9. [2026亳州期中]若以二元一次方程$x+2y - b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y = -\frac{1}{2}x + b - 1$上，则常数$b$等于（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$

B 由$y = -\frac{1}{2}x + b - 1$变形,得$x + 2y - 2b + 2 = 0$. 因为以二元一次方程$x + 2y - b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y = -\frac{1}{2}x + b - 1$上,所以$-b = -2b + 2$,解得$b = 2.$

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：如果以二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，说明这个二元一次方程和直线对应的二元一次方程是同解方程，化简后对应项的关系是匹配的。解题时先把给出的一次函数解析式变形为和已知二元一次方程相同的形式（x、y项在等号左侧，常数项在右侧），再根据两个方程表示同一组解的特点，列出关于b的一元一次方程求解即可。
【解析】
首先对直线解析式$y = -\frac{1}{2}x + b - 1$进行变形：
两边同时乘2，得$2y = -x + 2b - 2$，
移项整理为标准二元一次方程形式：$x + 2y - 2b + 2 = 0$。
因为以方程$x + 2y - b = 0$的解为坐标的点都在该直线上，说明两个方程是同解方程，常数项满足对应关系：
$-b = -2b + 2$
解这个一元一次方程：
移项得$2b - b = 2$，
解得$b = 2$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系、等式的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题核心是理解“方程的解都在直线上”等价于两个方程为同解方程，通过统一方程形式后对比常数项建立等式即可求解，属于基础概念应用类题型。
【难度系数】
0.7

10. 已知二元一次方程$2x - 3y = 3$的一组解为$\begin{cases}x=m, \\ y=n,\end{cases}$则下列说法一定不正确的是（ ）

A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$

C 因为$2x - 3y = 3$,所以$y = \frac{2}{3}x - 1$. 因为该一次函数的图象不经过第二象限,所以点$(m,n)$不可能位于第二象限,所以$m ＜ 0,n ＞ 0$一定不正确.

【分析】
要判断二元一次方程解的正负情况是否成立，可利用二元一次方程与一次函数的对应关系解题：二元一次方程的每一组解都对应其变形得到的一次函数图象上的点的坐标。因此我们可以先把给定的二元一次方程转化为一次函数的形式，再分析该一次函数图象经过的象限，不在图象经过范围内的象限对应的x、y正负组合就是一定不正确的。
【解析】
首先将二元一次方程$2x - 3y = 3$变形为一次函数形式：
移项得：$-3y = 3 - 2x$，
两边同时除以$-3$得：$y = \frac{2}{3}x - 1$。
分析该一次函数的图象特征：
一次项系数$k=\frac{2}{3}＞0$，因此函数图象从左到右上升；常数项$b=-1＜0$，因此函数图象与$y$轴交于负半轴。
综上，该一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
第二象限内点的坐标特征为$x＜0,y＞0$，即对应$m＜0,n＞0$，因此这种情况不可能存在，一定不正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题将二元一次方程的解和一次函数图象结合考查，解题核心是建立方程的解与函数图象上点的对应关系，通过分析函数图象的分布即可快速判断选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

11. ▶一题多解 ▶教材P60T2变式若直线$y=x-4$与直线$y=-x+2b$的交点在第一象限，则$b$的取值范围是（）

A.$-2 ＜ b ＜ 4$
B.$-2 ＜ b ＜ 2$
C.$b ＜ -2$或$b ＞ 2$
D.$b ＞ 2$

D 通解 因为直线$y = x - 4$与直线$y = -x + 2b$有交点,所以$\begin{cases} y = x - 4, \\ y = -x + 2b \end{cases}$,解得$\begin{cases} x = 2 + b, \\ y = b - 2 \end{cases}$,因为交点在第一象限,所以$\begin{cases} 2 + b ＞ 0, \\ b - 2 ＞ 0 \end{cases}$,所以$b ＞ 2.$
另解 因为直线$y = x - 4$经过第一、三、四象限,与$x$轴交于点$(4,0)$,当直线$y = -x + 2b$经过点$(4,0)$时,$0 = -4 + 2b$,解得$b = 2$,所以当交点在第一象限时,$b ＞ 2.$

