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1. 在以下四条直线中,直线上每个点的坐标都适合二元一次方程$x - 2y = 2$的是（
C
）答案
因为$x - 2y = 2$,所以$y = \frac{1}{2}x - 1$. 当$x = 0$时,$y = -1$;当$y = 0$时,$x = 2$. 所以函数$y = \frac{1}{2}x - 1$的图象经过点$(0,-1),(2,0).$
解析
【分析】
要判断哪条直线上的所有点都满足方程$x-2y=2$，首先可将二元一次方程变形为一次函数的形式，二元一次方程的解对应一次函数图象上的点，我们只需要求出该一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，再和四个选项中的直线经过的点对比，匹配交点的就是正确选项。
【解析】
解：先将二元一次方程$x-2y=2$变形为一次函数形式：
移项得$2y=x-2$，化简得$y=\frac{1}{2}x -1$。
1. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=\frac{1}{2}×0 -1=-1$，即函数图象过点$(0,-1)$；
2. 求函数与x轴的交点：令$y=0$，代入解析式得$0=\frac{1}{2}x -1$，解得$x=2$，即函数图象过点$(2,0)$。
逐一对比选项：
A选项直线过$(-2,0)$、$(0,2)$，不符合；
B选项直线过$(1,0)$、$(0,-2)$，不符合；
C选项直线过$(2,0)$、$(0,-1)$，符合条件；
D选项直线过$(1,0)$、$(0,-0.5)$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程与一次函数的转化
2. 一次函数与坐标轴交点求解
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程的对应关系，解题核心是将方程转化为一次函数解析式，通过求函数与坐标轴的交点快速匹配图像，熟练掌握二者的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
要判断哪条直线上的所有点都满足方程$x-2y=2$，首先可将二元一次方程变形为一次函数的形式，二元一次方程的解对应一次函数图象上的点，我们只需要求出该一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，再和四个选项中的直线经过的点对比，匹配交点的就是正确选项。
【解析】
解：先将二元一次方程$x-2y=2$变形为一次函数形式：
移项得$2y=x-2$，化简得$y=\frac{1}{2}x -1$。
1. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=\frac{1}{2}×0 -1=-1$，即函数图象过点$(0,-1)$；
2. 求函数与x轴的交点：令$y=0$，代入解析式得$0=\frac{1}{2}x -1$，解得$x=2$，即函数图象过点$(2,0)$。
逐一对比选项：
A选项直线过$(-2,0)$、$(0,2)$，不符合；
B选项直线过$(1,0)$、$(0,-2)$，不符合；
C选项直线过$(2,0)$、$(0,-1)$，符合条件；
D选项直线过$(1,0)$、$(0,-0.5)$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程与一次函数的转化
2. 一次函数与坐标轴交点求解
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程的对应关系，解题核心是将方程转化为一次函数解析式，通过求函数与坐标轴的交点快速匹配图像，熟练掌握二者的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
2. 若一次函数$y=ax-b$的图象上有一点的坐标是$(3,2)$，则关于$x,y$的方程$ax-y-b=0$必有一个解为。
答案
$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$ 直线$y = ax - b$上的点的坐标即为方程$ax - y - b = 0$的解.
