1[2025重庆两江新区校级质检]若$△ ABC$的三边长分别是3,5,6,则与$△ ABC$相似的$△ DEF$的边可能是（）

A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$

1.D 【解析】A选项,$\because △ ABC$的三边长分别是3,5,6,$DE=6,DF=8,EF=10$,$\frac{3}{6}≠\frac{5}{8}≠\frac{6}{10}$,$\therefore$ 此选项不符合题意. B选项,$\because △ ABC$的三边长分别是3,5,6,$DE=9,EF=18,DF=25$,$\frac{3}{9}≠\frac{5}{18}≠\frac{6}{25}$,$\therefore$ 此选项不符合题意. C选项,$\because △ ABC$的三边长分别是3,5,6,$DE=1,EF=2$,$DF=2.5$,$\frac{3}{1}≠\frac{5}{2}≠\frac{6}{2.5}$,$\therefore$ 此选项不符合题意. D选项,$\because △ ABC$的三边长分别是3,5,6,$DE=6,DF=10,EF=12$,$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}$,$\therefore$ 此选项符合题意. 故选D.

【分析】
要判断两个三角形是否相似，可依据相似三角形判定定理3：三组对应边成比例的两个三角形相似。解题思路如下：第一步先将△ABC的三边长按从小到大排序，得到3,5,6；第二步依次将每个选项中△DEF的三边长也按从小到大排序，分别计算两组三角形对应边的比值，若三组比值完全相等，则两个三角形相似，该选项符合要求。
【解析】
已知△ABC的三边长从小到大排列为3，5，6。
A选项：△DEF三边从小到大排列为6，8，10，计算得$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}=\frac{5}{8}$，$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，三组比值不相等，不符合题意；
B选项：△DEF三边从小到大排列为9，18，25，计算得$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$\frac{5}{18}≠\frac{1}{3}$，$\frac{6}{25}≠\frac{1}{3}$，三组比值不相等，不符合题意；
C选项：△DEF三边从小到大排列为1，2，2.5，计算得$\frac{3}{1}=3$，$\frac{5}{2}=2.5$，$\frac{6}{2.5}=2.4$，三组比值不相等，不符合题意；
D选项：△DEF三边从小到大排列为6，10，12，计算得$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，三组比值相等，三边对应成比例，两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用三边成比例判定相似三角形的方法，解题关键是先将两个三角形的三边按大小排序，再验证对应边比值是否相等，注意不要混淆对应边。
【难度系数】
0.8

2 若$△ ABC$的每条边长增加各自的20%得$△ A'B'C'$，则$∠ B'$的度数与其对应角$∠ B$的度数相比（）

A.增加了20%
B.减少了20%
C.增加了$(1+20\%)$
D.没有改变

2.D 【解析】$\because △ ABC$的每条边长增加各自的20%得$△ A'B'C'$,$\therefore △ ABC$与$△ A'B'C'$的三边对应成比例,$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$,$\therefore ∠ B'=∠ B$. 故选D.

【分析】
首先观察两个三角形的边长变化规律：△ABC的每条边都增加20%，即△A'B'C'的各边长均为△ABC对应边长的1.2倍，因此两个三角形的三边对应成比例。根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，可判定△ABC∽△A'B'C'。再结合相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，即可得出∠B'和∠B的大小关系。
【解析】
∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A'B'C'，
∴△A'B'C'的各边长=△ABC对应边长×(1+20%)，即△ABC与△A'B'C'的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B'=∠B，即∠B'的度数没有改变。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题关键是理解“各边按相同比例放大或缩小的两个三角形是相似三角形”，相似图形的对应角大小不受边长缩放的影响。
【难度系数】
0.9

3[2026福建漳州校级质检]如图,四边形ABCD为矩形,$\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AN}=\frac{DM}{BN}$,则∠MAN的度数为度.

3.90 【解析】$\because \frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AN}=\frac{DM}{BN}$,$\therefore △ DAM∽△ BAN$,$\therefore ∠ DAM=∠ BAN$.$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ DAB=90°$,$\therefore ∠ DAM+∠ MAB=90°$,$\therefore ∠ MAB+∠ BAN=90°$,$\therefore ∠ MAN=90°$. 故答案为90.