【分析】
要解决这个问题，首先明确两条直线的交点坐标就是对应两个一次函数解析式联立组成的二元一次方程组的解；其次第一象限内点的坐标特征是横坐标大于0、纵坐标大于0。因此解题步骤为：先联立两个函数解析式求出用含b的代数式表示的交点坐标，再根据交点在第一象限的条件列出关于b的不等式组，求解不等式组即可得到b的取值范围，也可以通过观察函数图像找临界位置快速求解。
【解析】
方法一（代数法）：
联立两条直线的解析式得到方程组：
$\begin{cases} y = x - 4 \\ y = -x + 2b \end{cases}$
将两个方程相等消去y，得$x - 4 = -x + 2b$，
移项合并同类项得$2x = 2b + 4$，解得$x = b + 2$，
把$x = b + 2$代入$y = x - 4$，得$y = b + 2 - 4 = b - 2$，
即交点坐标为$(b+2, b-2)$。
∵交点在第一象限，
∴$\begin{cases} b + 2 ＞ 0 \\ b - 2 ＞ 0 \end{cases}$，
解第一个不等式得$b ＞ -2$，解第二个不等式得$b ＞ 2$，
根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$b ＞ 2$。
方法二（图像法）：
直线$y=x-4$斜率为正，经过第一、三、四象限，与x轴的交点为$(4,0)$。
当直线$y=-x+2b$经过点$(4,0)$时，代入得$0 = -4 + 2b$，解得$b=2$，
直线$y=-x+2b$斜率为负，b越大，直线位置越靠上，交点就会落在第一象限，因此$b＞2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，第一象限点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合基础题，既可以通过代数方法联立方程求解，也可以借助函数图像数形结合分析，核心是掌握一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，以及不同象限内点的坐标特征。
【难度系数】
0.8

12. [2026蚌埠六中期中] 如图,在平面直角坐标系中,若直线$y_1 = -x + a$与直线$y_2 = bx - 4$相交于点$P$,则下列结论错误的是 ()


A.方程$-x + a = bx - 4$的解是$x = 1$
B.不等式$-x + a ＜ -3$和不等式$bx - 4 ＞ -3$的解集相同
C.不等式组$bx - 4 ＜ -x + a ＜ 0$的解集是$-2 ＜ x ＜ 1$
D.方程组$\begin{cases} y + x = a, \\ y - bx = 4 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases}$

D 因为两条直线的交点$P$的坐标是$(1,-3)$,所以方程$-x + a = bx - 4$的解是$x = 1$,故选项A不符合题意;由题中图象可知,不等式$-x + a ＜ -3$的解集与不等式$bx - 4 ＞ -3$的解集都是$x ＞ 1$,解集相同,故选项B不符合题意;把$P(1,-3)$代入$y_1 = -x + a$,得到$a = -2$,当$y_1 = -x - 2 = 0$时,$x = -2$,结合题中图象可知不等式$-x + a ＜ 0$的解集是$x ＞ -2$,不等式$bx - 4 ＜ -x + a$的解集是$x ＜ 1$,所以$bx - 4 ＜ -x + a ＜ 0$的解集是$-2 ＜ x ＜ 1$,故选项C不符合题意;方程组$\begin{cases} y + x = a, \\ y - bx = 4 \end{cases}$的解才是$\begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases}$,故选项D错误,符合题意.

【分析】
解决本题的核心是运用一次函数与方程、不等式的数形结合关系。首先从图像中得到两条直线交点P的坐标为(1,-3)，交点的意义是此处两个函数的y值相等，横坐标对应两个函数解析式联立的一元一次方程的解。接下来逐个分析选项：①两个函数值相等时的x就是对应一元一次方程的解；②比较函数值和某常数的大小，可根据直线的增减性判断对应的x范围；③不等式组的解集可分别求两个不等式的解集再取公共部分；④二元一次方程组的解是对应两个一次函数图像的交点坐标，需先确认方程组变形后是否和给出的直线解析式一致，最终找出错误结论。
【解析】
由图像可知，直线$y_1=-x+a$与$y_2=bx-4$的交点$P$坐标为$(1,-3)$。
1. 分析选项A：方程$-x+a=bx-4$的解是两个函数值相等时$x$的取值，即交点的横坐标$x=1$，A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：$y_1=-x+a$是下降直线，当$y_1＜-3$时对应$x＞1$；$y_2=bx-4$是上升直线，当$y_2＞-3$时对应$x＞1$，两个不等式解集相同，B结论正确，不符合题意。
3. 分析选项C：将$P(1,-3)$代入$y_1=-x+a$，得$-3=-1+a$，解得$a=-2$，即$y_1=-x-2$。令$y_1=0$，解得$x=-2$，即$y_1$与$x$轴交于$(-2,0)$。不等式$bx-4＜-x+a$即$y_2＜y_1$，由图像得解集为$x＜1$；不等式$-x+a＜0$即$y_1＜0$，解集为$x＞-2$，因此不等式组的解集为$-2＜x＜1$，C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：将方程组变形得$\begin{cases}y=-x+a\\y=bx+4\end{cases}$，已知第二条直线解析式为$y_2=bx-4$，和方程组第二个方程不对应，因此该方程组的解不是$\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式；一次函数与二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数与方程、不等式的综合题，解题关键是掌握数形结合思想，通过函数图像的交点、增减性判断对应方程的解和不等式的解集。
【难度系数】
0.7

13. [2025成都天府新区期末]小虎同学在解方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=3x\end{cases}$的过程中，错把$b$看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为$\begin{cases}x=-2, \\ y=-6.\end{cases}$又已知直线$y=kx+b$过点(1, -8)，则$b$的值为 ______ .

