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6. 一次函数$y=ax+b$中的自变量$x$与函数值$y$的对应值如下表所示：
则关于$x$的方程$ax+b=0$的解满足 (
A.$x＜1$
B.$-1＜x＜0$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$
则关于$x$的方程$ax+b=0$的解满足 (
B
)A.$x＜1$
B.$-1＜x＜0$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$
答案
B 当$x = -1$时,$y = -π$,为负值;当$x = 0$时,$y = 1$,为正值,所以当$-1 ＜ x ＜ 0$时,y的值由负到正,所以方程$ax + b = 0$的解满足$-1 ＜ x ＜ 0$.
解析
【分析】
解题时首先要明确一元一次方程$ax+b=0$的解，对应的就是一次函数$y=ax+b$中函数值$y=0$时自变量$x$的值，也就是一次函数图象与x轴交点的横坐标。接下来观察表格给出的两组对应值，判断$y$从负到正对应的$x$的区间，因为一次函数的图象是连续的直线，所以当$x$取区间两端的值时$y$一负一正，说明区间内必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的解落在这个区间内。
【解析】
解：方程$ax+b=0$的解是一次函数$y=ax+b$中$y=0$时对应的$x$的值。
由表格数据可知：当$x=-1$时，$y=-π＜0$；当$x=0$时，$y=1＞0$。
因为一次函数的函数值随$x$的变化是连续的，因此当$y=0$时，$x$的取值范围在$-1$和$0$之间，即$-1＜x＜0$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的联系，解题的核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数的零点（图象与x轴交点的横坐标）的对应关系，结合函数值的正负即可判断解的范围，属于基础概念应用类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元一次方程$ax+b=0$的解，对应的就是一次函数$y=ax+b$中函数值$y=0$时自变量$x$的值，也就是一次函数图象与x轴交点的横坐标。接下来观察表格给出的两组对应值，判断$y$从负到正对应的$x$的区间，因为一次函数的图象是连续的直线，所以当$x$取区间两端的值时$y$一负一正，说明区间内必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的解落在这个区间内。
【解析】
解：方程$ax+b=0$的解是一次函数$y=ax+b$中$y=0$时对应的$x$的值。
由表格数据可知：当$x=-1$时，$y=-π＜0$；当$x=0$时，$y=1＞0$。
因为一次函数的函数值随$x$的变化是连续的，因此当$y=0$时，$x$的取值范围在$-1$和$0$之间，即$-1＜x＜0$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的联系，解题的核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数的零点（图象与x轴交点的横坐标）的对应关系，结合函数值的正负即可判断解的范围，属于基础概念应用类题型。
【难度系数】
0.8
7. ▶一题多解 [2025徐州中考] 如图
为一次函数$y=kx+b$的图象，关于$x$的不等式$k(x-3)+b＜0$的解集为（
A.$x＜-4$
B.$x＞-4$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
为一次函数$y=kx+b$的图象，关于$x$的不等式$k(x-3)+b＜0$的解集为（C
）A.$x＜-4$
B.$x＞-4$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
C 由题图可知,不等式$kx + b ＜ 0$的解集为$x ＜ -1$,对于不等式$k(x - 3) + b ＜ 0$,可把$x - 3$看作一个整体,得其解集为$x - 3 ＜ -1$,解得$x ＜ 2$,故不等式$k(x - 3) + b ＜ 0$的解集为$x ＜ 2$.
另解 如图,把一次函数$y = kx + b$的图象向右平移3个单位长度可得到一次函数$y = k(x - 3) + b$的图象,可知一次函数$y = k(x - 3) + b$的图象过点$(-1 + 3,0)$,即点$(2,0)$,则不等式$k(x - 3) + b ＜ 0$的解集为$x ＜ 2$.
