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初中数学
七年级
二册
9.「2026安徽宿州埇桥月考，★☆」在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字(其中每个汉字都表示一个数).若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是
七年级
二册
9.「2026安徽宿州埇桥月考，★☆」在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字(其中每个汉字都表示一个数).若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是
1
。答案
1
解析 因为$-2-1+0=-3$,所以“国”表示的数是$-3-(-5)-(-1)=3$,所以“中”表示的数是$-3-(-2)-3=-4$,所以“梦”表示的数是$-3-(-4)-(-1)=2$,所以这三个字表示的数之和为$3-4+2=1$.
解析 因为$-2-1+0=-3$,所以“国”表示的数是$-3-(-5)-(-1)=3$,所以“中”表示的数是$-3-(-2)-3=-4$,所以“梦”表示的数是$-3-(-4)-(-1)=2$,所以这三个字表示的数之和为$3-4+2=1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等”的性质，先找到包含3个已知数的对角线（左上到右下的-2、-1、0），计算出这条线的和也就是幻和，再根据幻和依次求出“国”“中”“梦”代表的数，最后相加得到三者之和即可。
【解析】
第一步，计算幻和：观察左上到右下的对角线，三个数为-2、-1、0，因此幻和为：
$-2 + (-1) + 0 = -3$
即所有行、列、对角线的三个数之和均为-3。
第二步，求“国”代表的数：观察右上到左下的对角线，三个数为“国”、-1、-5，和为-3，因此：
$\mathrm{国} = -3 - (-1) - (-5) = 3$
第三步，求“中”代表的数：观察第一行，三个数为-2、“中”、“国”，和为-3，代入国=3得：
$\mathrm{中} = -3 - (-2) - 3 = -4$
第四步，求“梦”代表的数：观察第二列，三个数为“中”、-1、“梦”，和为-3，代入中=-4得：
$\mathrm{梦} = -3 - (-4) - (-1) = 2$
第五步，计算三者之和：
$\mathrm{中}+\mathrm{国}+\mathrm{梦} = -4 +3 +2 =1$
【答案】
1
【知识点】
三阶幻方性质、有理数加减混合运算
【点评】
本题考查幻方性质的基础应用，解题核心是先求出幻和，再结合已知数推导未知量，解题时要注意有理数加减运算的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等”的性质，先找到包含3个已知数的对角线（左上到右下的-2、-1、0），计算出这条线的和也就是幻和，再根据幻和依次求出“国”“中”“梦”代表的数，最后相加得到三者之和即可。
【解析】
第一步，计算幻和：观察左上到右下的对角线，三个数为-2、-1、0，因此幻和为：
$-2 + (-1) + 0 = -3$
即所有行、列、对角线的三个数之和均为-3。
第二步，求“国”代表的数：观察右上到左下的对角线，三个数为“国”、-1、-5，和为-3，因此：
$\mathrm{国} = -3 - (-1) - (-5) = 3$
第三步，求“中”代表的数：观察第一行，三个数为-2、“中”、“国”，和为-3，代入国=3得：
$\mathrm{中} = -3 - (-2) - 3 = -4$
第四步，求“梦”代表的数：观察第二列，三个数为“中”、-1、“梦”，和为-3，代入中=-4得：
$\mathrm{梦} = -3 - (-4) - (-1) = 2$
第五步，计算三者之和：
$\mathrm{中}+\mathrm{国}+\mathrm{梦} = -4 +3 +2 =1$
【答案】
1
【知识点】
三阶幻方性质、有理数加减混合运算
【点评】
本题考查幻方性质的基础应用，解题核心是先求出幻和，再结合已知数推导未知量，解题时要注意有理数加减运算的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
10.「2026安徽安庆桐城月考，★☆」M,N两地的高度差记为M-N,例如:M地比N地低2米,记为M-N=-2米.现要测量A,B两地的高度差,借助了已经设立的D,E,F,G,H五个观测地,测量出两地的高度差,测量结果如下表(单位:米),则A-B=
0.4
米.答案
0.4
解析 因为$D-A+E-D+F-E+G-F+H-G+B-H=B-A$,所以$B-A=(D-A)+(E-D)+(F-E)+(G-F)+(H-G)+(B-H)=3.3-4.2-0.5+2.7+3.9-5.6=-0.4$(米),所以$A-B=-(B-A)=0.4$米.