-14 根据题意,将$(-2,-6)$代入$y = kx + 6$,得$-2k + 6 = -6$,解得$k = 6$. 因为$y = kx + b$过点$(1,-8)$,所以$6 + b = -8$,解得$b = -14.$

【分析】
解题思路如下：第一步，小虎错把b看成6时，其余解题过程没有错误，所以他解得的方程组的解，是满足写错后的方程$y=kx+6$的，我们可以先把这个错解代入$y=kx+6$，求出k的值（k没有看错，所以求得的k是正确值）；第二步，已知正确的直线$y=kx+b$过点$(1,-8)$，把已经求出的k和这个点的坐标代入方程，就能算出正确的b的值。
【解析】
根据题意，小虎看错b后得到的方程为$y=kx+6$，
将$\begin{cases}x=-2 \\ y=-6\end{cases}$代入$y=kx+6$，得：
$-2k + 6 = -6$
解得$k=6$。
因为直线$y=kx+b$过点$(1, -8)$，将$k=6$、$x=1$、$y=-8$代入$y=kx+b$，得：
$6×1 + b = -8$
解得$b=-14$。
【答案】
$-14$
【知识点】
1. 二元一次方程组解的意义
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是抓住“看错b但k计算正确”这一核心条件，先通过错解求出不变的k值，再结合已知点求解正确的b值，能较好地考查对相关概念的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

14. 在如图所示的网格中画出函数$y=2x-2$与$y=-x+4$的图象,并观察图象解决下列问题:
(1)直接写出方程组$\begin{cases} y=2x-2, \\ y=-x+4 \end{cases}$的解.
(2)解不等式$2x-2 ＞ -x+4$.
(3)当$x$取何值时,$2x-2 ＞ 0$与$-x+4 ＞ 0$同时成立?

解:画出函数$y = 2x - 2$与$y = -x + 4$的图象如图所示.

(1)方程组$\begin{cases} y = 2x - 2, \\ y = -x + 4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 2 \end{cases}.$
(2)由图象,知当$x ＞ 2$时,函数$y = 2x - 2$的图象在$y = -x + 4$的图象的上方,所以不等式$2x - 2 ＞ -x + 4$的解集为$x ＞ 2.$
(3)由图象,知当$1 ＜ x ＜ 4$时,函数$y = 2x - 2$的图象与$y = -x + 4$的图象均在$x$轴上方,所以当$1 ＜ x ＜ 4$时,$2x - 2 ＞ 0$与$-x + 4 ＞ 0$同时成立.

【分析】
要解决这道题，首先利用“两点确定一条直线”画出两个一次函数的图象：分别找两个函数与x轴、y轴的交点，连线即可得到对应直线。
(1) 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，因为交点的x、y值同时满足两个函数解析式，也就是满足方程组，所以找到两个直线的交点就能得到方程组的解。
(2) 不等式$2x-2＞-x+4$的几何意义是$y=2x-2$的函数值大于$y=-x+4$的函数值，对应图象上就是$y=2x-2$的直线在$y=-x+4$直线上方的部分，找到这部分对应的x的取值范围就是不等式的解集。
(3) $2x-2＞0$对应$y=2x-2$的图象在x轴上方的x范围，$-x+4＞0$对应$y=-x+4$的图象在x轴上方的x范围，两个范围的公共部分就是同时满足两个不等式的x的取值。
【解析】
第一步：绘制函数图象
对于$y=2x-2$，当$x=0$时，$y=-2$；当$y=0$时，$x=1$，过点$(0,-2)$和$(1,0)$画直线，得到$y=2x-2$的图象。
对于$y=-x+4$，当$x=0$时，$y=4$；当$y=0$时，$x=4$，过点$(0,4)$和$(4,0)$画直线，得到$y=-x+4$的图象。
(1) 观察图象可得，两条直线的交点坐标为$(2,2)$，因此方程组的解为交点对应的x、y值。
(2) 观察图象位置：当$x＞2$时，$y=2x-2$的图象位于$y=-x+4$图象的上方，即此时$2x-2＞-x+4$，即可得到不等式的解集。
(3) 分别找两个函数图象在x轴上方的x范围：$y=2x-2$在x轴上方时$x＞1$，$y=-x+4$在x轴上方时$x＜4$，取两个范围的公共部分，即可得到同时满足两个不等式的x的取值。
【答案】
画出函数$y = 2x - 2$与$y = -x + 4$的图象如图所示.