解析
【分析】
解题可以从两个方向思考：①整体代换思路：先从已知图象得出不等式$kx+b＜0$的解集，再将$k(x-3)+b＜0$中的$x-3$看作整体，对应替换求解即可；②图象平移思路：根据一次函数平移规律，得到$y=k(x-3)+b$的图象与x轴的交点，再结合函数增减性判断不等式的解集。
【解析】
解法1：由题图可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$(-1,0)$，且y随x的增大而增大，因此不等式$kx+b＜0$的解集为$x＜-1$。
将不等式$k(x-3)+b＜0$中的$x-3$看作整体，可得$x-3 ＜ -1$，解这个不等式得$x＜2$。
解法2：根据一次函数平移的“左加右减”规律，将$y=kx+b$的图象向右平移3个单位长度即可得到$y=k(x-3)+b$的图象。
原函数与x轴交点为$(-1,0)$，平移后函数与x轴的交点为$(-1+3,0)$，即$(2,0)$，且平移后函数增减性不变，y仍随x的增大而增大，因此$k(x-3)+b＜0$即函数值小于0时，对应的x的取值范围是$x＜2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数的平移；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题将一次函数的图象、平移性质与一元一次不等式结合考查，可通过整体代换或数形结合两种方法求解，能很好地锻炼学生的转化思维和数形结合能力。
【难度系数】
0.7
解题可以从两个方向思考：①整体代换思路：先从已知图象得出不等式$kx+b＜0$的解集，再将$k(x-3)+b＜0$中的$x-3$看作整体，对应替换求解即可；②图象平移思路：根据一次函数平移规律，得到$y=k(x-3)+b$的图象与x轴的交点，再结合函数增减性判断不等式的解集。
【解析】
解法1：由题图可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$(-1,0)$，且y随x的增大而增大，因此不等式$kx+b＜0$的解集为$x＜-1$。
将不等式$k(x-3)+b＜0$中的$x-3$看作整体，可得$x-3 ＜ -1$，解这个不等式得$x＜2$。
解法2：根据一次函数平移的“左加右减”规律，将$y=kx+b$的图象向右平移3个单位长度即可得到$y=k(x-3)+b$的图象。
原函数与x轴交点为$(-1,0)$，平移后函数与x轴的交点为$(-1+3,0)$，即$(2,0)$，且平移后函数增减性不变，y仍随x的增大而增大，因此$k(x-3)+b＜0$即函数值小于0时，对应的x的取值范围是$x＜2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数的平移；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题将一次函数的图象、平移性质与一元一次不等式结合考查，可通过整体代换或数形结合两种方法求解，能很好地锻炼学生的转化思维和数形结合能力。
【难度系数】
0.7
8. [2025六安段考]在平面直角坐标系中,一次函数$y_1 = kx - 3$和$y_2 = n(x - 4) + 2(n≠0)$,无论$x$取何值,始终有$y_2 ＞ y_1$,则$n$的取值范围为 (
A.$n ＜ \frac{5}{4}$且$n≠0$
B.$n ＞ \frac{5}{4}$
C.$n ≤ \frac{5}{4}$且$n≠0$
D.$n ＜ \frac{5}{4}$
A
)A.$n ＜ \frac{5}{4}$且$n≠0$
B.$n ＞ \frac{5}{4}$
C.$n ≤ \frac{5}{4}$且$n≠0$
D.$n ＜ \frac{5}{4}$
答案
A 由题意知,两直线必平行,且直线$y_2 = n(x - 4) + 2$在直线$y_1 = kx - 3$上方.不妨取$x = 0$,则$y_2 = -4n + 2$,$y_1 = -3$,所以$-4n + 2 ＞ -3$,所以$n ＜ \dfrac{5}{4}$且$n≠0$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要理解“无论x取何值，始终有$y_2 ＞ y_1$”的含义：如果两个一次函数斜率不相等，必然存在交点，交点处$y_2=y_1$，且交点两侧函数值的大小关系会翻转，因此两直线必须平行，此时两函数的差值为固定常数，只需让这个常数恒大于0，再结合题目给出的$n≠0$的限定，就能求出n的取值范围。
【解析】
由题意知，对任意x都有$y_2＞y_1$，因此两一次函数图象平行，此时两函数值的差与x无关。
我们可以取任意x值计算大小关系，这里取$x=0$：
代入$y_2 = n(x - 4) + 2$得：$y_2=-4n+2$
代入$y_1 = kx - 3$得：$y_1=-3$
要满足$y_2＞y_1$，可得不等式：
$-4n + 2 ＞ -3$
移项得：$-4n＞-5$
两边同时除以-4，不等号方向改变，解得：$n＜\frac{5}{4}$
又题目已知$n≠0$，因此n的取值范围是$n＜\frac{5}{4}$且$n≠0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次不等式求解，一次函数平行特征
【点评】
