计算对应边的比值：
直角边的比为$\frac{1}{3}$，斜边的比为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
可得$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，即两组对应边成比例。
根据直角三角形相似的判定定理：若两个直角三角形的一组直角边和斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似，因此这两个直角三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
1. 直角三角形相似的判定
2. 比例的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形相似的判定方法，解题的关键是验证两组对应边的比值是否相等，熟练掌握相关判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
要判断两个直角三角形是否相似，首先回忆直角三角形相似的特殊判定定理：若一个直角三角形的一条直角边和斜边与另一个直角三角形的对应直角边、斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似。我们先分别计算两个三角形已知直角边的比值、斜边的比值，再判断两个比值是否相等，若相等则两三角形相似，反之不相似。
【解析】
已知两个三角形均为直角三角形，
第一个三角形的已知直角边长为1，斜边长为4；第二个三角形的已知直角边长为3，斜边长为12。
计算对应边的比值：
直角边的比为$\frac{1}{3}$，斜边的比为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
可得$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，即两组对应边成比例。
根据直角三角形相似的判定定理：若两个直角三角形的一组直角边和斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似，因此这两个直角三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
1. 直角三角形相似的判定
2. 比例的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形相似的判定方法，解题的关键是验证两组对应边的比值是否相等，熟练掌握相关判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
3 [2026河南南阳质检]如图,正方形ABCD中,Q是BC边上一点.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作CD的垂直平分线;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若(1)中所作的垂直平分线交CD于P,连接AP,PQ,当AP = 2PQ时,求证:△PCQ ∽ △ADP.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作CD的垂直平分线;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若(1)中所作的垂直平分线交CD于P,连接AP,PQ,当AP = 2PQ时,求证:△PCQ ∽ △ADP.
答案
3. (1)【解】如图(1)所示,直线 MN 即为所求.
解析
【分析】
(1) 作CD的垂直平分线属于基本尺规作图，思路为：分别以C、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧会在CD上下方各产生一个交点，过这两个交点作直线，就得到CD的垂直平分线，保留作图痕迹即可。
(2) 要证明△PCQ与△ADP相似，首先观察到正方形的内角都是90°，可得∠D=∠C=90°，两个三角形均为直角三角形，接下来只需证明两组直角边对应成比例即可。首先由垂直平分线的性质可知P是CD的中点，即DP=PC=$\frac{1}{2}CD$，结合正方形边长相等的性质，可通过设参数，结合AP=2PQ的条件和勾股定理求出CQ的长度，进而得到两组直角边的比值相等，即可利用相似判定定理完成证明。
【解析】
(1) 作图：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于M、N两点，过M、N作直线MN，即为所求的CD的垂直平分线。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ D=∠ C=90°$，
∵ 所作直线是CD的垂直平分线，且交CD于点P，
∴ P是CD的中点，即$DP=PC=\frac{1}{2}CD$，
∴ $DP=PC=\frac{1}{2}AD$，即$\frac{AD}{PC}=2$。
设$PC=DP=a$，则$AD=CD=2a$，
在$Rt△ ADP$中，由勾股定理得：
$AP^2=AD^2+DP^2=(2a)^2+a^2=5a^2$，
∵ $AP=2PQ$，
∴ $PQ=\frac{1}{2}AP$，则$PQ^2=\frac{1}{4}AP^2=\frac{5a^2}{4}$，
在$Rt△ PCQ$中，由勾股定理得：
$CQ^2=PQ^2-PC^2=\frac{5a^2}{4}-a^2=\frac{a^2}{4}$，
∴ $CQ=\frac{a}{2}$，
∴ $\frac{DP}{CQ}=\frac{a}{\frac{a}{2}}=2$，
∴ $\frac{AD}{PC}=\frac{DP}{CQ}=2$，
又
∵ $∠ D=∠ C=90°$，
∴ $△ PCQ ∽ △ ADP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1)
(2) $△ PCQ ∽ △ ADP$，结论成立。
【知识点】
尺规作垂直平分线；正方形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，作图部分考查垂直平分线的基本作图方法，证明部分需要结合正方形性质、勾股定理推导边的比例关系，再运用相似三角形的判定定理完成证明，侧重对基础知识点的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.7
(1) 作CD的垂直平分线属于基本尺规作图，思路为：分别以C、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧会在CD上下方各产生一个交点，过这两个交点作直线，就得到CD的垂直平分线，保留作图痕迹即可。
(2) 要证明△PCQ与△ADP相似，首先观察到正方形的内角都是90°，可得∠D=∠C=90°，两个三角形均为直角三角形，接下来只需证明两组直角边对应成比例即可。首先由垂直平分线的性质可知P是CD的中点，即DP=PC=$\frac{1}{2}CD$，结合正方形边长相等的性质，可通过设参数，结合AP=2PQ的条件和勾股定理求出CQ的长度，进而得到两组直角边的比值相等，即可利用相似判定定理完成证明。
【解析】