解析
【分析】
解题时先明确一次函数与对应二元一次方程的关系：将一次函数的表达式通过移项整理为含x、y的二元一次方程形式后，一次函数图象上任意一点的横、纵坐标都满足该二元一次方程，也就是该方程的一组解。本题中先把给出的一次函数解析式变形，和待求方程对比，发现二者完全等价，再结合已知点在函数图象上的条件，就能直接得到方程的解。
【解析】
第一步：将一次函数$y=ax-b$移项变形，可得$ax - y - b = 0$，说明该一次函数和方程$ax - y - b = 0$是对应关系。
第二步：已知点$(3,2)$在一次函数$y=ax-b$的图象上，因此当$x=3$，$y=2$时，$y=ax-b$的等式成立，自然也满足方程$ax - y - b = 0$。
【答案】
$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的关系
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数和对应的二元一次方程的内在关联，掌握“一次函数图象上点的坐标都是对应二元一次方程的解”这一规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先明确一次函数与对应二元一次方程的关系：将一次函数的表达式通过移项整理为含x、y的二元一次方程形式后，一次函数图象上任意一点的横、纵坐标都满足该二元一次方程，也就是该方程的一组解。本题中先把给出的一次函数解析式变形，和待求方程对比，发现二者完全等价，再结合已知点在函数图象上的条件，就能直接得到方程的解。
【解析】
第一步：将一次函数$y=ax-b$移项变形，可得$ax - y - b = 0$，说明该一次函数和方程$ax - y - b = 0$是对应关系。
第二步：已知点$(3,2)$在一次函数$y=ax-b$的图象上，因此当$x=3$，$y=2$时，$y=ax-b$的等式成立，自然也满足方程$ax - y - b = 0$。
【答案】
$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的关系
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数和对应的二元一次方程的内在关联，掌握“一次函数图象上点的坐标都是对应二元一次方程的解”这一规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. [2026合肥蜀山区期中]在同一平面直角坐标系中，直线$y=-x+4$与$y=2x+m$相交于点$P(3,n)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + y -4 =0, \\2x - y + m =0\end{cases}$的解为（ ）
A.$\begin{cases}x=-1, \\y=5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3, \\y=1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1, \\y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=9, \\y=-5\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=-1, \\y=5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3, \\y=1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1, \\y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=9, \\y=-5\end{cases}$
答案
B 将点$P$的坐标$(3,n)$代入$y = -x + 4$,得$n = -3 + 4$,解得$n = 1$,所以$P(3,1)$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases}.$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题已知两条直线的交点为$P(3,n)$，因此只需求出点$P$的完整坐标，即可得到方程组的解。第一步先将$P(3,n)$代入已知解析式$y=-x+4$，计算出$n$的值，得到$P$点坐标，即为方程组的解。
【解析】
将点$P(3,n)$代入直线$y=-x+4$，得：
$n=-3+4=1$
因此交点$P$的坐标为$(3,1)$。
由于两条直线的交点坐标就是对应联立二元一次方程组的解，且题中给出的方程组$\begin{cases}x + y -4 =0, \\2x - y + m =0\end{cases}$恰好是两条直线解析式变形得到的，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=1\end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题核心是明确两个一次函数图象的交点坐标就是二者联立所得方程组的解，属于基础题型，熟练掌握该对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题已知两条直线的交点为$P(3,n)$，因此只需求出点$P$的完整坐标，即可得到方程组的解。第一步先将$P(3,n)$代入已知解析式$y=-x+4$，计算出$n$的值，得到$P$点坐标，即为方程组的解。
【解析】
将点$P(3,n)$代入直线$y=-x+4$，得：
$n=-3+4=1$
因此交点$P$的坐标为$(3,1)$。
由于两条直线的交点坐标就是对应联立二元一次方程组的解，且题中给出的方程组$\begin{cases}x + y -4 =0, \\2x - y + m =0\end{cases}$恰好是两条直线解析式变形得到的，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=1\end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题核心是明确两个一次函数图象的交点坐标就是二者联立所得方程组的解，属于基础题型，熟练掌握该对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
变式 [2026安庆期中] 已知方程组$\begin{cases}2x - y + 3 = 0, \\ax - y + c = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 1,\end{cases}$则一次函数$y = 2x + 3$与$y = ax + c$的图象的交点坐标是 ______ .