解析 因为$D-A+E-D+F-E+G-F+H-G+B-H=B-A$,所以$B-A=(D-A)+(E-D)+(F-E)+(G-F)+(H-G)+(B-H)=3.3-4.2-0.5+2.7+3.9-5.6=-0.4$(米),所以$A-B=-(B-A)=0.4$米.
解析
【分析】
要计算A-B的高度差，无法直接得出，我们可以观察给出的各段高度差的表达式特点：将所有给出的高度差相加后，中间的字母项会相互抵消，最终得到B-A的结果，再根据相反数的性质，就能求出A-B的值。
【解析】
首先将表中所有高度差相加，观察化简结果：
$(D-A)+(E-D)+(F-E)+(G-F)+(H-G)+(B-H)$
去括号后，中间的D与-D、E与-E、F与-F、G与-G、H与-H相互抵消，最终可得：
$(D-A)+(E-D)+(F-E)+(G-F)+(H-G)+(B-H)=B-A$
代入表中数值计算：
$B-A=3.3+(-4.2)+(-0.5)+2.7+3.9+(-5.6)=-0.4 \mathrm{ 米}$
因为A-B是B-A的相反数，所以：
$A-B=-(B-A)=-(-0.4)=0.4 \mathrm{ 米}$
【答案】
0.4
【知识点】
有理数加减混合运算、正负数的实际应用、相反数的性质
【点评】
本题结合高度测量的实际场景考查有理数加减的应用，解题关键是发现多个高度差相加后中间项可抵消的规律，简化了计算过程，同时也考查了学生对正负数表示相反意义量的理解。
【难度系数】
0.7
要计算A-B的高度差，无法直接得出，我们可以观察给出的各段高度差的表达式特点：将所有给出的高度差相加后，中间的字母项会相互抵消，最终得到B-A的结果，再根据相反数的性质，就能求出A-B的值。
【解析】
首先将表中所有高度差相加，观察化简结果：
$(D-A)+(E-D)+(F-E)+(G-F)+(H-G)+(B-H)$
去括号后，中间的D与-D、E与-E、F与-F、G与-G、H与-H相互抵消，最终可得：
$(D-A)+(E-D)+(F-E)+(G-F)+(H-G)+(B-H)=B-A$
代入表中数值计算：
$B-A=3.3+(-4.2)+(-0.5)+2.7+3.9+(-5.6)=-0.4 \mathrm{ 米}$
因为A-B是B-A的相反数，所以：
$A-B=-(B-A)=-(-0.4)=0.4 \mathrm{ 米}$
【答案】
0.4
【知识点】
有理数加减混合运算、正负数的实际应用、相反数的性质
【点评】
本题结合高度测量的实际场景考查有理数加减的应用，解题关键是发现多个高度差相加后中间项可抵消的规律，简化了计算过程，同时也考查了学生对正负数表示相反意义量的理解。
【难度系数】
0.7
11.「2026安徽宿州埇桥月考，★☆」某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的公路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负，单位:km):
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？
(2)若该出租车每千米耗油0.06升，则在整个接送过程中共耗油多少升？
(3)若该出租车的计价标准为行驶路程不超过3 km收费10元，超过3 km的部分按每千米1.8元收费，在整个接送过程中该驾驶员共收到车费多少元？
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？
(2)若该出租车每千米耗油0.06升，则在整个接送过程中共耗油多少升？
(3)若该出租车的计价标准为行驶路程不超过3 km收费10元，超过3 km的部分按每千米1.8元收费，在整个接送过程中该驾驶员共收到车费多少元？
答案
(1)$5+2+(-4)+(-3)+10=10$(km).
答:接送完第5批客人后,该驾驶员在公司的南边10 km处.
(2)$5+2+|-4|+|-3|+10=24$(km),
$24×0.06=1.44$(升).
