1 如图,在$△ ABC$与$△ ADE$中,$∠ BAC=∠ D$,要使$△ ABC$与$△ ADE$相似,还需满足下列条件中的 ()

A.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AE}$
(第1题图)
(第2题图)

1. C 【解析】$\because ∠ BAC=∠ D,\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE},\therefore △ ABC∽△ DEA.$ 故选 C.

【分析】
本题考查相似三角形的判定，可结合已知条件用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理解题：首先明确已知相等的角为∠BAC和∠D；接着找到两个等角各自的两条夹边，△ABC中∠BAC的夹边是AB、AC，△ADE中∠D的夹边是AD、DE；最后根据判定定理要求，让两组夹边对应成比例，匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
已知∠BAC=∠D，若要判定△ABC与△ADE相似，需使两个等角的夹边对应成比例：
∠BAC的夹边为AB、AC，∠D的夹边为AD、DE，因此需满足$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$，此时可证△ABC∽△DEA，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、对应边识别
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是掌握两边成比例且夹角相等的判定规则，注意成比例的两条边必须是相等角的夹边，避免混淆对应边的对应关系即可正确作答。
【难度系数】
0.7

2 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=78°$,$AB=4$,$AC=6$,将$△ ABC$沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ()

2. C 【解析】A 选项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;B 选项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;C 选项,两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意;D 选项,两三角形两边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意. 故选 C.

【分析】
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似），逐一分析每个选项中阴影三角形与原△ABC的角、边对应关系，验证是否满足相似判定条件即可。
【解析】
已知原△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6。
A选项：阴影三角形与原三角形有公共角，且另有一组角对应相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，本选项不符合题意；
B选项：阴影三角形与原三角形有两组角对应相等，满足相似判定条件，故两三角形相似，本选项不符合题意；
C选项：阴影三角形与原三角形的对应边不成比例，不满足相似判定条件，故两三角形不相似，本选项符合题意；
D选项：阴影三角形与原三角形的两组对应边成比例，且夹角均为78°，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，本选项不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，对应边比例计算，对应角识别
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题时需结合图形准确找到两个三角形的对应角和对应边，逐一验证判定条件即可，要注意避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7

3 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁4个三角形.若OA:OC=OB:OD=1:2,则
()

A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似

3. B 【解析】$\because OA:OC=OB:OD=1:2,∠AOB=∠COD,\therefore △ OAB∽ △ OCD$,即甲、丙相似;根据已知条件无法证明$△ OBC$与$△ OAD$相似,即乙、丁不相似.

【分析】
解题时先结合已知条件回忆相似三角形的判定定理：首先观察甲、丙两个三角形，题目给出了两组边的比例关系，且两个三角形有公共的对顶角作为夹角，可先判断这两个三角形是否符合相似判定条件；再分析乙、丁两个三角形，核对其边的比例是否对应相等、夹角是否满足要求，判断是否能证明相似，最终得出结论。
【解析】
1. 判断甲、丙是否相似：
在$△ OAB$（甲）和$△ OCD$（丙）中，
$\because OA:OC=OB:OD=1:2$，且$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，$\therefore ∠ AOB=∠ COD$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ OAB ∽ △ OCD$，即甲、丙相似。
2. 判断乙、丁是否相似：
在$△ OBC$（乙）和$△ OAD$（丁）中，已知$OA:OC=1:2$，$OB:OD=1:2$，可得两组边的比例不对应相等，也没有其他能证明角相等的条件，因此无法证明$△ OBC$与$△ OAD$相似，即乙、丁不相似。
综上，甲、丙相似，乙、丁不相似，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定应用，解题的关键是找准对应边和对应夹角，不要混淆边的对应关系，避免因对应比例判断错误失分。
【难度系数】
0.7

4[2026安徽黄山期中]如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径$AB(AD=BC,\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3})$，测得CD的长度为6 cm，则零件的内孔直径AB的长度为cm.

4. 18 【解析】

【分析】
首先观察图形可得，$△ COD$和$△ BOA$存在对顶角$∠ COD=∠ AOB$，结合已知给出的两边对应成比例$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，可依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的$CD$长度，即可计算出$AB$的长度。
【解析】
解：$\because ∠ COD$和$∠ AOB$是对顶角，
$\therefore ∠ COD=∠ AOB$，
又$\because \frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，
$\therefore △ COD ∽ △ BOA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
将$CD=6\mathrm{cm}$代入得：$\frac{6}{AB}=\frac{1}{3}$，
解得$AB=18\mathrm{cm}$。

【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是准确找到三角形中相等的夹角和成比例的对应边，证明三角形相似后借助相似的性质求解未知边长，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5 新考向开放性试题如图,在$△ ABC$中,$D,E$分别为边$AB,AC$上的点,$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,点$F$为$BC$边上一点,添加一个条件:,可以使得$△ FDB$与$△ ADE$相似.(只需写出一个)

5. $DF// AC$(答案不唯一) 【解析】$\because ∠ A=∠ A$,$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$. 当 $DF// AC$ 时,$△ BDF∽ △ BAC$,$\therefore △ BDF∽ △ EAD$. 故答案为$DF// AC$(答案不唯一).

