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1[2026安徽合肥校级期末,中]如图,在四边形ACBE中,AB,CE交于点O,D在CE上且$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$,$∠ EAB=∠ CAD$,则以下结论不一定成立的是 (
A.$∠ OCB=∠ CAD$
B.$AD=CD$
C.$AO· BO=CO· EO$
D.$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$
(第1题图)
(第2题图)
B
)A.$∠ OCB=∠ CAD$
B.$AD=CD$
C.$AO· BO=CO· EO$
D.$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. B 【解析】在四边形 ACBE 中,AB,CE 交于点O,D 在 CE 上且$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$,$∠ EAB=∠ CAD$,$\therefore △ EAB ∽ △ DAC$,$\therefore ∠ EBA = ∠ DCA$.
$\because ∠ BOE=∠ COA$,$\therefore △ BOE∽ △ COA$,$\therefore \frac{BO}{CO}=\frac{EO}{AO}$,$\therefore AO· BO=CO· EO$,故 C 选项成立,不符合题意,$\therefore \frac{BO}{EO}=\frac{CO}{AO}$. 又$\because ∠ BOC=∠ EOA$,$\therefore △ BOC ∽ △ EOA$,$\therefore ∠ OCB=∠ OAE$,$\therefore ∠ OCB=∠ CAD$,故 A 选项成立,不符合题意. 设 A 到 CE 的距离为 $h_1$,B 到 CE 的距离为 $h_2$,$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OE· h_1 · \frac{1}{2}OC· h_2$,$S_{△ BOE}· S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OE· h_2 · \frac{1}{2}OC· h_1$,$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$,故 D 选项成立,不符合题意. 根据已知条件无法推出 $AD=CD$,故 B 选项不一定成立,符合题意. 故选 B.
$\because ∠ BOE=∠ COA$,$\therefore △ BOE∽ △ COA$,$\therefore \frac{BO}{CO}=\frac{EO}{AO}$,$\therefore AO· BO=CO· EO$,故 C 选项成立,不符合题意,$\therefore \frac{BO}{EO}=\frac{CO}{AO}$. 又$\because ∠ BOC=∠ EOA$,$\therefore △ BOC ∽ △ EOA$,$\therefore ∠ OCB=∠ OAE$,$\therefore ∠ OCB=∠ CAD$,故 A 选项成立,不符合题意. 设 A 到 CE 的距离为 $h_1$,B 到 CE 的距离为 $h_2$,$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OE· h_1 · \frac{1}{2}OC· h_2$,$S_{△ BOE}· S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OE· h_2 · \frac{1}{2}OC· h_1$,$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$,故 D 选项成立,不符合题意. 根据已知条件无法推出 $AD=CD$,故 B 选项不一定成立,符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
解题时先从已知的边成比例、角相等的条件入手，首先利用给出的等角得到两个三角形的夹角相等，结合已知的边成比例，用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△EAB∽△DAC，得到对应角相等；再通过对顶角相等，判定新的相似三角形，得到边的比例关系和对应角相等，逐一验证选项；对于面积相关的选项，可通过三角形面积公式展开计算验证；最后判断没有条件支撑的结论即为不一定成立的选项。
【解析】
已知$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，$∠ EAB=∠ CAD$，
$\therefore △ EAB ∽ △ DAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ EBA = ∠ DCA$。
$\because ∠ BOE=∠ COA$（对顶角相等），
$\therefore △ BOE ∽ △ COA$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BO}{CO}=\frac{EO}{AO}$，即$AO· BO=CO· EO$，故C选项成立，不符合题意。
由$\frac{BO}{CO}=\frac{EO}{AO}$变形得$\frac{BO}{EO}=\frac{CO}{AO}$，又$\because ∠ BOC=∠ EOA$（对顶角相等），
$\therefore △ BOC ∽ △ EOA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ OCB=∠ OAE$，
$\because ∠ OAE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ OCB=∠ CAD$，故A选项成立，不符合题意。
设点A到CE的距离为$h_1$，点B到CE的距离为$h_2$，
则$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}OE· h_1$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC· h_2$，