答:在整个接送过程中共耗油1.44升.
(3)$[10+(5-3)×1.8]+10+[10+(4-3)×1.8]+10+[10+(10-3)×1.8]=68$(元).
答:该驾驶员共收到车费68元.
答:接送完第5批客人后,该驾驶员在公司的南边10 km处.
(2)$5+2+|-4|+|-3|+10=24$(km),
$24×0.06=1.44$(升).
答:在整个接送过程中共耗油1.44升.
(3)$[10+(5-3)×1.8]+10+[10+(4-3)×1.8]+10+[10+(10-3)×1.8]=68$(元).
答:该驾驶员共收到车费68元.
解析
【分析】
（1）要确定驾驶员最终的位置，结合题中“向南为正、向北为负”的规定，只需将5批客人的行驶路程直接相加：结果为正则在公司南侧，结果为负则在公司北侧，结果的绝对值就是距离公司的距离。
（2）耗油量仅和实际行驶的总路程有关，和行驶方向无关，因此先计算每段路程的绝对值之和得到总行驶路程，再乘每千米耗油量即可求出总耗油量。
（3）车费需要按每批客人的行驶路程分段计算：单批路程不超过3km时收费10元；单批路程超过3km时，总费用为10元加上超出3km部分的费用（超出路程×1.8元/km），最后将5批的车费相加即可得到总车费。
【解析】
(1) 对5段行驶路程求和：
$5+2+(-4)+(-3)+10=10$（km）
结果为正，说明位置在公司南侧，距离公司10km。
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南边10 km处。
(2) 先计算总行驶路程：
$|5|+|2|+|-4|+|-3|+|10|=5+2+4+3+10=24$（km）
总耗油量为：$24×0.06=1.44$（升）
答：在整个接送过程中共耗油1.44升。
(3) 逐批计算车费后求和：
$[10+(5-3)×1.8]+10+[10+(4-3)×1.8]+10+[10+(10-3)×1.8]=68$（元）
答：该驾驶员共收到车费68元。
【答案】
(1) 公司南边10km处；
(2) 1.44升；
(3) 68元。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减运算、绝对值的应用
【点评】
本题结合生活场景考查有理数相关知识的应用，解题时要注意区分带方向的位置计算、无方向的总路程计算的差异，计费问题要按规则分段核算，避免混淆计算规则出错。
【难度系数】
0.8
（1）要确定驾驶员最终的位置，结合题中“向南为正、向北为负”的规定，只需将5批客人的行驶路程直接相加：结果为正则在公司南侧，结果为负则在公司北侧，结果的绝对值就是距离公司的距离。
（2）耗油量仅和实际行驶的总路程有关，和行驶方向无关，因此先计算每段路程的绝对值之和得到总行驶路程，再乘每千米耗油量即可求出总耗油量。
（3）车费需要按每批客人的行驶路程分段计算：单批路程不超过3km时收费10元；单批路程超过3km时，总费用为10元加上超出3km部分的费用（超出路程×1.8元/km），最后将5批的车费相加即可得到总车费。
【解析】
(1) 对5段行驶路程求和：
$5+2+(-4)+(-3)+10=10$（km）
结果为正，说明位置在公司南侧，距离公司10km。
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南边10 km处。
(2) 先计算总行驶路程：
$|5|+|2|+|-4|+|-3|+|10|=5+2+4+3+10=24$（km）
总耗油量为：$24×0.06=1.44$（升）
答：在整个接送过程中共耗油1.44升。
(3) 逐批计算车费后求和：
$[10+(5-3)×1.8]+10+[10+(4-3)×1.8]+10+[10+(10-3)×1.8]=68$（元）
答：该驾驶员共收到车费68元。
【答案】
(1) 公司南边10km处；
(2) 1.44升；
(3) 68元。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减运算、绝对值的应用
【点评】
本题结合生活场景考查有理数相关知识的应用，解题时要注意区分带方向的位置计算、无方向的总路程计算的差异，计费问题要按规则分段核算，避免混淆计算规则出错。
【难度系数】
0.8
12. 核心素养 几何直观 「2026安徽亳州涡阳月考」数轴是一个非常重要的数学工具,通过数轴可以把数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,是建立“数形结合思想”的基础.如图,以1 cm为1个单位长度,用直尺画数轴,数轴上从左到右依次有A,B,C三个点,且数轴上点A,B,C在刻度尺上的读数分别为2 cm,8 cm,10 cm.
