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1[2026安徽滁州全椒期末,中]如图,点D是△ABC内一点,点E在线段BD的延长线上,BE与AC交于点O,分别连接AD,AE,CE,如果$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,那么下列结论正确的是 (
A.$CE// AD$
B.$BD=AD$
C.$∠ ABE=∠ CBE$
D.$BO· AE=AO· BC$
D
)A.$CE// AD$
B.$BD=AD$
C.$∠ ABE=∠ CBE$
D.$BO· AE=AO· BC$
答案
1.D 【解析】$\because \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,$\therefore △ ADE∽△ ABC$,$\therefore ∠ ACB=∠ AED$.$\because ∠ AOE=∠ BOC$,$\therefore △ AOE∽△ BOC$,$\therefore \frac{AO}{BO}=\frac{AE}{BC}$,$\therefore BO· AE=AO· BC$. 根据已知条件无法推出$CE// AD$,$BD=AD$,$∠ ABE=∠ CBE$. 故选D.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出了三组对应边的比值相等，首先联想到相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似），先证明△ADE∽△ABC，得到对应角相等；再结合对顶角相等的性质，证明△AOE和△BOC相似，得到对应边成比例，再将比例式转化为等积式，最后逐一判断各选项，排除无法由已知条件推出的选项即可得到正确答案。
【解析】
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴ △ADE∽△ABC（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ ∠AED = ∠ACB。
又
∵ ∠AOE = ∠BOC（对顶角相等），
∴ △AOE∽△BOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AO}{BO}=\frac{AE}{BC}$，
交叉相乘得：$BO·AE = AO·BC$，即选项D结论成立。
结合已知条件，无法推出$CE// AD$、$BD=AD$、$∠ ABE=∠ CBE$，故A、B、C选项错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用类题目，解题的核心是灵活运用相似三角形的判定定理找到相似三角形，再结合相似的性质得到边的比例关系，推导等积式，同时要注意对每个选项进行验证，不能主观臆断无法由已知推出的结论。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知条件，题目给出了三组对应边的比值相等，首先联想到相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似），先证明△ADE∽△ABC，得到对应角相等；再结合对顶角相等的性质，证明△AOE和△BOC相似，得到对应边成比例，再将比例式转化为等积式，最后逐一判断各选项，排除无法由已知条件推出的选项即可得到正确答案。
【解析】
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴ △ADE∽△ABC（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ ∠AED = ∠ACB。
又
∵ ∠AOE = ∠BOC（对顶角相等），
∴ △AOE∽△BOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AO}{BO}=\frac{AE}{BC}$，
交叉相乘得：$BO·AE = AO·BC$，即选项D结论成立。
结合已知条件，无法推出$CE// AD$、$BD=AD$、$∠ ABE=∠ CBE$，故A、B、C选项错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用类题目，解题的核心是灵活运用相似三角形的判定定理找到相似三角形，再结合相似的性质得到边的比例关系，推导等积式，同时要注意对每个选项进行验证，不能主观臆断无法由已知推出的结论。
【难度系数】
0.6
2
名师编审
新素材
[较难]2026年中央广播电视总台春晚节目《武BOT》惊艳全场,参与表演的宇树机器人的部分结构部件采用三角形来维持稳定性.现在市面上某款机器人的某三角形部件的三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形部件,但只有长为60 cm和120 cm的两根钢条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有（
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
名师编审
新素材
[较难]2026年中央广播电视总台春晚节目《武BOT》惊艳全场,参与表演的宇树机器人的部分结构部件采用三角形来维持稳定性.现在市面上某款机器人的某三角形部件的三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形部件,但只有长为60 cm和120 cm的两根钢条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有（
B
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
2.B 【解析】两根钢条长为60 cm和120 cm,要满足两边之和大于第三边,则长为120 cm的钢条不能作为新三角形部件的一边. 设从120 cm的钢条上截下两段长分别为$x$ cm,$y$ cm($x+y≤120$且$x＜y$)的钢条. 当长为60 cm的一边与长为75 cm的一边对应时,$x+y＞120$,不能构成三角形部件,舍去; 当长为60 cm的一边与长为100 cm的一边对应时,$\frac{x}{75}=\frac{y}{100}=\frac{60}{120}$,解得$x=45$,$y=72$; 当长为60 cm的一边与长为120 cm的一边对应时,$\frac{x}{75}=\frac{y}{100}=\frac{60}{120}$,解得$x=37.5$,$y=50$,$\therefore$ 有2种不同的截法:把长为120 cm的钢条截下45 cm、72 cm的两段或把长为120 cm的钢条截下37.5 cm、50 cm的两段. 故选B.