【分析】
首先观察题目给出的三组边成比例的条件，可联想到相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，先确定成比例的边分别属于△DAM和△BAN，证明两个三角形相似后得到对应角相等；再结合矩形内角为90°的性质，通过角的等量代换即可求出∠MAN的度数。
【解析】
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AN}=\frac{DM}{BN}$，
∴ △DAM∽△BAN（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ ∠DAM=∠BAN。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DAB=90°，即$∠ DAM + ∠ MAB=90°$，
将∠DAM替换为∠BAN，可得$∠ BAN + ∠ MAB=90°$，
∴ $∠ MAN=90°$。
【答案】
90
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是相似与矩形性质结合的基础题型，解题核心是先通过三边成比例判定三角形相似，再利用角的等量代换推导所求角的度数，熟练掌握相似判定和矩形性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4[2026安徽亳州期中]如图(1),△ABC内有任意一点O,D,E,F分别为OA,OB,OC的中点.
(1)求证:△ABC∽△DEF.
(2)如果点O在△ABC的外部(如图(2)),请仿照图(1)画出图形,并判断(1)中的结论是否仍成立(无须证明).

4.(1)【证明】$\because D,E,F$分别是$OA,OB,OC$的中点,$\therefore ED,EF,DF$分别为$△ AOB,△ OBC$,$△ AOC$的中位线,$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=\frac{1}{2}$,$\therefore △ ABC∽△ DEF$.
(2)【解】画出图形如.(1)中的结论仍成立.

【分析】
(1)要证明△ABC∽△DEF，已知D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可先利用三角形中位线定理得到两条线段的数量关系，推出△DEF与△ABC的三组对应边比值均为$\frac{1}{2}$，再根据“三组对应边成比例的两个三角形相似”即可完成证明。
(2)当点O在△ABC外部时，D、E、F仍是OA、OB、OC的中点，三角形中位线的性质不受点O位置影响，因此对应边的比例关系不变，相似结论仍然成立，画图时只需将点O画在△ABC外，连接OA、OB、OC后取各线段中点顺次连接即可。
【解析】
(1)证明：
∵D、E分别为OA、OB的中点，
∴DE是△AOB的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$。
同理可得：EF是△OBC的中位线，$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$；DF是△AOC的中位线，$\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$。
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=\frac{1}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(2)将点O画在△ABC外部，连接OA、OB、OC，分别取OA、OB、OC的中点D、E、F，顺次连接D、E、F即可得到对应图形，此时中位线性质仍然成立，故(1)的结论不变。
【答案】
(1)【证明】$\because D,E,F$分别是$OA,OB,OC$的中点,$\therefore ED,EF,DF$分别为$△ AOB,△ OBC$,$△ AOC$的中位线,$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=\frac{1}{2}$,$\therefore △ ABC∽△ DEF$.
(2)【解】画出图形如.(1)中的结论仍成立.
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 相似三角形的判定（三边成比例）
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是利用三角形中位线的性质得到两个三角形三组对应边的比例关系，点O的位置不影响中位线性质的应用，因此无论点O在三角形内部还是外部，结论都成立。
【难度系数】
0.8

5 如图,在正方形网格中,若使$△ ABC ∽ △ DEC$,则点E应在 ()

A.$E_1$处
B.$E_2$处
C.$E_3$处
D.$E_4$处

(第5题图)
(第6题图)

5.B 【解析】设网格中每个小正方形的边长均为1,$\therefore AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$BC=2$,$DC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,$\therefore BC:AB:AC=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$.要使$CE:ED:CD=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$,则点E只能在$E_2$处.故选B.

【分析】
要判断使$△ ABC ∽ △ DEC$时点$E$的位置，需用到“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先设网格中每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先计算出$△ ABC$的三边长，求出三边的比值；再根据相似三角形的三边比例关系，明确$△ DEC$需要满足的三边比值，逐一验证各个$E$点对应的边长是否符合该比例，即可确定正确的$E$点位置。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长均为1。
先计算$△ ABC$的三边长：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$BC=2$，
因此$△ ABC$的三边比为$BC:AB:AC=2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
计算$CD$的长度：$DC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，要使$△ DEC ∽ △ ABC$，需满足$△ DEC$的三边比$CE:ED:CD=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，逐一验证各$E$点，只有点$E$在$E_2$处时符合该比例关系。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定定理3
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的判定，解题核心是先通过勾股定理准确计算已知三角形的各边长度，得到三边比例，再根据相似三角形三边成比例的判定条件匹配对应点，要求学生具备网格线段计算能力和比例分析能力。
【难度系数】
0.6

6[2025安徽铜陵铜官区期末]如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,E都在格点上,连接AB,AE,CE,CD,则∠EAB - ∠ECD=°.