答案
$(-1,1)$
解析
【分析】
首先要明确二元一次方程组与一次函数的对应关系：每个二元一次方程都可变形为一次函数的形式，二元一次方程组的解，就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标，因为交点的横、纵坐标同时满足两个一次函数的解析式，自然也同时满足对应的两个二元一次方程。本题已经给出对应方程组的解，直接根据这一对应关系就能得到两个一次函数的交点坐标。
【解析】
每个二元一次方程都对应一个一次函数，二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标。
已知方程组$\begin{cases}2x - y + 3 = 0, \\ax - y + c = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 1,\end{cases}$，将方程组中的两个方程变形即可得到一次函数$y = 2x + 3$和$y = ax + c$，因此两个一次函数图象的交点坐标就是方程组的解对应的坐标。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点的意义
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的内在联系，理解“二元一次方程组的解即为对应两个一次函数图象的交点坐标”是解题的核心，掌握这一对应关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
首先要明确二元一次方程组与一次函数的对应关系：每个二元一次方程都可变形为一次函数的形式，二元一次方程组的解，就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标，因为交点的横、纵坐标同时满足两个一次函数的解析式，自然也同时满足对应的两个二元一次方程。本题已经给出对应方程组的解，直接根据这一对应关系就能得到两个一次函数的交点坐标。
【解析】
每个二元一次方程都对应一个一次函数，二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标。
已知方程组$\begin{cases}2x - y + 3 = 0, \\ax - y + c = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 1,\end{cases}$，将方程组中的两个方程变形即可得到一次函数$y = 2x + 3$和$y = ax + c$，因此两个一次函数图象的交点坐标就是方程组的解对应的坐标。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点的意义
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的内在联系，理解“二元一次方程组的解即为对应两个一次函数图象的交点坐标”是解题的核心，掌握这一对应关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
4. 易错题 [2026安庆期中] 如图，直线 $ l_1, l_2 $ 的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解？（
A.$ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = 3x - 3 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = 2x - 1 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 4x - 5 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 3x - 3 \end{cases} $
B
）A.$ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = 3x - 3 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = 2x - 1 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 4x - 5 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 3x - 3 \end{cases} $
答案
设直线$l_1$的表达式为$y_1 = kx + b$,因为其过点$(2,3)$,$(0,1)$,所以$\begin{cases} 2k + b = 3, \\ b = 1 \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 1, \\ b = 1 \end{cases}$,所以直线$l_1$的函数表达式为$y = x + 1$;同理,利用待定系数法可求得直线$l_2$的表达式为$y = 2x - 1$,所以所求的二元一次方程组为$\begin{cases} y = x + 1, \\ y = 2x - 1 \end{cases}.$
避坑指南
本题中两条直线的交点坐标为$(2,3)$,即所求方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$,切忌将$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$代入选项进行验证,因为以$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$为解的方程组并不一定满足题意,如选项A,C,D中的方程组的解均为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}.$