解析
【分析】
解题需结合相似三角形性质和三角形三边关系逐步推导：第一步，先确定固定边：若选120cm的钢条为新三角形的一边，另一根60cm的钢条截成两段的总长度最大为60cm，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能选60cm的钢条为固定边，将120cm的钢条截为两段。第二步，分类讨论对应关系：分别令60cm的边与原三角形的75cm、100cm、120cm边对应，根据相似三角形对应边成比例计算另外两段的长度，验证两段长度之和是否≤120cm（允许有余料），符合条件的即为有效截法。
【解析】
已知两根钢条长为60cm和120cm，若以120cm的钢条为新三角形的一边，需从60cm的钢条截出两段作为另外两边，两段之和最大为60cm＜120cm，不符合三角形三边关系，因此只能以60cm的钢条为一边，从120cm的钢条上截下两段（设为$x$cm、$y$cm，$x+y≤120$，且$x、y＞0$）作为另外两边。
分三种情况讨论对应关系：
1. 当60cm的边与原三角形75cm的边对应时，相似比$k=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$，因此另外两边长为$100×\frac{4}{5}=80$cm，$120×\frac{4}{5}=96$cm，两段之和$80+96=176$cm$＞120$cm，不符合要求，舍去；
2. 当60cm的边与原三角形100cm的边对应时，相似比$k=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，因此另外两边长为$75×\frac{3}{5}=45$cm，$120×\frac{3}{5}=72$cm，两段之和$45+72=117$cm$≤120$cm，符合要求；
3. 当60cm的边与原三角形120cm的边对应时，相似比$k=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，因此另外两边长为$75×\frac{1}{2}=37.5$cm，$100×\frac{1}{2}=50$cm，两段之和$37.5+50=87.5$cm$≤120$cm，符合要求。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】B
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 三角形三边关系
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活实际命题，重点考查相似三角形性质与三角形三边关系的综合应用，解题时需先根据三边关系排除不可能的情况，再对相似的对应关系分类讨论，最后验证结果是否符合实际截取要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
解题需结合相似三角形性质和三角形三边关系逐步推导：第一步，先确定固定边：若选120cm的钢条为新三角形的一边，另一根60cm的钢条截成两段的总长度最大为60cm，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能选60cm的钢条为固定边，将120cm的钢条截为两段。第二步，分类讨论对应关系：分别令60cm的边与原三角形的75cm、100cm、120cm边对应，根据相似三角形对应边成比例计算另外两段的长度，验证两段长度之和是否≤120cm（允许有余料），符合条件的即为有效截法。
【解析】
已知两根钢条长为60cm和120cm，若以120cm的钢条为新三角形的一边，需从60cm的钢条截出两段作为另外两边，两段之和最大为60cm＜120cm，不符合三角形三边关系，因此只能以60cm的钢条为一边，从120cm的钢条上截下两段（设为$x$cm、$y$cm，$x+y≤120$，且$x、y＞0$）作为另外两边。
分三种情况讨论对应关系：
1. 当60cm的边与原三角形75cm的边对应时，相似比$k=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$，因此另外两边长为$100×\frac{4}{5}=80$cm，$120×\frac{4}{5}=96$cm，两段之和$80+96=176$cm$＞120$cm，不符合要求，舍去；
2. 当60cm的边与原三角形100cm的边对应时，相似比$k=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，因此另外两边长为$75×\frac{3}{5}=45$cm，$120×\frac{3}{5}=72$cm，两段之和$45+72=117$cm$≤120$cm，符合要求；
3. 当60cm的边与原三角形120cm的边对应时，相似比$k=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，因此另外两边长为$75×\frac{1}{2}=37.5$cm，$100×\frac{1}{2}=50$cm，两段之和$37.5+50=87.5$cm$≤120$cm，符合要求。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】B
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 三角形三边关系
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活实际命题，重点考查相似三角形性质与三角形三边关系的综合应用，解题时需先根据三边关系排除不可能的情况，再对相似的对应关系分类讨论，最后验证结果是否符合实际截取要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