【分析】
首先从已知条件入手：∠A是△ADE和△ACB的公共角，且$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，根据相似三角形判定定理可先证得$△ADE∽△ACB$。要使$△FDB$与$△ADE$相似，结合相似的传递性，只需让$△FDB$与$△ACB$相似即可，此时可根据相似三角形的判定定理，添加能证明$△FDB∽△ACB$的条件，比如平行关系、角相等、边成比例的条件均可。
【解析】
$\because ∠A=∠A$，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore$ 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ADE∽△ACB$。
若添加条件$DF// AC$：
$\because DF// AC$，
$\therefore$ 根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△BDF∽△BAC$。
结合相似的传递性，可得$△BDF∽△ADE$，满足题目要求。
（也可添加$∠ BDF=∠ A$、$∠ BFD=∠ C$、$\frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BA}$等条件，答案不唯一）
【答案】
$DF// AC$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、平行线判定相似、相似的传递性
【点评】
本题为开放性试题，解题的关键是先通过已知条件推导得出已有的相似三角形，将问题转化为证明△FDB与△ACB相似，再结合相似三角形的判定定理添加合适的条件即可，答案不唯一，灵活性较强。
【难度系数】
0.7

6[2025江苏扬州邗江区期末]如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB,AC$上,且$∠ BCE + ∠ BDE = 180°$.
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(2)连接$BE,CD$,求证:$△ AEB ∽ △ ADC$.

6.【证明】(1)$\because ∠ BCE + ∠ BDE = 180°$,$∠ ADE+∠ BDE=180°$,$\therefore ∠ BCE=∠ ADE$. $\because ∠ DAE=∠ CAB$,$\therefore △ ADE∽ △ ACB$.
(2) $\because △ ADE∽ △ ACB$,$\therefore AD:AC=AE:AB$,$\therefore AD:AE=AC:AB$.
又$\because ∠ EAB=∠ DAC$,$\therefore △ AEB∽ △ ADC$.

【分析】
(1)要证明△ADE∽△ACB，观察可知两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形判定定理，只需再找一组对应角相等即可。已知∠BCE与∠BDE互补，而∠ADE和∠BDE是邻补角也互补，根据同角的补角相等可推出∠ADE=∠ACB，即可利用“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2)要证明△AEB∽△ADC，两个三角形同样有公共角∠A，只需证明夹公共角的两组边对应成比例即可。由(1)的相似结论可得对应边成比例，对比例式变形后即可得到所需的边的比例关系，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BCE + ∠BDE = 180°，∠ADE + ∠BDE = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠BCE = ∠ADE（同角的补角相等），即∠ADE = ∠ACB。
又
∵ ∠DAE = ∠CAB（公共角相等），
∴ △ADE ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵ △ADE ∽ △ACB，
∴ 对应边成比例，即$AD:AC=AE:AB$，
根据比例的基本性质变形可得$AD:AE=AC:AB$。
又
∵ ∠EAB = ∠DAC（公共角相等），
∴ △AEB ∽ △ADC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) △ADE∽△ACB，证明成立；
(2) △AEB∽△ADC，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定；补角的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型基础题，解题时要注意挖掘图形中的公共角这一隐含条件，前一问的证明结论可直接作为后一问的已知条件使用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7

7[2025安徽合肥包河区期末]如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$∠ ADE = ∠ B$,$∠ EAC = ∠ EDC$,DE与AC交于点F.
(1)求证:$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$;
(2)连接BF,如果$AB^2 = AF · AC$,求证:$AD · BC = AE · BF$.

7.【证明】(1)$\because ∠ EAF+∠ AFE+∠ E=∠ FDC+∠ CFD+∠ C=180°$,$∠ EAF=∠ FDC$,$∠ AFE=∠ CFD$,$\therefore ∠ E=∠ C$. 又 $\because ∠ ADE=∠ B$,$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
(2)如图. $\because AB^2=AF· AC$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$.
$\because ∠ BAC=∠ FAB$,$\therefore △ ABC∽ △ AFB$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$. 由(1)知$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore AD· BC=AE· BF$.

【分析】
(1) 要证明$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，可通过证明$△ ADE ∽ △ ABC$推导。已知$∠ ADE = ∠ B$，只需再找一组对应角相等：利用三角形内角和为$180°$，结合已知$∠ EAC = ∠ EDC$、对顶角$∠ AFE = ∠ CFD$，可推出$∠ E = ∠ C$，即可证两个三角形相似，再对相似的边比例式变形即可得证。
(2) 要证明$AD · BC = AE · BF$，先将等积式转化为比例式$\frac{AD}{AE}=\frac{BF}{BC}$。首先对已知$AB^2 = AF · AC$变形得到比例式，结合公共角$∠ BAC = ∠ FAB$证明$△ ABC ∽ △ AFB$，可得$\frac{BF}{BC}=\frac{AB}{AC}$，再结合(1)的结论$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，等量代换后交叉相乘即可得证。
【解析】
(1) 由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ EAF + ∠ AFE + ∠ E = ∠ FDC + ∠ CFD + ∠ C = 180°$，
已知$∠ EAF = ∠ FDC$，且$∠ AFE = ∠ CFD$（对顶角相等），
因此$∠ E = ∠ C$。
又$\because ∠ ADE = ∠ B$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
交叉变形可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
(2) 已知$AB^2 = AF · AC$，变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$，
又$\because ∠ BAC = ∠ FAB$（公共角），
$\therefore △ ABC ∽ △ AFB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$。
结合(1)的结论$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，可得$\frac{BF}{BC}=\frac{AD}{AE}$，
交叉相乘得$AD · BC = AE · BF$。
【答案】
(1) $\because ∠ EAF+∠ AFE+∠ E=∠ FDC+∠ CFD+∠ C=180°$,$∠ EAF=∠ FDC$,$∠ AFE=∠ CFD$,$\therefore ∠ E=∠ C$. 又 $\because ∠ ADE=∠ B$,$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
(2) 如图. $\because AB^2=AF· AC$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$.
$\because ∠ BAC=∠ FAB$,$\therefore △ ABC∽ △ AFB$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$. 由(1)知$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{AD}{AE}$,$\therefore AD· BC=AE· BF$.
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是结合已知条件推导角相等或边的比例关系，进而证明三角形相似，再利用相似的性质推导所需结论，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7