$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}OE· h_2$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· h_1$，
$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=\frac{1}{4}OE· OC· h_1· h_2$，
$S_{△ BOE}· S_{△ AOC}=\frac{1}{4}OE· OC· h_1· h_2$，
$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$，故D选项成立，不符合题意。
现有已知条件无法推出$AD=CD$，故B选项不一定成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质、比例的基本性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合性较强，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，逐层推导边、角的关系，验证结论时要严格依据已知条件，无逻辑支撑的结论不能默认成立。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的边成比例、角相等的条件入手，首先利用给出的等角得到两个三角形的夹角相等，结合已知的边成比例，用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△EAB∽△DAC，得到对应角相等；再通过对顶角相等，判定新的相似三角形，得到边的比例关系和对应角相等，逐一验证选项；对于面积相关的选项，可通过三角形面积公式展开计算验证；最后判断没有条件支撑的结论即为不一定成立的选项。
【解析】
已知$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，$∠ EAB=∠ CAD$，
$\therefore △ EAB ∽ △ DAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ EBA = ∠ DCA$。
$\because ∠ BOE=∠ COA$（对顶角相等），
$\therefore △ BOE ∽ △ COA$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BO}{CO}=\frac{EO}{AO}$，即$AO· BO=CO· EO$，故C选项成立，不符合题意。
由$\frac{BO}{CO}=\frac{EO}{AO}$变形得$\frac{BO}{EO}=\frac{CO}{AO}$，又$\because ∠ BOC=∠ EOA$（对顶角相等），
$\therefore △ BOC ∽ △ EOA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ OCB=∠ OAE$，
$\because ∠ OAE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ OCB=∠ CAD$，故A选项成立，不符合题意。
设点A到CE的距离为$h_1$，点B到CE的距离为$h_2$，
则$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}OE· h_1$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC· h_2$，
$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}OE· h_2$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· h_1$，
$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=\frac{1}{4}OE· OC· h_1· h_2$，
$S_{△ BOE}· S_{△ AOC}=\frac{1}{4}OE· OC· h_1· h_2$，
$\therefore S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$，故D选项成立，不符合题意。
现有已知条件无法推出$AD=CD$，故B选项不一定成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质、比例的基本性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合性较强，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，逐层推导边、角的关系，验证结论时要严格依据已知条件，无逻辑支撑的结论不能默认成立。
【难度系数】
0.6
2[中]将$△ ABC$按如图所示的方式折叠,使点$B$落在边$AC$上,记为点$B'$,折痕为$EF$,已知$AB=AC=8$,$BC=10$,若以点$B'$,$F$,$C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,那么$BF$的长度是
$\frac{40}{9}$或5
.答案
2. $\frac{40}{9}$或5 【解析】设 $BF=x$, 则 $FC=BC-BF=10-x$. $\because △ ABC$ 按题图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 $B'$, 折痕为 $EF$,$\therefore B'F=BF=x$. $\because ∠ FCB'=∠ BCA$,$\therefore $ 当 $\frac{CF}{CB}=\frac{CB'}{CA}$ 时,$△ CFB'∽ △ CBA$,即$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$,解得 $x=\frac{40}{9}$; 当 $\frac{CF}{CA}=\frac{CB'}{CB}=\frac{FB'}{AB}$ 时,$△ CFB'∽ △ CAB$,即$\frac{10-x}{8}=\frac{x}{8}$,解得 $x=5$. 综上所述,当 $BF$ 的长度为$\frac{40}{9}$或5 时,以点 $B',F,C$ 为顶点的三角形与$△ ABC$ 相似.