3[2026上海闵行区校级质检,中]如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,A,C$是△ABC边上的7个格点,请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似,符合题意的三角形共有
6
个.答案
3.6 【解析】由题意得$AC=2\sqrt{2}$,$AB=4\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,$AP_5=\sqrt{2}$,$AP_2=2\sqrt{2}$. 如图,连接$P_2P_5$,则$P_2P_5=\sqrt{10}$. $\because \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=2$,$\therefore \frac{AC}{AP_5}=\frac{AB}{AP_2}=\frac{BC}{P_2P_5}$,$\therefore △ ACB∽△ AP_5P_2$. 连接$AP_4,P_2P_4,CP_1,P_4P_5$. 同理可找到$△ P_5P_2P_4$,$△ CP_4P_5$,$△ ACP_1$,$△ AP_2P_4$,$△ AP_4P_5$和$△ ACB$相似,共6个. 故答案为6.
解析
【分析】
要解决这道题，我们使用相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）求解。第一步先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到它的三边长度比；第二步依次从7个格点中选取3个点，同样用勾股定理算出所选三点构成三角形的三边长，判断其三边比是否和△ABC的三边比一致，统计符合要求的三角形个数即可，注意计数时避免重复和遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，首先计算△ABC的三边长：
$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:AB:BC=2\sqrt{2}:4\sqrt{2}:2\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
接下来在7个格点中筛选三边比为$1:2:\sqrt{5}$的三角形：
1. 连接$P_2P_5$，计算得$AP_5=\sqrt{2}$，$AP_2=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，故$△ AP_5P_2 ∽ △ ACB$；
2. 同理依次验证，可得$△ P_5P_2P_4$、$△ CP_4P_5$、$△ ACP_1$、$△ AP_2P_4$、$△ AP_4P_5$也满足三边比为$1:2:\sqrt{5}$，均与$△ ACB$相似。
综上，符合题意的三角形共有6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题解题核心是先确定原三角形的三边比例，再通过勾股定理计算待判定三角形的边长，比对比例判断是否相似，计数时需注意不重不漏。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们使用相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）求解。第一步先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到它的三边长度比；第二步依次从7个格点中选取3个点，同样用勾股定理算出所选三点构成三角形的三边长，判断其三边比是否和△ABC的三边比一致，统计符合要求的三角形个数即可，注意计数时避免重复和遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，首先计算△ABC的三边长：
$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:AB:BC=2\sqrt{2}:4\sqrt{2}:2\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
接下来在7个格点中筛选三边比为$1:2:\sqrt{5}$的三角形：
1. 连接$P_2P_5$，计算得$AP_5=\sqrt{2}$，$AP_2=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，故$△ AP_5P_2 ∽ △ ACB$；
2. 同理依次验证，可得$△ P_5P_2P_4$、$△ CP_4P_5$、$△ ACP_1$、$△ AP_2P_4$、$△ AP_4P_5$也满足三边比为$1:2:\sqrt{5}$，均与$△ ACB$相似。
综上，符合题意的三角形共有6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题解题核心是先确定原三角形的三边比例，再通过勾股定理计算待判定三角形的边长，比对比例判断是否相似，计数时需注意不重不漏。
【难度系数】
0.6
4[较难]如图,网格中的小方格是边长为1的正方形,A,B,C,D四点都在格点(网格线的交点)上.
(1)找出图中一组相似三角形,并给予证明;
(2)作∠ABC和∠ACD的平分线BM,CM,求∠BMC的度数.