(1) 作图：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于M、N两点，过M、N作直线MN，即为所求的CD的垂直平分线。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ D=∠ C=90°$，
∵ 所作直线是CD的垂直平分线，且交CD于点P，
∴ P是CD的中点，即$DP=PC=\frac{1}{2}CD$，
∴ $DP=PC=\frac{1}{2}AD$，即$\frac{AD}{PC}=2$。
设$PC=DP=a$，则$AD=CD=2a$，
在$Rt△ ADP$中，由勾股定理得：
$AP^2=AD^2+DP^2=(2a)^2+a^2=5a^2$，
∵ $AP=2PQ$，
∴ $PQ=\frac{1}{2}AP$，则$PQ^2=\frac{1}{4}AP^2=\frac{5a^2}{4}$，
在$Rt△ PCQ$中，由勾股定理得：
$CQ^2=PQ^2-PC^2=\frac{5a^2}{4}-a^2=\frac{a^2}{4}$，
∴ $CQ=\frac{a}{2}$，
∴ $\frac{DP}{CQ}=\frac{a}{\frac{a}{2}}=2$，
∴ $\frac{AD}{PC}=\frac{DP}{CQ}=2$，
又
∵ $∠ D=∠ C=90°$，
∴ $△ PCQ ∽ △ ADP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1)
(2) $△ PCQ ∽ △ ADP$，结论成立。
【知识点】
尺规作垂直平分线；正方形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，作图部分考查垂直平分线的基本作图方法，证明部分需要结合正方形性质、勾股定理推导边的比例关系，再运用相似三角形的判定定理完成证明，侧重对基础知识点的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.7
4 如图,已知△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是( 
)
A.∠CAB=∠D
B.AD//BC
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$
)A.∠CAB=∠D
B.AD//BC
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$
答案
D
解析
【分析】
已知△ABC和△DAE均为直角三角形，且∠C=∠AED=90°，已经满足一组对应角相等。要判定两个三角形相似，可结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、直角三角形斜边与直角边对应成比例等），逐一分析每个选项的条件能否满足相似判定，最终选出无法判定相似的选项。
【解析】
已知∠C=∠AED=90°，即两个三角形已有一组直角对应相等，逐个分析选项：
1. 选项A：添加∠CAB=∠D，此时△ABC和△DAE中，∠C=∠AED，∠CAB=∠D，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意。
2. 选项B：添加AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠CAB=∠D，同选项A的判定逻辑，可证两个三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：添加$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{DE}$，AB、AC是Rt△ABC的斜边和直角边，AD、DE是Rt△DAE的斜边和直角边，满足“直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似”，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意。
4. 选项D：添加$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\frac{BC}{AC}$是Rt△ABC两条直角边的比，$\frac{AD}{AE}$是Rt△DAE的斜边与直角边的比，边的对应关系不匹配，无法推出两组对应边成比例，也无法推出另一组角相等，不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要先明确已知相等的对应角，再结合条件分析边或角的对应关系，尤其要注意直角三角形中边的对应匹配，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.6
已知△ABC和△DAE均为直角三角形，且∠C=∠AED=90°，已经满足一组对应角相等。要判定两个三角形相似，可结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、直角三角形斜边与直角边对应成比例等），逐一分析每个选项的条件能否满足相似判定，最终选出无法判定相似的选项。
【解析】
已知∠C=∠AED=90°，即两个三角形已有一组直角对应相等，逐个分析选项：
1. 选项A：添加∠CAB=∠D，此时△ABC和△DAE中，∠C=∠AED，∠CAB=∠D，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意。
2. 选项B：添加AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠CAB=∠D，同选项A的判定逻辑，可证两个三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：添加$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{DE}$，AB、AC是Rt△ABC的斜边和直角边，AD、DE是Rt△DAE的斜边和直角边，满足“直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似”，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意。
4. 选项D：添加$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\frac{BC}{AC}$是Rt△ABC两条直角边的比，$\frac{AD}{AE}$是Rt△DAE的斜边与直角边的比，边的对应关系不匹配，无法推出两组对应边成比例，也无法推出另一组角相等，不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要先明确已知相等的对应角，再结合条件分析边或角的对应关系，尤其要注意直角三角形中边的对应匹配，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.6
5[2026安徽合肥质检]有下列说法：
①所有的直角三角形都相似；
②所有的等腰直角三角形都相似；
③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
④有两边成比例的两个直角三角形相似.