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质得到$BF=B'F$，设$BF=x$即可表示出$FC$的长度。由于$△ B'FC$和$△ ABC$有公共角$∠ C$，要使两个三角形相似，需分两种对应情况讨论：第一种是$△ CFB'∽△ CBA$，第二种是$△ CFB'∽△ CAB$，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可，注意相似对应关系不唯一时不要漏解。
【解析】
设 $BF=x$, 则 $FC=BC-BF=10-x$。
由折叠的性质可得：$B'F=BF=x$。
$\because ∠ FCB'=∠ BCA$（公共角），分两种情况讨论：
① 当$△ CFB'∽△ CBA$时，对应边成比例，即$\frac{CF}{CB}=\frac{B'F}{AB}$，代入数值得：
$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$
交叉相乘得：$8(10-x)=10x$
解得 $x=\frac{40}{9}$。
② 当$△ CFB'∽△ CAB$时，对应边成比例，即$\frac{CF}{CA}=\frac{B'F}{AB}$，代入$AB=AC=8$得：
$\frac{10-x}{8}=\frac{x}{8}$
解得 $x=5$。
综上所述，$BF$的长度为$\frac{40}{9}$或$5$。
【答案】
$\frac{40}{9}$或$5$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解，遇到含公共角的相似判定问题时，要注意对应边的不同匹配情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用折叠的性质得到$BF=B'F$，设$BF=x$即可表示出$FC$的长度。由于$△ B'FC$和$△ ABC$有公共角$∠ C$，要使两个三角形相似，需分两种对应情况讨论：第一种是$△ CFB'∽△ CBA$，第二种是$△ CFB'∽△ CAB$，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可，注意相似对应关系不唯一时不要漏解。
【解析】
设 $BF=x$, 则 $FC=BC-BF=10-x$。
由折叠的性质可得：$B'F=BF=x$。
$\because ∠ FCB'=∠ BCA$（公共角），分两种情况讨论：
① 当$△ CFB'∽△ CBA$时，对应边成比例，即$\frac{CF}{CB}=\frac{B'F}{AB}$，代入数值得：
$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$
交叉相乘得：$8(10-x)=10x$
解得 $x=\frac{40}{9}$。
② 当$△ CFB'∽△ CAB$时，对应边成比例，即$\frac{CF}{CA}=\frac{B'F}{AB}$，代入$AB=AC=8$得：
$\frac{10-x}{8}=\frac{x}{8}$
解得 $x=5$。
综上所述，$BF$的长度为$\frac{40}{9}$或$5$。
【答案】
$\frac{40}{9}$或$5$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解，遇到含公共角的相似判定问题时，要注意对应边的不同匹配情况。
【难度系数】
0.6
3[中]如图,已知$△ ABC$,$△ DCE$,$△ FEG$,$△ HGI$是4个全等的等腰三角形,底边$BC$,$CE$,$EG$,$GI$在同一条直线上,且$AB=2$,$BC=1$,连接$AI$,交$FG$于点$Q$,则$QI$的长为
$\frac{4}{3}$
.答案
3. $\frac{4}{3}$ 【解析】$\because △ ABC,△ DCE,△ FEG,△ HGI$ 是 4 个全等的等腰三角形,$\therefore HI=AB=2$,$GI=BC=1$,$BI=4BC=4$,$\therefore \frac{AB}{BI}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}$. $\because ∠ ABI=∠ ABC$,$\therefore △ ABI∽ △ CBA$,$\therefore \frac{AC}{AI}=\frac{AB}{BI}$. $\because AB=AC$,$\therefore AI=BI=4$.
$\because ∠ ACB=∠ FGE$,$\therefore AC// FG$,$\therefore \frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}=\frac{1}{3}$,$\therefore QI=\frac{1}{3}AI=\frac{4}{3}$. 故答案为 $\frac{4}{3}$.