刷素养 走向重高
(1)找出图中一组相似三角形,并给予证明;
(2)作∠ABC和∠ACD的平分线BM,CM,求∠BMC的度数.
刷素养 走向重高
答案
4.【解】(1)$△ ADC∽△ ACB$. 证明如下:
由题意得$AD=2\sqrt{5}$,$AC=5\sqrt{2}$,$DC=\sqrt{10}$,$BC=5$,$AB=5\sqrt{5}$,
$\therefore \frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,$\therefore △ ADC∽△ ACB$.
(2)如图,取格点H,连接CH.
由$△ ADC∽△ ACB$得$∠ ACD=∠ ABC$.
又$\because BM,CM$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACD$,
$\therefore ∠ ABM=∠ CBM=∠ DCM=∠ ACM$,
$\therefore ∠ BMC=180°-∠ MBC-∠ BCD-∠ DCM=180°-∠ ABM-∠ CBM-∠ BCD=∠ BDC$.
由勾股定理可得$CH=\sqrt{10}$,$CD=\sqrt{10}$,$DH=2\sqrt{5}$.
$\because CH^2+CD^2=20=DH^2$,$\therefore ∠ DCH=90°$.
又$\because CH=CD$,$\therefore ∠ BMC=∠ BDC=45°$.
解析
【分析】
(1) 要找出网格中的相似三角形，首先可利用勾股定理计算各相关线段的长度，再通过验证三边对应成比例来判定相似，这是相似三角形判定定理3的典型应用思路。
(2) 求∠BMC的度数时，先借助第一问的相似结论得到对应角相等，结合角平分线的性质转化角的数量关系，将未知角∠BMC和可求的∠BDC建立关联，再用勾股定理逆定理判断三角形形状即可得到目标角的度数。
【解析】
(1) 相似三角形为$△ ADC∽△ ACB$，证明如下：
已知小方格边长为1，由勾股定理计算各边长度：
$AD=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$，$DC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$BC=5$，$AB=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5}$，
计算对应边的比值：$\frac{DC}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即$\frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ADC∽△ ACB$。
(2) 如图，取格点H，连接CH。
由$△ ADC∽△ ACB$，可得对应角$∠ACD=∠ABC$。
因为BM、CM分别平分$∠ABC$和$∠ACD$，所以$∠ABM=∠CBM=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠DCM=∠ACM=\frac{1}{2}∠ACD$，
因此$∠ABM=∠CBM=∠DCM=∠ACM$。
对$△ BMC$由三角形内角和推导：
$∠BMC=180°-∠MBC-∠BCD-∠DCM=180°-∠ABM-∠CBM-∠BCD=∠BDC$。
再由勾股定理计算得：$CH=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$DH=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
验证三边平方关系：$CH^2+CD^2=10+10=20$，$DH^2=(2\sqrt{5})^2=20$，即$CH^2+CD^2=DH^2$，
由勾股定理逆定理得$∠DCH=90°$，又$CH=CD$，所以$△ DCH$是等腰直角三角形，$∠BDC=45°$，
因此$∠BMC=∠BDC=45°$。
【答案】
(1)$△ ADC∽△ ACB$，证明见上述解析；
(2)$∠BMC=45°$，辅助线作法：
【知识点】
相似三角形的判定、角平分线的性质、勾股定理及逆定理
【点评】
本题以网格为背景，综合考查相似三角形的判定与角度计算，要求学生熟练掌握格点线段长度的计算方法，能够灵活运用相似性质和角平分线性质转化角的关系，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 要找出网格中的相似三角形，首先可利用勾股定理计算各相关线段的长度，再通过验证三边对应成比例来判定相似，这是相似三角形判定定理3的典型应用思路。
(2) 求∠BMC的度数时，先借助第一问的相似结论得到对应角相等，结合角平分线的性质转化角的数量关系，将未知角∠BMC和可求的∠BDC建立关联，再用勾股定理逆定理判断三角形形状即可得到目标角的度数。
【解析】
(1) 相似三角形为$△ ADC∽△ ACB$，证明如下：
已知小方格边长为1，由勾股定理计算各边长度：
$AD=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$，$DC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$BC=5$，$AB=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5}$，
计算对应边的比值：$\frac{DC}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即$\frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ADC∽△ ACB$。
(2) 如图，取格点H，连接CH。
由$△ ADC∽△ ACB$，可得对应角$∠ACD=∠ABC$。
因为BM、CM分别平分$∠ABC$和$∠ACD$，所以$∠ABM=∠CBM=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠DCM=∠ACM=\frac{1}{2}∠ACD$，
因此$∠ABM=∠CBM=∠DCM=∠ACM$。
对$△ BMC$由三角形内角和推导：
$∠BMC=180°-∠MBC-∠BCD-∠DCM=180°-∠ABM-∠CBM-∠BCD=∠BDC$。
再由勾股定理计算得：$CH=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$DH=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
验证三边平方关系：$CH^2+CD^2=10+10=20$，$DH^2=(2\sqrt{5})^2=20$，即$CH^2+CD^2=DH^2$，
由勾股定理逆定理得$∠DCH=90°$，又$CH=CD$，所以$△ DCH$是等腰直角三角形，$∠BDC=45°$，
因此$∠BMC=∠BDC=45°$。
【答案】
(1)$△ ADC∽△ ACB$，证明见上述解析；
(2)$∠BMC=45°$，辅助线作法：
【知识点】
相似三角形的判定、角平分线的性质、勾股定理及逆定理
【点评】
本题以网格为背景，综合考查相似三角形的判定与角度计算，要求学生熟练掌握格点线段长度的计算方法，能够灵活运用相似性质和角平分线性质转化角的关系，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5 核心素养推理能力 [较难] 如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$D,D'$分别是$AB,A'B'$上一点,
$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.
(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,求证:$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$时,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似,并说明理由.