其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①所有的直角三角形都相似；
②所有的等腰直角三角形都相似；
③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
④有两边成比例的两个直角三角形相似.
其中正确的有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. B 【解析】边长为$3,\sqrt{7},4$的直角三角形,它们有两边相等(比例为1),但两个直角三角形不相似,该说法错误. 综上,正确的有②③,共2个. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似，再结合直角三角形的特征，对4个说法逐一判断，错误的说法可以通过举反例验证，正确的需要结合判定定理推导确认。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①所有直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，比如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，锐角不相等，不相似，故①错误；
②所有等腰直角三角形的内角都是90°、45°、45°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此所有等腰直角三角形都相似，故②正确；
③有一个锐角相等的两个直角三角形，本身都有直角（90°）相等，加上这组相等的锐角，就有两组对应角相等，符合相似三角形的判定条件，故③正确；
④“有两边成比例”未说明是对应边成比例：如果一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边成比例，即使满足两边成比例，也无法判定相似，比如边长为$3,\sqrt{7},4$的直角三角形和边长为3,4,5的直角三角形，虽有两边长度相等（比例为1），但对应角不相等，不相似，故④错误。
综上，正确的说法是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.直角三角形相似的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定在直角三角形场景下的应用，解题时要注意判定条件的严谨性，不能忽略“对应边”“对应角”的要求，避免因对条件理解片面而出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似，再结合直角三角形的特征，对4个说法逐一判断，错误的说法可以通过举反例验证，正确的需要结合判定定理推导确认。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①所有直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，比如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，锐角不相等，不相似，故①错误；
②所有等腰直角三角形的内角都是90°、45°、45°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此所有等腰直角三角形都相似，故②正确；
③有一个锐角相等的两个直角三角形，本身都有直角（90°）相等，加上这组相等的锐角，就有两组对应角相等，符合相似三角形的判定条件，故③正确；
④“有两边成比例”未说明是对应边成比例：如果一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边成比例，即使满足两边成比例，也无法判定相似，比如边长为$3,\sqrt{7},4$的直角三角形和边长为3,4,5的直角三角形，虽有两边长度相等（比例为1），但对应角不相等，不相似，故④错误。
综上，正确的说法是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.直角三角形相似的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定在直角三角形场景下的应用，解题时要注意判定条件的严谨性，不能忽略“对应边”“对应角”的要求，避免因对条件理解片面而出错。
【难度系数】
0.7
6[2026安徽蚌埠期末]如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°.
(1)求证:$AC^2 = AB · AD$;
(2)点E是边AB的中点,连接CE,DE,且DE与AC交于点F,若$AD=6,AB=8$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
@刷易错 ....................小心有坑~
(1)求证:$AC^2 = AB · AD$;
(2)点E是边AB的中点,连接CE,DE,且DE与AC交于点F,若$AD=6,AB=8$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
@刷易错 ....................小心有坑~
答案
6. (1)【证明】
∵ AC 平分∠DAB,
∴ ∠DAC = ∠CAB.
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90°,
∴ △ADC∽△ACB,
∴ AD:AC=AC:AB,
∴ $AC^2 = AB · AD$.
(2)【解】
∵ 点 E 为边 AB 的中点,AB = 8,
∴ $CE = AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$,
∴ ∠EAC = ∠ACE,
∴ ∠DAC = ∠ACE,
∴ CE // AD,
∴ △ADF∽△CEF,
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$.
∵ AD = 6,
∴ $\frac{6}{4}=\frac{AF}{CF}$,
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{5}{3}$.