避坑指南
本题中两条直线的交点坐标为$(2,3)$,即所求方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$,切忌将$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$代入选项进行验证,因为以$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$为解的方程组并不一定满足题意,如选项A,C,D中的方程组的解均为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一次函数与二元一次方程组的关系：两条直线的交点坐标就是由这两条直线的解析式联立得到的方程组的解。解题时不能只把交点$(2,3)$代入选项验证，因为多个选项的方程组都以$(2,3)$为解，正确的思路是先用待定系数法分别求出直线$l_1$和$l_2$的函数解析式，再将两个解析式联立，得到的方程组就是所求的方程组，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求直线$l_1$的解析式：
设直线$l_1$的表达式为$y=kx+b$，由图象可知$l_1$经过点$(0,1)$和$(2,3)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases} b=1 \\ 2k+b=3 \end{cases}$
把$b=1$代入第二个方程，解得$k=1$，因此$l_1$的解析式为$y=x+1$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设直线$l_2$的表达式为$y=mx+n$，由图象可知$l_2$经过点$(0,-1)$和$(2,3)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases} n=-1 \\ 2m+n=3 \end{cases}$
把$n=-1$代入第二个方程，解得$m=2$，因此$l_2$的解析式为$y=2x-1$。
3. 联立两个解析式，得到的方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=2x-1 \end{cases}$的解就是两直线的交点坐标，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于易错题，不少同学会直接将交点坐标代入选项验证，忽略了只有两条直线本身的解析式联立得到的方程组才符合题意，解题时要优先根据图象上的已知点求出两条直线的解析式，再联立得到对应方程组，避免掉入验证误区。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一次函数与二元一次方程组的关系：两条直线的交点坐标就是由这两条直线的解析式联立得到的方程组的解。解题时不能只把交点$(2,3)$代入选项验证，因为多个选项的方程组都以$(2,3)$为解，正确的思路是先用待定系数法分别求出直线$l_1$和$l_2$的函数解析式，再将两个解析式联立，得到的方程组就是所求的方程组，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求直线$l_1$的解析式：
设直线$l_1$的表达式为$y=kx+b$，由图象可知$l_1$经过点$(0,1)$和$(2,3)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases} b=1 \\ 2k+b=3 \end{cases}$
把$b=1$代入第二个方程，解得$k=1$，因此$l_1$的解析式为$y=x+1$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设直线$l_2$的表达式为$y=mx+n$，由图象可知$l_2$经过点$(0,-1)$和$(2,3)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases} n=-1 \\ 2m+n=3 \end{cases}$
把$n=-1$代入第二个方程，解得$m=2$，因此$l_2$的解析式为$y=2x-1$。
3. 联立两个解析式，得到的方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=2x-1 \end{cases}$的解就是两直线的交点坐标，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于易错题，不少同学会直接将交点坐标代入选项验证，忽略了只有两条直线本身的解析式联立得到的方程组才符合题意，解题时要优先根据图象上的已知点求出两条直线的解析式，再联立得到对应方程组，避免掉入验证误区。
【难度系数】
0.6
5. [2026安庆迎江区期中]已知一次函数$y=kx+b$的图象如图所示.
(1)请在图中作出函数$y=x+1$的图象.
(2)利用图象求关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=x+1 \end{cases}$的解.
(1)请在图中作出函数$y=x+1$的图象.
(2)利用图象求关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=x+1 \end{cases}$的解.
答案
解:(1)列表如下：
| $x$ | 0 | -1 |
| ---- | ---- | ---- |
| $y$ | 1 | 0 |