$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.
(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,求证:$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$时,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似,并说明理由.
答案
5.【解】(1)$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$,$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$.
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$,$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$,
$\therefore △ ADC∽△ A'D'C'$,$\therefore ∠ A=∠ A'$.
$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$,$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$. 故答案为$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$,$∠ A=∠ A'$.
(2)$△ ABC∽△ A'B'C'$. 理由如下:如图,过点$D,D'$分别作$DE// BC$,$D'E'// B'C'$,$DE$交$AC$于$E$,$D'E'$交$A'C'$于$E'$.
$\because DE// BC$,$\therefore △ ADE∽△ ABC$,
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
同理,$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$,$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$,$\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$.
同理,$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$,$\therefore \frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$,即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$,$\therefore \frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$,
$\therefore △ DCE∽△ D'C'E'$,$\therefore ∠ CED=∠ C'E'D'$.
$\because DE// BC$,$\therefore ∠ CED+∠ ACB=180°$,
同理,$∠ C'E'D'+∠ A'C'B'=180°$,$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$.
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$,$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，只需证明夹角$∠ A=∠ A'$即可。首先由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$推导得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，再结合已知的$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得$△ ADC$和$△ A'D'C'$三边对应成比例，从而证得两三角形相似得到$∠ A=∠ A'$，最终根据两边成比例且夹角相等证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) 已知的比例关系无法直接关联$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应角，因此需要构造辅助线：作$DE // BC$、$D'E' // B'C'$，先通过平行线得到$△ ADE ∽ △ ABC$、$△ A'D'E' ∽ △ A'B'C'$，转化得到$DE、EC$与$D'E'、E'C'$的比例关系，证明$△ DCE ∽ △ D'C'E'$得到对应角相等，进而推出$∠ ACB=∠ A'C'B'$，最后结合两边成比例且夹角相等证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【解析】
(1) 证明：
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，
$\therefore △ ADC ∽ △ A'D'C'$，$\therefore ∠ A=∠ A'$。
$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，理由如下：
过点$D,D'$分别作$DE // BC$，$D'E' // B'C'$，$DE$交$AC$于$E$，$D'E'$交$A'C'$于$E'$。
$\because DE // BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
同理，$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$。
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$，$\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$。
同理，$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$，$\therefore \frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$，即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$，$\therefore \frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$，
$\therefore △ DCE ∽ △ D'C'E'$，$\therefore ∠ CED=∠ C'E'D'$。
$\because DE // BC$，$\therefore ∠ CED+∠ ACB=180°$，
同理，$∠ C'E'D'+∠ A'C'B'=180°$，$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$。
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$，$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【答案】
(1) 空格依次为$\boldsymbol{\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}}$，$\boldsymbol{∠ A=∠ A'}$；
(2) $\boldsymbol{△ ABC ∽ △ A'B'C'}$，理由如下：
如图,过点$D,D'$分别作$DE// BC$,$D'E'// B'C'$,$DE$交$AC$于$E$,$D'E'$交$A'C'$于$E'$.