本题的解题关键是理解“任意x下函数值恒更大”等价于两直线平行且位置更高，解题时不要遗漏题干中$n≠0$的限定条件，避免选错答案。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要理解“无论x取何值，始终有$y_2 ＞ y_1$”的含义：如果两个一次函数斜率不相等，必然存在交点，交点处$y_2=y_1$，且交点两侧函数值的大小关系会翻转，因此两直线必须平行，此时两函数的差值为固定常数，只需让这个常数恒大于0，再结合题目给出的$n≠0$的限定，就能求出n的取值范围。
【解析】
由题意知，对任意x都有$y_2＞y_1$，因此两一次函数图象平行，此时两函数值的差与x无关。
我们可以取任意x值计算大小关系，这里取$x=0$：
代入$y_2 = n(x - 4) + 2$得：$y_2=-4n+2$
代入$y_1 = kx - 3$得：$y_1=-3$
要满足$y_2＞y_1$，可得不等式：
$-4n + 2 ＞ -3$
移项得：$-4n＞-5$
两边同时除以-4，不等号方向改变，解得：$n＜\frac{5}{4}$
又题目已知$n≠0$，因此n的取值范围是$n＜\frac{5}{4}$且$n≠0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次不等式求解，一次函数平行特征
【点评】
本题的解题关键是理解“任意x下函数值恒更大”等价于两直线平行且位置更高，解题时不要遗漏题干中$n≠0$的限定条件，避免选错答案。
【难度系数】
0.6
9. [2025合肥庐阳区段考]如图,直线 $l_1:y = -2x + 4$ 与$x$轴交于点$B$,直线 $l_2:y =kx +b$ 经过点$C$,且与 $l_1$ 交于点$A(1,2)$,$OB=OC$.
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式.
(2)记直线 $l_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$,记直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的交点为 $E$,求三角形 $ADE$ 的面积.
(3)根据图象,直接写出 $0≤ -2x +4 ＜kx +b$ 的解集.
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式.
(2)记直线 $l_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$,记直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的交点为 $E$,求三角形 $ADE$ 的面积.
(3)根据图象,直接写出 $0≤ -2x +4 ＜kx +b$ 的解集.
答案
解:(1)对于$y = -2x + 4$,令$y = 0$,得$x = 2$,所以$B(2,0)$.
因为$OB = OC$,所以$C(-2,0)$.
因为$l_2:y = kx + b$经过点$C(-2,0)$和点$A(1,2)$,
所以$\begin{cases}-2k + b = 0, \\k + b = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \dfrac{2}{3}, \\b = \dfrac{4}{3},\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数表达式为$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.
(2)对于$y = -2x + 4$,令$x = 0$,得$y = 4$,所以$E(0,4)$.
对于$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$,令$x = 0$,得$y = \dfrac{4}{3}$,所以$D(0,\dfrac{4}{3})$,
所以$DE = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$,
所以$S_{三角形ADE} = \dfrac{1}{2} × DE × x_A = \dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{3} × 1 = \dfrac{4}{3}$.
(3)$0≤ -2x +4 ＜kx +b$的解集为$1 ＜ x≤2$.
解法提示:由函数图象可知,$-2x + 4≥0$的解集为$x≤2$,$-2x + 4 ＜ kx + b$的解集为$x ＞ 1$,所以$0≤ -2x + 4 ＜ kx + b$的解集为$1 ＜ x≤2$.
因为$OB = OC$,所以$C(-2,0)$.
因为$l_2:y = kx + b$经过点$C(-2,0)$和点$A(1,2)$,
所以$\begin{cases}-2k + b = 0, \\k + b = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \dfrac{2}{3}, \\b = \dfrac{4}{3},\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数表达式为$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.