画图象如下：
(2)由图象可知,$y = kx + b$和$y = x + 1$的图象交于$(1,2)$,所以方程组$\begin{cases} y = kx + b, \\ y = x + 1 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}.$
得分要点
利用图象法解二元一次方程组的步骤
先将二元一次方程组中的两个方程分别化为一次函数的形式,然后在同一平面直角坐标系中准确地作出函数图象,观察交点坐标,交点坐标就是二元一次方程组的解.
解析
【分析】
(1) 一次函数的图象是直线，绘制时只需找到图象上的两个点即可，通常选取函数与x轴、y轴的交点，计算出两点坐标后描点、连线就能得到对应图象。
(2) 二元一次方程组的解是同时满足两个方程的x、y的取值，对应到函数图象中，就是两个一次函数图象的交点坐标，因此找到两个函数图象的交点，即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 绘制$y=x+1$的图象：
① 求图象上的点：令$x=0$，代入$y=x+1$得$y=1$，得到点$(0,1)$；令$y=0$，代入得$0=x+1$，解得$x=-1$，得到点$(-1,0)$。
② 在平面直角坐标系中描出$(0,1)$和$(-1,0)$两个点，过这两个点画直线，即为$y=x+1$的图象。
(2) 求方程组的解：
观察图象可知，一次函数$y=kx+b$和$y=x+1$的图象交点坐标为$(1,2)$，该点坐标同时满足两个函数的解析式，因此对应方程组的解就是该点的横、纵坐标。
【答案】
(1) 列表如下：
| $x$ | 0 | -1 |
| ---- | ---- | ---- |
| $y$ | 1 | 0 |
画图象如下：
(2) 方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}.$
【知识点】
一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程组的关系；图象法解方程组
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题关键是明确两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
(1) 一次函数的图象是直线，绘制时只需找到图象上的两个点即可，通常选取函数与x轴、y轴的交点，计算出两点坐标后描点、连线就能得到对应图象。
(2) 二元一次方程组的解是同时满足两个方程的x、y的取值，对应到函数图象中，就是两个一次函数图象的交点坐标，因此找到两个函数图象的交点，即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 绘制$y=x+1$的图象：
① 求图象上的点：令$x=0$，代入$y=x+1$得$y=1$，得到点$(0,1)$；令$y=0$，代入得$0=x+1$，解得$x=-1$，得到点$(-1,0)$。
② 在平面直角坐标系中描出$(0,1)$和$(-1,0)$两个点，过这两个点画直线，即为$y=x+1$的图象。
(2) 求方程组的解：
观察图象可知，一次函数$y=kx+b$和$y=x+1$的图象交点坐标为$(1,2)$，该点坐标同时满足两个函数的解析式，因此对应方程组的解就是该点的横、纵坐标。
【答案】
(1) 列表如下：
| $x$ | 0 | -1 |
| ---- | ---- | ---- |
| $y$ | 1 | 0 |
画图象如下：
(2) 方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}.$
【知识点】
一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程组的关系；图象法解方程组
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题关键是明确两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
6. 如图,已知直线$y=2x+3$与直线$y=-2x-1$.
(1)求两直线与y轴的交点A,B的坐标.
(2)求两直线的交点C的坐标.
(3)求三角形ABC的面积.
(1)求两直线与y轴的交点A,B的坐标.
(2)求两直线的交点C的坐标.
(3)求三角形ABC的面积.
答案
解:(1)对于$y = 2x + 3$,令$x = 0$,得$y = 3$,所以点$A$的坐标为$(0,3)$.
对于$y = -2x - 1$,令$x = 0$,得$y = -1$,所以点$B$的坐标为$(0,-1)$.
(2)由$\begin{cases} y = 2x + 3, \\ y = -2x - 1 \end{cases}$,得$\begin{cases} x = -1, \\ y = 1 \end{cases}$,所以点$C$的坐标为$(-1,1)$.
(3)由(1)知$A(0,3),B(0,-1)$,所以$AB = 4$.
由(2)知$C(-1,1)$,所以三角形$ABC$中$AB$边上的高为$1$,所以三角形$ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2.$
对于$y = -2x - 1$,令$x = 0$,得$y = -1$,所以点$B$的坐标为$(0,-1)$.
(2)由$\begin{cases} y = 2x + 3, \\ y = -2x - 1 \end{cases}$,得$\begin{cases} x = -1, \\ y = 1 \end{cases}$,所以点$C$的坐标为$(-1,1)$.
(3)由(1)知$A(0,3),B(0,-1)$,所以$AB = 4$.