$\because DE// BC$,$\therefore △ ADE∽△ ABC$,
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
同理,$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$,$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$,$\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$.
同理,$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$,$\therefore \frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$,即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$,$\therefore \frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$,
$\therefore △ DCE∽△ D'C'E'$,$\therefore ∠ CED=∠ C'E'D'$.
$\because DE// BC$,$\therefore ∠ CED+∠ ACB=180°$,
同理,$∠ C'E'D'+∠ A'C'B'=180°$,$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$.
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$,$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$.
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定与性质的综合运用，第二问需要通过作平行线构造相似三角形完成比例和角的转化，对逻辑推理能力要求较高，解题时要结合已知条件合理构造辅助线，灵活选择相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，只需证明夹角$∠ A=∠ A'$即可。首先由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$推导得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，再结合已知的$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得$△ ADC$和$△ A'D'C'$三边对应成比例，从而证得两三角形相似得到$∠ A=∠ A'$，最终根据两边成比例且夹角相等证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) 已知的比例关系无法直接关联$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应角，因此需要构造辅助线：作$DE // BC$、$D'E' // B'C'$，先通过平行线得到$△ ADE ∽ △ ABC$、$△ A'D'E' ∽ △ A'B'C'$，转化得到$DE、EC$与$D'E'、E'C'$的比例关系，证明$△ DCE ∽ △ D'C'E'$得到对应角相等，进而推出$∠ ACB=∠ A'C'B'$，最后结合两边成比例且夹角相等证明$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【解析】
(1) 证明：
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，
$\therefore △ ADC ∽ △ A'D'C'$，$\therefore ∠ A=∠ A'$。
$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，理由如下：
过点$D,D'$分别作$DE // BC$，$D'E' // B'C'$，$DE$交$AC$于$E$，$D'E'$交$A'C'$于$E'$。
$\because DE // BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
同理，$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$。
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$，$\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$。
同理，$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$，$\therefore \frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$，即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$，$\therefore \frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$，
$\therefore △ DCE ∽ △ D'C'E'$，$\therefore ∠ CED=∠ C'E'D'$。
$\because DE // BC$，$\therefore ∠ CED+∠ ACB=180°$，
同理，$∠ C'E'D'+∠ A'C'B'=180°$，$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$。
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$，$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【答案】
(1) 空格依次为$\boldsymbol{\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}}$，$\boldsymbol{∠ A=∠ A'}$；
(2) $\boldsymbol{△ ABC ∽ △ A'B'C'}$，理由如下：
如图,过点$D,D'$分别作$DE// BC$,$D'E'// B'C'$,$DE$交$AC$于$E$,$D'E'$交$A'C'$于$E'$.
$\because DE// BC$,$\therefore △ ADE∽△ ABC$,
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
同理,$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$,$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$,$\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$.
同理,$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$,$\therefore \frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$,即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$,$\therefore \frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$,
$\therefore △ DCE∽△ D'C'E'$,$\therefore ∠ CED=∠ C'E'D'$.
$\because DE// BC$,$\therefore ∠ CED+∠ ACB=180°$,
同理,$∠ C'E'D'+∠ A'C'B'=180°$,$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$.
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$,$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$.
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定与性质的综合运用，第二问需要通过作平行线构造相似三角形完成比例和角的转化，对逻辑推理能力要求较高，解题时要结合已知条件合理构造辅助线，灵活选择相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.3