(2)对于$y = -2x + 4$,令$x = 0$,得$y = 4$,所以$E(0,4)$.
对于$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$,令$x = 0$,得$y = \dfrac{4}{3}$,所以$D(0,\dfrac{4}{3})$,
所以$DE = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$,
所以$S_{三角形ADE} = \dfrac{1}{2} × DE × x_A = \dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{3} × 1 = \dfrac{4}{3}$.
(3)$0≤ -2x +4 ＜kx +b$的解集为$1 ＜ x≤2$.
解法提示:由函数图象可知,$-2x + 4≥0$的解集为$x≤2$,$-2x + 4 ＜ kx + b$的解集为$x ＞ 1$,所以$0≤ -2x + 4 ＜ kx + b$的解集为$1 ＜ x≤2$.
解析
【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式需先确定它经过的两个点坐标：先根据$l_1$的解析式求出与x轴交点$B$的坐标，再由$OB=OC$得到$C$点坐标，最后用待定系数法将$C$、$A$两点坐标代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到$k$和$b$的值。
(2) 求$△ ADE$的面积，先分别求出两条直线与y轴的交点$E$、$D$的坐标，以$DE$的长度为底，点$A$到y轴的距离（即$A$点横坐标的绝对值）为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 不等式$0≤ -2x +4 ＜kx +b$可拆分理解：$0≤-2x+4$对应$l_1$在x轴及上方的x取值范围，$-2x+4＜kx+b$对应$l_1$在$l_2$下方的x取值范围，两个范围的交集即为不等式的解集。
【解析】
(1) 对于$y = -2x + 4$，令$y = 0$，得$x = 2$，所以$B(2,0)$。
因为$OB = OC$，所以$OC=2$，又$C$在x轴负半轴，所以$C(-2,0)$。
因为$l_2:y = kx + b$经过点$C(-2,0)$和点$A(1,2)$，代入得：
$\begin{cases}-2k + b = 0, \\k + b = 2,\end{cases}$
两式相减得$3k=2$，解得$k=\dfrac{2}{3}$，将$k=\dfrac{2}{3}$代入$k+b=2$得$b=\dfrac{4}{3}$。
所以直线$l_2$的函数表达式为$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$。
(2) 对于$y = -2x + 4$，令$x = 0$，得$y = 4$，所以$E(0,4)$。
对于$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$，令$x = 0$，得$y = \dfrac{4}{3}$，所以$D(0,\dfrac{4}{3})$。
所以$DE = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$，点$A$到y轴的距离为$1$。
所以$S_{△ ADE} = \dfrac{1}{2} × DE × 1 = \dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{3} × 1 = \dfrac{4}{3}$。
(3) 由图象可知：$-2x + 4≥0$的解集为$x≤2$，$-2x + 4 ＜ kx + b$的解集为$x ＞ 1$，所以$0≤ -2x + 4 ＜kx +b$的解集为$1 ＜ x≤2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$
(2) $\dfrac{4}{3}$
(3) $1＜ x≤2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数综合基础题，融合了坐标求解、几何面积计算、不等式解集图象判断等考点，核心考查数形结合思想的应用，需熟练掌握一次函数基本性质和相关计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线$l_2$的解析式需先确定它经过的两个点坐标：先根据$l_1$的解析式求出与x轴交点$B$的坐标，再由$OB=OC$得到$C$点坐标，最后用待定系数法将$C$、$A$两点坐标代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到$k$和$b$的值。
(2) 求$△ ADE$的面积，先分别求出两条直线与y轴的交点$E$、$D$的坐标，以$DE$的长度为底，点$A$到y轴的距离（即$A$点横坐标的绝对值）为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 不等式$0≤ -2x +4 ＜kx +b$可拆分理解：$0≤-2x+4$对应$l_1$在x轴及上方的x取值范围，$-2x+4＜kx+b$对应$l_1$在$l_2$下方的x取值范围，两个范围的交集即为不等式的解集。