由(2)知$C(-1,1)$,所以三角形$ABC$中$AB$边上的高为$1$,所以三角形$ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2.$
解析
【分析】
(1) 求直线与y轴的交点时，y轴上点的横坐标均为0，因此只需将x=0分别代入两个一次函数解析式，求出对应的y值，即可得到A、B的坐标。
(2) 两条直线的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此将两个解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是交点C的坐标。
(3) 观察可知A、B都在y轴上，先计算AB的长度（即两点纵坐标差的绝对值），点C到y轴的距离就是AB边上的高（即点C横坐标的绝对值），最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 对于$y = 2x + 3$，令$x = 0$，得$y = 3$，所以点$A$的坐标为$(0,3)$。
对于$y = -2x - 1$，令$x = 0$，得$y = -1$，所以点$B$的坐标为$(0,-1)$。
(2) 联立两个函数解析式得方程组$\begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = -2x - 1 \end{cases}$，
将两式等号右侧相等，得$2x+3=-2x-1$，解得$x=-1$，把$x=-1$代入$y=2x+3$得$y=1$，即方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$，所以点$C$的坐标为$(-1,1)$。
(3) 由A、B坐标可得$AB = |3 - (-1)| = 4$，
点C到AB所在y轴的距离为$|-1|=1$，即AB边上的高为1，
因此$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$。
【答案】
(1) $A(0,3)$，$B(0,-1)$
(2) $C(-1,1)$
(3) $△ ABC$的面积为$2$
【知识点】
一次函数交点求法，二元一次方程组的解法，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，难度较低，解题的核心是掌握坐标轴上点的坐标特征、联立解析式求函数交点的方法，计算面积时选择合适的底和高可以大幅简化运算，属于必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求直线与y轴的交点时，y轴上点的横坐标均为0，因此只需将x=0分别代入两个一次函数解析式，求出对应的y值，即可得到A、B的坐标。
(2) 两条直线的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此将两个解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是交点C的坐标。
(3) 观察可知A、B都在y轴上，先计算AB的长度（即两点纵坐标差的绝对值），点C到y轴的距离就是AB边上的高（即点C横坐标的绝对值），最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 对于$y = 2x + 3$，令$x = 0$，得$y = 3$，所以点$A$的坐标为$(0,3)$。
对于$y = -2x - 1$，令$x = 0$，得$y = -1$，所以点$B$的坐标为$(0,-1)$。
(2) 联立两个函数解析式得方程组$\begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = -2x - 1 \end{cases}$，
将两式等号右侧相等，得$2x+3=-2x-1$，解得$x=-1$，把$x=-1$代入$y=2x+3$得$y=1$，即方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$，所以点$C$的坐标为$(-1,1)$。
(3) 由A、B坐标可得$AB = |3 - (-1)| = 4$，
点C到AB所在y轴的距离为$|-1|=1$，即AB边上的高为1，
因此$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$。
【答案】
(1) $A(0,3)$，$B(0,-1)$
(2) $C(-1,1)$
(3) $△ ABC$的面积为$2$
【知识点】
一次函数交点求法，二元一次方程组的解法，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，难度较低，解题的核心是掌握坐标轴上点的坐标特征、联立解析式求函数交点的方法，计算面积时选择合适的底和高可以大幅简化运算，属于必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
7. [2026安庆期中] 已知一次函数$y_1=2x+m$与$y_2=2x+n(m≠n)$的图象如图所示，则关于$x$与$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = -m, \\2x - y = -n\end{cases}$的解的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.无数
A.0
B.1
C.2
D.无数
答案
A 因为一次函数$y_1 = 2x + m$与$y_2 = 2x + n(m ≠ n)$的图象是两条互相平行的直线,所以关于$x$与$y$的二元一次方程组$\begin{cases} 2x - y = -m, \\ 2x - y = -n \end{cases}$无解,即解的个数为0.