$\because ∠ ACB=∠ FGE$,$\therefore AC// FG$,$\therefore \frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}=\frac{1}{3}$,$\therefore QI=\frac{1}{3}AI=\frac{4}{3}$. 故答案为 $\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
解题时先从已知的4个全等等腰三角形入手，先确定各边的长度：腰长均为2，底边长均为1，先计算出BI的总长度。要得到AI的长度，可通过证明△ABI与△CBA相似，利用两边成比例且夹角相等的判定定理证明相似，再结合等腰三角形两腰相等的性质推出AI的长。接下来观察到∠ACB与∠FGE相等，可推出AC平行于FG，再利用平行线分线段成比例的性质，得到QI与AI的比值，代入AI的长度即可求出QI的长。
【解析】
解：$\because △ ABC,△ DCE,△ FEG,△ HGI$ 是 4 个全等的等腰三角形，
$\therefore HI=AB=2$，$GI=BC=1$，$BI=4BC=4$，
$\therefore \frac{AB}{BI}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}$，
又$\because ∠ ABI=∠ ABC$，
$\therefore △ ABI∽ △ CBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{AI}=\frac{AB}{BI}$，
$\because AB=AC$（等腰三角形两腰相等），
$\therefore AI=BI=4$。
$\because ∠ ACB=∠ FGE$（全等三角形对应角相等），
$\therefore AC// FG$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore \frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}$，
又$\because CI=CE+EG+GI=3×1=3$，
$\therefore \frac{QI}{4}=\frac{1}{3}$，解得$QI=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将全等三角形、相似三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是先通过相似三角形求出AI的长度，再利用平行线分线段成比例的关系求解目标线段长，需要学生熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的4个全等等腰三角形入手，先确定各边的长度：腰长均为2，底边长均为1，先计算出BI的总长度。要得到AI的长度，可通过证明△ABI与△CBA相似，利用两边成比例且夹角相等的判定定理证明相似，再结合等腰三角形两腰相等的性质推出AI的长。接下来观察到∠ACB与∠FGE相等，可推出AC平行于FG，再利用平行线分线段成比例的性质，得到QI与AI的比值，代入AI的长度即可求出QI的长。
【解析】
解：$\because △ ABC,△ DCE,△ FEG,△ HGI$ 是 4 个全等的等腰三角形，
$\therefore HI=AB=2$，$GI=BC=1$，$BI=4BC=4$，
$\therefore \frac{AB}{BI}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}$，
又$\because ∠ ABI=∠ ABC$，
$\therefore △ ABI∽ △ CBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{AI}=\frac{AB}{BI}$，
$\because AB=AC$（等腰三角形两腰相等），
$\therefore AI=BI=4$。
$\because ∠ ACB=∠ FGE$（全等三角形对应角相等），
$\therefore AC// FG$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore \frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}$，
又$\because CI=CE+EG+GI=3×1=3$，
$\therefore \frac{QI}{4}=\frac{1}{3}$，解得$QI=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将全等三角形、相似三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是先通过相似三角形求出AI的长度，再利用平行线分线段成比例的关系求解目标线段长，需要学生熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6
4[2026江苏无锡校级期中,较难]在$△ ABC$中，点$D,E$分别在边$AB,AC$上，且满足$AB=3AD$，$AC=3AE$。当$∠ ACD=∠ CBE$时，$CD:BC$的值是________。
答案
4. $\frac{2}{3}$ 【解析】如图, 令 $CD,BE$ 交于点 $F$, 设 $DE=a$,$DF=b$. $\because AB=3AD$,$AC=3AE$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$. 又 $\because ∠ A=∠ A$,$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,$\therefore ∠ AED=∠ ACB$,$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$,$\therefore BC=3DE=3a$,$DE// BC$,$\therefore ∠ DEF=∠ FBC$,$△ DEF∽ △ CBF$,$\therefore \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$,$\therefore FC=3DF=3b$,$\therefore DC=DF+FC=4b$. $\because ∠ ACD = ∠ CBE$,$\therefore ∠ DEF = ∠ DCE$. 又 $\because ∠ EDF = ∠ CDE$,$\therefore △ EDF ∽ △ CDE$,$\therefore ∠ DEC = ∠ DFE$,$\frac{DE}{DF}=\frac{CD}{DE}$,$\therefore ∠ BFC=∠ DFE=∠ DEC$,$DE^2 = CD · DF$,