∵ AC 平分∠DAB,
∴ ∠DAC = ∠CAB.
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90°,
∴ △ADC∽△ACB,
∴ AD:AC=AC:AB,
∴ $AC^2 = AB · AD$.
(2)【解】
∵ 点 E 为边 AB 的中点,AB = 8,
∴ $CE = AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$,
∴ ∠EAC = ∠ACE,
∴ ∠DAC = ∠ACE,
∴ CE // AD,
∴ △ADF∽△CEF,
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$.
∵ AD = 6,
∴ $\frac{6}{4}=\frac{AF}{CF}$,
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$AC^2 = AB · AD$，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明$△ ADC$与$△ ACB$相似即可。已知AC平分$∠ DAB$可得一组等角，再结合两个直角的条件，即可证明三角形相似，进而推导出等积式。
(2) 先利用直角三角形斜边中线的性质，得到$CE=AE$，推出$∠ EAC=∠ ACE$，结合角平分线的定义可得$∠ DAC=∠ ACE$，从而证得$CE// AD$，进而得到$△ ADF ∼ △ CEF$，利用相似三角形的对应边成比例求出AF与CF的比值，最后推导$\frac{AC}{AF}$的值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAB$，
∵ $∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AC^2 = AB · AD$。
(2) 解：
∵ 点E为AB的中点，$∠ ACB=90°$，AB=8，
∴ $CE = AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
∴ $∠ EAC = ∠ ACE$，
又
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ EAC$，
∴ $∠ DAC = ∠ ACE$，
∴ $CE // AD$，
∴ $△ ADF ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，
∵ AD=6，CE=4，
∴ $\frac{6}{4}=\frac{AF}{CF}$，即$CF=\frac{2}{3}AF$，
∵ $AC=AF+CF=AF+\frac{2}{3}AF=\frac{5}{3}AF$，
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{5}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，第一问是典型的等积式证明题型，核心思路是将等积式转化为比例式，通过证明三角形相似求解；第二问需要结合直角三角形的性质推导平行线，再利用相似三角形的线段比例关系求解，解题过程中要注意角的等量转化和线段和差关系的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明等积式$AC^2 = AB · AD$，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明$△ ADC$与$△ ACB$相似即可。已知AC平分$∠ DAB$可得一组等角，再结合两个直角的条件，即可证明三角形相似，进而推导出等积式。
(2) 先利用直角三角形斜边中线的性质，得到$CE=AE$，推出$∠ EAC=∠ ACE$，结合角平分线的定义可得$∠ DAC=∠ ACE$，从而证得$CE// AD$，进而得到$△ ADF ∼ △ CEF$，利用相似三角形的对应边成比例求出AF与CF的比值，最后推导$\frac{AC}{AF}$的值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAB$，
∵ $∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AC^2 = AB · AD$。
(2) 解：
∵ 点E为AB的中点，$∠ ACB=90°$，AB=8，
∴ $CE = AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
∴ $∠ EAC = ∠ ACE$，
又
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ EAC$，
∴ $∠ DAC = ∠ ACE$，
∴ $CE // AD$，
∴ $△ ADF ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，
∵ AD=6，CE=4，
∴ $\frac{6}{4}=\frac{AF}{CF}$，即$CF=\frac{2}{3}AF$，
∵ $AC=AF+CF=AF+\frac{2}{3}AF=\frac{5}{3}AF$，
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{5}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，第一问是典型的等积式证明题型，核心思路是将等积式转化为比例式，通过证明三角形相似求解；第二问需要结合直角三角形的性质推导平行线，再利用相似三角形的线段比例关系求解，解题过程中要注意角的等量转化和线段和差关系的应用。
【难度系数】
0.7
7 如图,正方形ABCD的边长为$2\sqrt{5}$,E为AB中点,$MN=\sqrt{5}$,线段MN的两端在BC,CD上滑动,当CM=
1或2
时,$△ AED$与以M,N,C为顶点的三角形相似.答案
7. 1或2 【解析】
∵ 正方形 ABCD 的边长为$2\sqrt{5}$,E 为 AB 中点,
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \sqrt{5}$. 设 CM的长为 x. 在 Rt△MNC 中,
∵ $MN=\sqrt{5}$,
∴ $NC=\sqrt{5-x^2}$. ①当 Rt△AED∽Rt△CMN 时,$\frac{AE}{CM}=\frac{AD}{CN}$,即$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}$,
∴ x = 1; ②当 Rt△AED∽Rt△CNM 时,$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CM}$,即$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{x}$,
∴ x= 2. 综上所述,当 CM = 1 或 2 时,△AED 与以M,N,C为顶点的三角形相似. 故答案为1或2.