解析
【分析】
解题时先明确两个核心关联：一是一次函数$y=kx+b$中，k值相等、b值不等时两条直线互相平行，没有交点；二是二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标。首先观察两个一次函数$y_1=2x+m$和$y_2=2x+n$，二者k值均为2，且$m≠n$，可判断两直线平行无交点；再将题目中的方程组变形，可发现刚好对应这两个一次函数，因此方程组解的个数等于两直线交点的个数，即可推导结果。
【解析】
先对二元一次方程组变形：
将方程$2x - y = -m$移项得$y=2x+m$，对应一次函数$y_1$；
将方程$2x - y = -n$移项得$y=2x+n$，对应一次函数$y_2$。
一次函数$y=kx+b$中k为斜率，两个函数k值均为2，且$m≠n$（截距不等），因此$y_1$和$y_2$的图象是互相平行的两条直线，没有公共交点。
二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，两直线平行无交点，因此该方程组无解，解的个数为0。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应联系，解题关键是根据一次函数的系数判断出两直线平行，进而推导方程组的解的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心关联：一是一次函数$y=kx+b$中，k值相等、b值不等时两条直线互相平行，没有交点；二是二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标。首先观察两个一次函数$y_1=2x+m$和$y_2=2x+n$，二者k值均为2，且$m≠n$，可判断两直线平行无交点；再将题目中的方程组变形，可发现刚好对应这两个一次函数，因此方程组解的个数等于两直线交点的个数，即可推导结果。
【解析】
先对二元一次方程组变形：
将方程$2x - y = -m$移项得$y=2x+m$，对应一次函数$y_1$；
将方程$2x - y = -n$移项得$y=2x+n$，对应一次函数$y_2$。
一次函数$y=kx+b$中k为斜率，两个函数k值均为2，且$m≠n$（截距不等），因此$y_1$和$y_2$的图象是互相平行的两条直线，没有公共交点。
二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，两直线平行无交点，因此该方程组无解，解的个数为0。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应联系，解题关键是根据一次函数的系数判断出两直线平行，进而推导方程组的解的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x +5y=6, \\kx +10y=12,\end{cases}$当k ______ 时，方程组有且只有一组解；当k ______ 时，方程组有无数组解。
答案
$≠ 4$ $=4$ 当$\frac{2}{k} ≠ \frac{5}{10}$,即$k ≠ 4$时,方程组有且只有一组解. 当$\frac{2}{k} = \frac{5}{10} = \frac{6}{12}$,即$k = 4$时,方程组有无数组解.
解析
【分析】
判断二元一次方程组的解的个数，可结合对应一次函数图象的位置关系分析：两个方程对应的直线相交时，方程组有且只有一组解；两条直线重合时，方程组有无数组解。对于形如$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的方程组，唯一解的判定条件为$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$，无数组解的判定条件为$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，我们只需将本题的对应系数代入条件计算即可。
【解析】
已知方程组为$\begin{cases}2x +5y=6 \\kx +10y=12\end{cases}$，对应系数$a_1=2,b_1=5,c_1=6,a_2=k,b_2=10,c_2=12$：
1. 当方程组有且只有一组解时，满足$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$，即$\frac{2}{k}≠\frac{5}{10}$，化简得$\frac{2}{k}≠\frac{1}{2}$，解得$k≠4$。
2. 当方程组有无数组解时，满足$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，先验证得$\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，因此令$\frac{2}{k}=\frac{1}{2}$，解得$k=4$，此时三个比值均相等，符合无数组解的条件。
【答案】
$≠4$；$=4$
【知识点】
二元一次方程组解的判定；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二元一次方程组解的情况和系数比例的对应关系，解题时直接代入系数计算即可，需注意区分唯一解和无数组解的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
判断二元一次方程组的解的个数，可结合对应一次函数图象的位置关系分析：两个方程对应的直线相交时，方程组有且只有一组解；两条直线重合时，方程组有无数组解。对于形如$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的方程组，唯一解的判定条件为$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$，无数组解的判定条件为$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，我们只需将本题的对应系数代入条件计算即可。
【解析】
已知方程组为$\begin{cases}2x +5y=6 \\kx +10y=12\end{cases}$，对应系数$a_1=2,b_1=5,c_1=6,a_2=k,b_2=10,c_2=12$：
1. 当方程组有且只有一组解时，满足$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$，即$\frac{2}{k}≠\frac{5}{10}$，化简得$\frac{2}{k}≠\frac{1}{2}$，解得$k≠4$。
2. 当方程组有无数组解时，满足$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，先验证得$\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，因此令$\frac{2}{k}=\frac{1}{2}$，解得$k=4$，此时三个比值均相等，符合无数组解的条件。
【答案】
$≠4$；$=4$
【知识点】
二元一次方程组解的判定；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二元一次方程组解的情况和系数比例的对应关系，解题时直接代入系数计算即可，需注意区分唯一解和无数组解的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