(1)若点A和点C在数轴上表示的数互为相反数,则数轴上原点在刻度尺上的读数为
(2)若点B在数轴上表示的数是-1.5,分别求出点A,点C表示的数.
(3)若数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c,当点C到原点的距离为2 026时,求$a - b + c$的值.
(1)若点A和点C在数轴上表示的数互为相反数,则数轴上原点在刻度尺上的读数为
6 cm
,点B在数轴上表示的数是2
.(2)若点B在数轴上表示的数是-1.5,分别求出点A,点C表示的数.
(3)若数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c,当点C到原点的距离为2 026时,求$a - b + c$的值.
答案
(1)由题意知A,C两点间的距离为$10-2=8$个单位长度,因为点A和点C在数轴上表示的数互为相反数,所以原点位于点A,C中间,且与A,C两点的距离相等,为4个单位长度,因为$2+4=6$,所以原点在刻度尺上的读数为6 cm,因为$8-6=2$,所以点B在数轴上表示的数是2.故答案为6 cm,2.
(2)因为点B在刻度尺上的读数为8 cm,$8-(-1.5)=9.5$,所以原点在刻度尺上的读数为9.5 cm,
因为$2-9.5=-7.5$,$10-9.5=0.5$,
所以点A表示的数为-7.5,点C表示的数为0.5.
(3)因为点C到原点的距离为2 026,所以点C表示的数为2 026或-2 026,分情况讨论如下:
①当点C表示的数为2 026时,点B表示的数是2 024,点A表示的数是2 018,所以$a-b+c=2018-2024+2026=2020$;
②当点C表示的数为-2 026时,点B表示的数是-2 028,点A表示的数是-2 034,所以$a-b+c=-2034-(-2028)+(-2026)=-2034+2028-2026=-2032$.
综上,$a-b+c$的值为2 020或-2 032.
(2)因为点B在刻度尺上的读数为8 cm,$8-(-1.5)=9.5$,所以原点在刻度尺上的读数为9.5 cm,
因为$2-9.5=-7.5$,$10-9.5=0.5$,
所以点A表示的数为-7.5,点C表示的数为0.5.
(3)因为点C到原点的距离为2 026,所以点C表示的数为2 026或-2 026,分情况讨论如下:
①当点C表示的数为2 026时,点B表示的数是2 024,点A表示的数是2 018,所以$a-b+c=2018-2024+2026=2020$;
②当点C表示的数为-2 026时,点B表示的数是-2 028,点A表示的数是-2 034,所以$a-b+c=-2034-(-2028)+(-2026)=-2034+2028-2026=-2032$.
综上,$a-b+c$的值为2 020或-2 032.