解析
【分析】
拿到这道题可按如下思路推导：首先观察到$AB=3AD$、$AC=3AE$，结合公共角$∠ A$，先判定$△ ADE$和$△ ABC$相似，得到$DE// BC$以及边的比例关系；接着利用平行线的内错角相等，判定$△ DEF$和$△ CBF$相似，得到$DF$和$FC$的比例，即可用参数表示$CD$的长度；最后结合已知$∠ ACD=∠ CBE$，找到公共角判定第三组相似$△ EDF∽△ CDE$，得到边的乘积关系，将$CD$和$BC$用同一参数表示后，即可求出比值。
【解析】
令$CD$、$BE$交于点$F$，设$DE=a$，$DF=b$。
1. 证$△ ADE∽△ ABC$：
$\because AB=3AD$，$AC=3AE$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ AED=∠ ACB$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BC=3DE=3a$，且$DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
2. 证$△ DEF∽△ CBF$：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ DEF=∠ FBC$，$∠ EDF=∠ BCF$，
$\therefore △ DEF∽△ CBF$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，$\therefore FC=3DF=3b$，
$\therefore CD=DF+FC=b+3b=4b$。
3. 证$△ EDF∽△ CDE$：
$\because ∠ ACD=∠ CBE$，且已证$∠ DEF=∠ FBC$，
$\therefore ∠ DEF=∠ DCE$，
又$\because ∠ EDF=∠ CDE$（公共角），
$\therefore △ EDF∽△ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{CD}=\frac{DF}{DE}$，即$DE^2=CD· DF$。
4. 计算比值：
将$DE=a$，$CD=4b$，$DF=b$代入得：$a^2=4b· b=4b^2$，
$\because a、b$为线段长度，均为正数，$\therefore a=2b$，
$\therefore BC=3a=3×2b=6b$，
$\therefore CD:BC=4b:6b=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题需要连续判定多组相似三角形，解题核心是结合已知的线段比例、角相等条件，结合公共角、平行线的性质寻找相似模型，通过设参数的方式简化计算，能有效考查对相似知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
拿到这道题可按如下思路推导：首先观察到$AB=3AD$、$AC=3AE$，结合公共角$∠ A$，先判定$△ ADE$和$△ ABC$相似，得到$DE// BC$以及边的比例关系；接着利用平行线的内错角相等，判定$△ DEF$和$△ CBF$相似，得到$DF$和$FC$的比例，即可用参数表示$CD$的长度；最后结合已知$∠ ACD=∠ CBE$，找到公共角判定第三组相似$△ EDF∽△ CDE$，得到边的乘积关系，将$CD$和$BC$用同一参数表示后，即可求出比值。
【解析】
令$CD$、$BE$交于点$F$，设$DE=a$，$DF=b$。
1. 证$△ ADE∽△ ABC$：
$\because AB=3AD$，$AC=3AE$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ AED=∠ ACB$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BC=3DE=3a$，且$DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
2. 证$△ DEF∽△ CBF$：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ DEF=∠ FBC$，$∠ EDF=∠ BCF$，
$\therefore △ DEF∽△ CBF$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，$\therefore FC=3DF=3b$，
$\therefore CD=DF+FC=b+3b=4b$。
3. 证$△ EDF∽△ CDE$：
$\because ∠ ACD=∠ CBE$，且已证$∠ DEF=∠ FBC$，
$\therefore ∠ DEF=∠ DCE$，
又$\because ∠ EDF=∠ CDE$（公共角），
$\therefore △ EDF∽△ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{CD}=\frac{DF}{DE}$，即$DE^2=CD· DF$。
4. 计算比值：
将$DE=a$，$CD=4b$，$DF=b$代入得：$a^2=4b· b=4b^2$，
$\because a、b$为线段长度，均为正数，$\therefore a=2b$，
$\therefore BC=3a=3×2b=6b$，
$\therefore CD:BC=4b:6b=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题需要连续判定多组相似三角形，解题核心是结合已知的线段比例、角相等条件，结合公共角、平行线的性质寻找相似模型，通过设参数的方式简化计算，能有效考查对相似知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
5[2026安徽蚌埠期中,中]如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$Rt△ AOB$斜边的中点P,与AB交于点Q,连接OQ,点A的坐标为(12,6).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求证:$△ BOQ∽△ BAO$.