(1)$\begin{cases} x = 2, \\ y = 2 \end{cases}$
(2)$x ＞ 2$
(3)$1 ＜ x ＜ 4$
【知识点】
一次函数的图象，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数中的应用，将方程、不等式问题转化为函数图象的位置问题求解，降低了解题难度，是一次函数综合应用的基础题型，需熟练掌握图象法解方程、不等式的技巧。
【难度系数】
0.7

15. 应用意识 已知关于$x$的一次函数$y = ax + b$与$y = bx + a$，则称这两个一次函数为“衍生函数”.
(1)当$a = 1,b = 2$时，求这两个“衍生函数”图象的交点坐标.
(2)若$a ＜ b ＜ 0$，求当$ax + b ＞ bx + a$时，$x$的取值范围.
(3)若两函数图象的交点为$P$，且$a + b ≠ 0$，当点$P$在函数$y = m(ax + b) + n(bx + a)$的图象上时，求$m$与$n$的数量关系.

解:(1)根据题意,得$\begin{cases} y = x + 2, \\ y = 2x + 1 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$,所以这两个“衍生函数”图象的交点坐标为$(1,3).$
(2)解方程组$\begin{cases} y = ax + b, \\ y = bx + a \end{cases}$,得$\begin{cases} x = 1, \\ y = a + b \end{cases}$,所以一次函数$y = ax + b$与$y = bx + a$的图象的交点坐标为$(1,a + b).$
因为$a ＜ b ＜ 0$,所以当$ax + b ＞ bx + a$时,$x$的取值范围是$x ＜ 1.$
(3)由(2)可知,点$P$的坐标为$(1,a + b)$,所以$a + b = m(a + b) + n(b + a)$,整理,得$m + n = 1.$

【分析】
(1) 求两个一次函数图象的交点坐标，核心方法是将两个函数解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是交点的横、纵坐标，代入$a=1$、$b=2$得到方程组求解即可。
(2) 先联立两个“衍生函数”解析式，可推出交点横坐标恒为1；再解不等式$ax+b＞bx+a$，移项合并同类项后，结合$a＜b＜0$的条件判断系数的正负，根据不等式的性质确定不等号方向，就能得到$x$的取值范围，也可结合一次函数图象的增减性判断。
(3) 由前一问可得交点$P$的坐标为$(1,a+b)$，根据“函数图象上的点满足函数解析式”，将$P$点坐标代入$y = m(ax + b) + n(bx + a)$，整理后结合$a+b≠0$的条件，即可推出$m$与$n$的数量关系。
【解析】
(1) 当$a=1$，$b=2$时，两个“衍生函数”的解析式分别为$y=x+2$和$y=2x+1$，联立得：
$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = 2x + 1 \end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，得$x+2=2x+1$，解得$x=1$，把$x=1$代入$y=x+2$得$y=3$，即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 联立两个“衍生函数”解析式：
$\begin{cases} y = ax + b \\ y = bx + a \end{cases}$
两式相等得$ax+b=bx+a$，移项得$ax - bx = a - b$，即$(a-b)x = a - b$，因为$a＜b$，所以$a-b≠0$，两边同时除以$(a-b)$得$x=1$，代入得$y=a+b$，即两函数交点坐标为$(1,a+b)$。
对不等式$ax+b＞bx+a$移项得$(a-b)x ＞ a - b$，因为$a＜b＜0$，所以$a-b＜0$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，因此$x ＜ 1$。
(3) 由(2)可知，两函数交点$P$的坐标为$(1,a+b)$，因为点$P$在函数$y = m(ax + b) + n(bx + a)$的图象上，将$x=1$，$y=a+b$代入解析式得：
$a + b = m(a×1 + b) + n(b×1 + a)$
即$a + b = m(a+b) + n(a+b)$
提取公因式得$a + b = (m + n)(a + b)$
已知$a + b ≠ 0$，两边同时除以$(a+b)$，得$m + n = 1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,3)}$
(2) $\boldsymbol{x ＜ 1}$
(3) $\boldsymbol{m + n = 1}$
【知识点】
一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式、一次函数点的坐标特征
【点评】
本题以新定义“衍生函数”为载体，综合考查一次函数的相关核心知识，解题关键是理解新定义的本质，熟练运用联立方程组求交点、点在图象上即满足解析式等基础方法，整体侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7