解析
【分析】
解题前先明确三点的位置差：A、B间距为$8-2=6$个单位长度，B、C间距为$10-8=2$个单位长度，A、C间距为$10-2=8$个单位长度。
(1) 若A、C表示的数互为相反数，根据相反数的几何意义，原点是线段AC的中点，先计算中点对应的刻度尺读数，再求B点对应的数即可。
(2) 已知B点对应的数，先通过B的刻度尺读数和对应数的差算出原点在刻度尺上的位置，再用A、C的刻度尺读数减去原点的读数，即可得到两点对应的数。
(3) 点C到原点距离为2026，说明C表示的数有正负两种情况，分类讨论：先确定C对应的数，再根据各点间距依次得到B、A对应的数，最后代入$a-b+c$计算即可。
【解析】
(1) 首先计算A、C两点间的距离：$10-2=8$（单位长度）。
因为点A和点C表示的数互为相反数，所以原点是线段AC的中点，到A、C的距离均为$8÷2=4$个单位长度。
原点对应的刻度尺读数为：$2+4=6$（cm）。
点B对应的数为刻度尺读数减去原点读数：$8-6=2$。
(2) 已知点B表示的数为$-1.5$，B的刻度尺读数为8cm，因此原点对应的刻度尺读数为：$8 - (-1.5) =9.5$（cm）。
点A表示的数为：$2 -9.5=-7.5$；
点C表示的数为：$10 -9.5=0.5$。
(3) 点C到原点的距离为2026，因此点C表示的数为2026或$-2026$，分两种情况讨论：
① 当点C表示的数为2026时：
B比C小2个单位，所以$b=2026-2=2024$；
A比B小6个单位，所以$a=2024-6=2018$；
代入得$a-b+c=2018-2024+2026=2020$。
② 当点C表示的数为$-2026$时：
$b=-2026-2=-2028$，$a=-2028-6=-2034$；
代入得$a-b+c=-2034 - (-2028) + (-2026)=-2034+2028-2026=-2032$。
综上，$a-b+c$的值为2020或$-2032$。
【答案】
(1) $\boxed{6\ \mathrm{cm}}$，$\boxed{2}$；
(2) 点A表示的数为$\boxed{-7.5}$，点C表示的数为$\boxed{0.5}$；
(3) $\boxed{2020}$或$\boxed{-2032}$。
【知识点】
数轴的应用，相反数，有理数加减混合运算
【点评】
本题依托数轴考查数形结合思想的应用，解题核心是明确数轴上点的位置与对应数值的关系，第三小问需要注意距离对应的数有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确三点的位置差：A、B间距为$8-2=6$个单位长度，B、C间距为$10-8=2$个单位长度，A、C间距为$10-2=8$个单位长度。
(1) 若A、C表示的数互为相反数，根据相反数的几何意义，原点是线段AC的中点，先计算中点对应的刻度尺读数，再求B点对应的数即可。
(2) 已知B点对应的数，先通过B的刻度尺读数和对应数的差算出原点在刻度尺上的位置，再用A、C的刻度尺读数减去原点的读数，即可得到两点对应的数。
(3) 点C到原点距离为2026，说明C表示的数有正负两种情况，分类讨论：先确定C对应的数，再根据各点间距依次得到B、A对应的数，最后代入$a-b+c$计算即可。
【解析】
(1) 首先计算A、C两点间的距离：$10-2=8$（单位长度）。
因为点A和点C表示的数互为相反数，所以原点是线段AC的中点，到A、C的距离均为$8÷2=4$个单位长度。
原点对应的刻度尺读数为：$2+4=6$（cm）。
点B对应的数为刻度尺读数减去原点读数：$8-6=2$。
(2) 已知点B表示的数为$-1.5$，B的刻度尺读数为8cm，因此原点对应的刻度尺读数为：$8 - (-1.5) =9.5$（cm）。
点A表示的数为：$2 -9.5=-7.5$；
点C表示的数为：$10 -9.5=0.5$。
(3) 点C到原点的距离为2026，因此点C表示的数为2026或$-2026$，分两种情况讨论：
① 当点C表示的数为2026时：
B比C小2个单位，所以$b=2026-2=2024$；
A比B小6个单位，所以$a=2024-6=2018$；
代入得$a-b+c=2018-2024+2026=2020$。
② 当点C表示的数为$-2026$时：
$b=-2026-2=-2028$，$a=-2028-6=-2034$；
代入得$a-b+c=-2034 - (-2028) + (-2026)=-2034+2028-2026=-2032$。
综上，$a-b+c$的值为2020或$-2032$。
【答案】
(1) $\boxed{6\ \mathrm{cm}}$，$\boxed{2}$；
(2) 点A表示的数为$\boxed{-7.5}$，点C表示的数为$\boxed{0.5}$；
(3) $\boxed{2020}$或$\boxed{-2032}$。
【知识点】
数轴的应用，相反数，有理数加减混合运算
【点评】
本题依托数轴考查数形结合思想的应用，解题核心是明确数轴上点的位置与对应数值的关系，第三小问需要注意距离对应的数有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