刷素养 走向重高
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求证:$△ BOQ∽△ BAO$.
刷素养 走向重高
答案
(1) 解：
在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO=90°$，已知点$A$坐标为$(12,6)$，
可得点$B$坐标为$(0,6)$，原点$O$坐标为$(0,0)$。
$\because P$是斜边$OA$的中点，
由中点坐标公式得$P(\frac{0+12}{2},\frac{0+6}{2})$，即$P(6,3)$。
将$P(6,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{6}$，解得$k=18$。
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
---
(2) 证明：
$\because$ 点$Q$在边$AB$上，$AB// x$轴，点$B$坐标为$(0,6)$，
$\therefore$ 点$Q$的纵坐标为$6$。
将$y=6$代入$y=\frac{18}{x}$，得$6=\frac{18}{x}$，解得$x=3$，
即点$Q$坐标为$(3,6)$。
$\therefore BQ=3$，$OB=6$，$BA=12$，
$\therefore \frac{BQ}{OB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{BA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{BQ}{OB}=\frac{OB}{BA}$。
又$\because ∠ OBQ=∠ ABO$，为两个三角形的公共夹角，
$\therefore$ 由两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，可得$△ BOQ ∽ △ BAO$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO=90°$，已知点$A$坐标为$(12,6)$，
可得点$B$坐标为$(0,6)$，原点$O$坐标为$(0,0)$。
$\because P$是斜边$OA$的中点，
由中点坐标公式得$P(\frac{0+12}{2},\frac{0+6}{2})$，即$P(6,3)$。
将$P(6,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{6}$，解得$k=18$。
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
---
(2) 证明：
$\because$ 点$Q$在边$AB$上，$AB// x$轴，点$B$坐标为$(0,6)$，
$\therefore$ 点$Q$的纵坐标为$6$。
将$y=6$代入$y=\frac{18}{x}$，得$6=\frac{18}{x}$，解得$x=3$，
即点$Q$坐标为$(3,6)$。
$\therefore BQ=3$，$OB=6$，$BA=12$，
$\therefore \frac{BQ}{OB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{BA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{BQ}{OB}=\frac{OB}{BA}$。
又$\because ∠ OBQ=∠ ABO$，为两个三角形的公共夹角，
$\therefore$ 由两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，可得$△ BOQ ∽ △ BAO$。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式的核心是确定比例系数k，需要找到反比例函数图象上的已知坐标点。已知P是Rt△AOB斜边OA的中点，且给出点A的坐标，可先通过中点坐标公式求出P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式求出k，即可得到表达式。
(2) 要证明△BOQ∽△BAO，首先观察到两个三角形有公共角∠OBQ=∠ABO，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹这个公共角的两组对应边成比例，即$\frac{BQ}{OB}=\frac{OB}{BA}$即可。先根据AB平行于x轴得到Q点纵坐标，代入反比例函数求出Q点横坐标，进而计算各边长度验证比例关系即可。
【解析】
(1) 解：在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO=90°$，已知点$A$坐标为$(12,6)$，可得点$B$坐标为$(0,6)$，原点$O$坐标为$(0,0)$。
$\because P$是斜边$OA$的中点，根据中点坐标公式可得$P(\frac{0+12}{2},\frac{0+6}{2})$，即$P(6,3)$。
将$P(6,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{6}$，解得$k=18$。
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