∵ 正方形 ABCD 的边长为$2\sqrt{5}$,E 为 AB 中点,
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \sqrt{5}$. 设 CM的长为 x. 在 Rt△MNC 中,
∵ $MN=\sqrt{5}$,
∴ $NC=\sqrt{5-x^2}$. ①当 Rt△AED∽Rt△CMN 时,$\frac{AE}{CM}=\frac{AD}{CN}$,即$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}$,
∴ x = 1; ②当 Rt△AED∽Rt△CNM 时,$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CM}$,即$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{x}$,
∴ x= 2. 综上所述,当 CM = 1 或 2 时,△AED 与以M,N,C为顶点的三角形相似. 故答案为1或2.
解析
【分析】
本题是结合正方形的相似三角形动点问题，首先明确△AED和△MNC均为直角三角形，直角分别为∠A和∠C，因此两三角形相似时存在两种不同的边对应关系，不要漏解。解题思路：第一步先求出△AED的两条直角边长度；第二步设CM的长为x，利用勾股定理表示出Rt△MNC的另一条直角边CN；第三步分两种相似对应情况列比例方程，求解后验证解符合线段长度要求即可。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的边长为$2\sqrt{5}$，E为AB中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \sqrt{5}$，∠A=∠C=90°。
设CM的长为x，在Rt△MNC中，$MN=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$NC=\sqrt{MN^2-CM^2}=\sqrt{5-x^2}$。
△AED与△MNC均为直角三角形，相似分两种情况：
① 当Rt△AED∽Rt△CMN时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{AD}{CN}$，
代入得$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}$，
化简得$2x=\sqrt{5-x^2}$，两边平方得$4x^2=5-x^2$，解得$x=1$（线段长度为正，舍去负根）；
② 当Rt△AED∽Rt△CNM时，对应边成比例：$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CM}$，
代入得$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{x}$，
化简得$2\sqrt{5-x^2}=x$，两边平方得$4(5-x^2)=x^2$，解得$x=2$（线段长度为正，舍去负根）。
经检验，$x=1$和$x=2$均符合题意。
【答案】
1或2
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题为相似三角形的动点类问题，解题的关键是明确直角三角形相似时存在两种对应关系，避免漏解，求解后要注意验证结果是否符合线段长度的实际取值要求。
【难度系数】
0.6
本题是结合正方形的相似三角形动点问题，首先明确△AED和△MNC均为直角三角形，直角分别为∠A和∠C，因此两三角形相似时存在两种不同的边对应关系，不要漏解。解题思路：第一步先求出△AED的两条直角边长度；第二步设CM的长为x，利用勾股定理表示出Rt△MNC的另一条直角边CN；第三步分两种相似对应情况列比例方程，求解后验证解符合线段长度要求即可。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的边长为$2\sqrt{5}$，E为AB中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \sqrt{5}$，∠A=∠C=90°。
设CM的长为x，在Rt△MNC中，$MN=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$NC=\sqrt{MN^2-CM^2}=\sqrt{5-x^2}$。
△AED与△MNC均为直角三角形，相似分两种情况：
① 当Rt△AED∽Rt△CMN时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{AD}{CN}$，
代入得$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}$，
化简得$2x=\sqrt{5-x^2}$，两边平方得$4x^2=5-x^2$，解得$x=1$（线段长度为正，舍去负根）；
② 当Rt△AED∽Rt△CNM时，对应边成比例：$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CM}$，
代入得$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{x}$，
化简得$2\sqrt{5-x^2}=x$，两边平方得$4(5-x^2)=x^2$，解得$x=2$（线段长度为正，舍去负根）。
经检验，$x=1$和$x=2$均符合题意。
【答案】
1或2
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题为相似三角形的动点类问题，解题的关键是明确直角三角形相似时存在两种对应关系，避免漏解，求解后要注意验证结果是否符合线段长度的实际取值要求。
【难度系数】
0.6