6.45 【解析】如图,连接$AD,EF$. $\because AE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,$EC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$AD=\sqrt{2}$,$DE=1$,$EF=\sqrt{2}$,$CF=2$,$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore △ EAD∽△ ECF$,$\therefore ∠ EAD=∠ ECD$,$\therefore ∠ EAB-∠ ECD=∠ EAB-∠ EAD=∠ DAB=45°$.故答案为45.

【分析】
要计算∠EAB与∠ECD的差，我们可以尝试将∠ECD转化为与∠EAB同顶点的角，从而将角的差转化为可直接计算的特殊角。本题为网格类问题，可先通过勾股定理计算相关线段的长度，再通过三边成比例证明三角形相似，利用相似三角形对应角相等实现角的转化，最终求出角的差值。
【解析】
解：连接$AD$、$EF$。
根据勾股定理计算各线段长度：
$AE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$EC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DE=1$，$EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$CF=2$。
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AD}{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{DE}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{EF}$，
$\therefore △ EAD ∽ △ ECF$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠EAD=∠ECD$（相似三角形对应角相等）。
$\therefore ∠EAB - ∠ECD = ∠EAB - ∠EAD = ∠DAB$，
由网格可知$△ ABD$是等腰直角三角形，$∠DAB=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；角度和差计算
【点评】
本题是网格背景下的角度计算问题，解题核心是通过勾股定理计算线段长度，借助相似三角形实现角度转化，将未知的角的差转化为已知的特殊角求解，能有效考查学生的构图能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6

7 如图,在正方形网格中,每个小正方形边长为1,当三角形的三个顶点都在网格线的交点上时,我们称三角形为格点三角形.
(1)如图(1),请在图(1)中画一个格点三角形与原三角形相似,且所画三角形与原三角形的相似比为$\sqrt{2}:1$.
(2)请在图(2)中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边,并写出所画三角形与原三角形的相似比.

7.【解】(1)由勾股定理可得原三角形的各边长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$.因为所画三角形与原三角形的相似比为$\sqrt{2}:1$,所以所画三角形的各边长分别为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$,如所示.
(2)由勾股定理可得原三角形的各边长分别为$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$.有一条边为公共边,假设公共边为2,并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为$2\sqrt{2}$的边相对应,此时相似比为$1:\sqrt{2}$,则所画三角形的各边长为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$,如所示.(答案不唯一)

【分析】
(1) 要画出相似比为$\sqrt{2}:1$的格点相似三角形，首先需用勾股定理计算原三角形的三边长，再根据相似比计算出待画三角形的三边长，最终在网格中找到符合边长要求的格点连线即可。
(2) 要画出与原三角形有公共边的相似三角形，首先选定公共边，再根据相似三角形三边对应成比例的性质，计算待画三角形剩余两边的长度，找到对应格点作图，最后根据对应边的比值求出相似比即可。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，先计算原三角形三边长：
最短边长度为1；
第二条边由勾股定理得：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
最长边由勾股定理得：$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
已知相似比为$\sqrt{2}:1$，因此待画三角形的三边长分别为：
$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{10}$。
在网格中选取格点连接，使所得三角形三边长依次为$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$，即符合要求。
(2) 先计算图(2)中原三角形的三边长：
最短边长度为2；
第二条边由勾股定理得：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
最长边由勾股定理得：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
选取长度为2的边作为公共边，令该边与原三角形长度为$2\sqrt{2}$的边为对应边，此时相似比为$2:(2\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$。
则待画三角形另外两边长度分别为：
$2×\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$。
在网格中找到对应格点连线，得到三边为$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$的三角形，与原三角形相似且有公共边。
【答案】
(1) 所画图形如所示；
(2) 所画图形如所示，相似比为$1:\sqrt{2}$（答案不唯一）。
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质、格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形性质与勾股定理的应用，解题核心是先计算出原三角形与目标三角形的边长，再根据边长确定格点位置，需注意相似比的对应关系，避免对应边混淆。
【难度系数】
0.7