(2) 证明：$\because$ 点$Q$在边$AB$上，$AB// x$轴，点$B$坐标为$(0,6)$，$\therefore$ 点$Q$的纵坐标为$6$。
将$y=6$代入$y=\frac{18}{x}$，得$6=\frac{18}{x}$，解得$x=3$，即点$Q$坐标为$(3,6)$。
$\therefore BQ=3$，$OB=6$，$BA=12$，$\therefore \frac{BQ}{OB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{BA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BQ}{OB}=\frac{OB}{BA}$。
又$\because ∠ OBQ=∠ ABO$，是两个三角形的公共夹角，
$\therefore$ 根据两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定定理，可得$△ BOQ ∽ △ BAO$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x}(x＞0)$；(2) 证明见上述解析
【知识点】
反比例函数解析式确定；相似三角形的判定；中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合基础题，既考查了坐标计算、反比例函数性质的应用，又考查了相似三角形的判定方法，解题的关键是准确求出相关点的坐标，结合判定定理完成推导。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数表达式的核心是确定比例系数k，需要找到反比例函数图象上的已知坐标点。已知P是Rt△AOB斜边OA的中点，且给出点A的坐标，可先通过中点坐标公式求出P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式求出k，即可得到表达式。
(2) 要证明△BOQ∽△BAO，首先观察到两个三角形有公共角∠OBQ=∠ABO，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹这个公共角的两组对应边成比例，即$\frac{BQ}{OB}=\frac{OB}{BA}$即可。先根据AB平行于x轴得到Q点纵坐标，代入反比例函数求出Q点横坐标，进而计算各边长度验证比例关系即可。
【解析】
(1) 解：在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO=90°$，已知点$A$坐标为$(12,6)$，可得点$B$坐标为$(0,6)$，原点$O$坐标为$(0,0)$。
$\because P$是斜边$OA$的中点，根据中点坐标公式可得$P(\frac{0+12}{2},\frac{0+6}{2})$，即$P(6,3)$。
将$P(6,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{6}$，解得$k=18$。
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
(2) 证明：$\because$ 点$Q$在边$AB$上，$AB// x$轴，点$B$坐标为$(0,6)$，$\therefore$ 点$Q$的纵坐标为$6$。
将$y=6$代入$y=\frac{18}{x}$，得$6=\frac{18}{x}$，解得$x=3$，即点$Q$坐标为$(3,6)$。
$\therefore BQ=3$，$OB=6$，$BA=12$，$\therefore \frac{BQ}{OB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{BA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BQ}{OB}=\frac{OB}{BA}$。
又$\because ∠ OBQ=∠ ABO$，是两个三角形的公共夹角，
$\therefore$ 根据两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定定理，可得$△ BOQ ∽ △ BAO$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x}(x＞0)$；(2) 证明见上述解析
【知识点】
反比例函数解析式确定；相似三角形的判定；中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合基础题，既考查了坐标计算、反比例函数性质的应用，又考查了相似三角形的判定方法，解题的关键是准确求出相关点的坐标，结合判定定理完成推导。
【难度系数】
0.7
6 核心素养 推理能力 [难]如图,已知点E是矩形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一动点,线段DE和AF相交于点P,连接PC,过A作AQ//PC交PD于点Q.
(1)求证:PC=2AQ;
(2)已知$AD^2=PD· DE$,$AB=10$,$AD=12$,求BF的长;
(3)当点F为BC的中点时,求$\frac{AP}{PF}$的值.
(1)求证:PC=2AQ;
(2)已知$AD^2=PD· DE$,$AB=10$,$AD=12$,求BF的长;
(3)当点F为BC的中点时,求$\frac{AP}{PF}$的值.
答案
6. 【解析】$\because$ 点 $F$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore BC = 2BF$,$\therefore AD = 2BF$,$BG=2BF$,$\therefore GF=BG+BF=3BF$,$\therefore \frac{AD}{GF}=\frac{2BF}{3BF}=\frac{2}{3}$. 由题意知, $AD// GC$,$\therefore △ APD ∽ △ FPG$,$\therefore \frac{AP}{PF}=\frac{AD}{GF}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
要求共线线段$AP$与$PF$的比值，可结合矩形对边平行的性质，构造相似三角形将线段比转化为平行边的长度比。解题思路如下：第一步，延长$DE$交$CB$的延长线于点$G$，利用$E$是$AB$中点的条件证明$△ AED≌△ BEG$，得到$AD=BG$；第二步，结合$F$是$BC$中点的条件，推导$GF$与$BF$、$AD$与$BF$的数量关系；第三步，利用$AD// GC$证明$△ APD∽△ FPG$，根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AP}{PF}$的值。
【解析】
解：延长$DE$交$CB$的延长线于点$G$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，$∠ EAD=∠ EBG=90°$，
$\because E$是$AB$的中点，$\therefore AE=BE$，
在$△ AED$和$△ BEG$中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAD=∠ EBG\\AE=BE\\∠ AED=∠ BEG\end{array} $
$\therefore△ AED≌△ BEG(\mathrm{ASA})$，$\therefore AD=BG$。
$\because$点$F$为$BC$的中点，$\therefore BC=2BF$，
$\therefore AD=BC=2BF$，$\therefore BG=2BF$，
$\therefore GF=BG+BF=2BF+BF=3BF$。
$\because AD// GC$，$\therefore∠ PAD=∠ PFG$，$∠ PDA=∠ PGF$，
$\therefore△ APD∽△ FPG$，
$\therefore\frac{AP}{PF}=\frac{AD}{GF}=\frac{2BF}{3BF}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用类题目，需要通过作辅助线构造全等和相似模型，将未知线段比转化为易求的线段比，体现了转化的数学思想，能有效锻炼逻辑推理和几何模型构建能力。
【难度系数】
0.6
要求共线线段$AP$与$PF$的比值，可结合矩形对边平行的性质，构造相似三角形将线段比转化为平行边的长度比。解题思路如下：第一步，延长$DE$交$CB$的延长线于点$G$，利用$E$是$AB$中点的条件证明$△ AED≌△ BEG$，得到$AD=BG$；第二步，结合$F$是$BC$中点的条件，推导$GF$与$BF$、$AD$与$BF$的数量关系；第三步，利用$AD// GC$证明$△ APD∽△ FPG$，根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AP}{PF}$的值。
【解析】
解：延长$DE$交$CB$的延长线于点$G$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，$∠ EAD=∠ EBG=90°$，
$\because E$是$AB$的中点，$\therefore AE=BE$，
在$△ AED$和$△ BEG$中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAD=∠ EBG\\AE=BE\\∠ AED=∠ BEG\end{array} $
$\therefore△ AED≌△ BEG(\mathrm{ASA})$，$\therefore AD=BG$。
$\because$点$F$为$BC$的中点，$\therefore BC=2BF$，
$\therefore AD=BC=2BF$，$\therefore BG=2BF$，
$\therefore GF=BG+BF=2BF+BF=3BF$。
$\because AD// GC$，$\therefore∠ PAD=∠ PFG$，$∠ PDA=∠ PGF$，
$\therefore△ APD∽△ FPG$，
$\therefore\frac{AP}{PF}=\frac{AD}{GF}=\frac{2BF}{3BF}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用类题目，需要通过作辅助线构造全等和相似模型，将未知线段比转化为易求的线段比，体现了转化的数学思想，能有效锻炼逻辑推理和几何模型构建能力。
【难度系数】
0.6