【解析】
(1) 对于$y = -2x + 4$，令$y = 0$，得$x = 2$，所以$B(2,0)$。
因为$OB = OC$，所以$OC=2$，又$C$在x轴负半轴，所以$C(-2,0)$。
因为$l_2:y = kx + b$经过点$C(-2,0)$和点$A(1,2)$，代入得：
$\begin{cases}-2k + b = 0, \\k + b = 2,\end{cases}$
两式相减得$3k=2$，解得$k=\dfrac{2}{3}$，将$k=\dfrac{2}{3}$代入$k+b=2$得$b=\dfrac{4}{3}$。
所以直线$l_2$的函数表达式为$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$。
(2) 对于$y = -2x + 4$，令$x = 0$，得$y = 4$，所以$E(0,4)$。
对于$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$，令$x = 0$，得$y = \dfrac{4}{3}$，所以$D(0,\dfrac{4}{3})$。
所以$DE = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$，点$A$到y轴的距离为$1$。
所以$S_{△ ADE} = \dfrac{1}{2} × DE × 1 = \dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{3} × 1 = \dfrac{4}{3}$。
(3) 由图象可知：$-2x + 4≥0$的解集为$x≤2$，$-2x + 4 ＜ kx + b$的解集为$x ＞ 1$，所以$0≤ -2x + 4 ＜kx +b$的解集为$1 ＜ x≤2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$
(2) $\dfrac{4}{3}$
(3) $1＜ x≤2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数综合基础题，融合了坐标求解、几何面积计算、不等式解集图象判断等考点，核心考查数形结合思想的应用，需熟练掌握一次函数基本性质和相关计算方法。
【难度系数】
0.7
10. 几何直观 [2024日照中考]已知一次函数$y_1 = ax(a≠0)$和$y_2 = \frac{1}{2}x + 1$，当$x≤1$时，函数$y_2$的图象在函数$y_1$的图象上方，则$a$的取值范围为
$\dfrac{1}{2}≤a ＜ \dfrac{3}{2}$
。答案
$\dfrac{1}{2}≤a ＜ \dfrac{3}{2}$ 秒解 如图,一次函数$y_2 = \dfrac{1}{2}x + 1$的图象如图所示,易知当$x = 1$时,$y = \dfrac{3}{2}$.当一次函数$y_1 = ax$的图象经过点$(1,\dfrac{3}{2})$时,得$a = \dfrac{3}{2}$,当一次函数$y_1 = ax$的图象与$y_2$的图象平行时,得$a = \dfrac{1}{2}$.要想使当$x≤1$时,函数$y_2$的图象在函数$y_1$的图象上方,数形结合可知,a的取值范围为$\dfrac{1}{2}≤a ＜ \dfrac{3}{2}$.
另解 因为当$x≤1$时,函数$y_2$的图象在函数$y_1$的图象上方,所以当$x≤1$时,总有$\dfrac{1}{2}x + 1 ＞ ax$,所以$(a - \dfrac{1}{2})x ＜ 1$.
①当$a ＜ \dfrac{1}{2}$,且$a≠0$时,$a - \dfrac{1}{2} ＜ 0$,所以$x ＞ -\dfrac{2}{1 - 2a}$,与$x≤1$矛盾,故此时不成立. ②当$a = \dfrac{1}{2}$时,$(a - \dfrac{1}{2})x = 0 ＜ 1$,符合题意. ③当$a ＞ \dfrac{1}{2}$时,$a - \dfrac{1}{2} ＞ 0$,所以$x ＜ \dfrac{2}{2a - 1}$. 又因为$x≤1$,所以$\dfrac{2}{2a - 1} ＞ 1$,所以$\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ \dfrac{3}{2}$. 综上所述,a的取值范围为$\dfrac{1}{2}≤a ＜ \dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确“$x≤1$时$y_2$的图象在$y_1$上方”等价于$x≤1$时$\frac{1}{2}x+1＞ax$恒成立，可从数形结合和代数推导两个方向思考：第一步先找两个临界情况，一是$y_1$与$y_2$平行时的$a$值，二是$y_1$经过$x=1$时$y_2$对应点的$a$值；再通过分类讨论不等式的解集，验证不同$a$的取值下是否满足条件，最终确定$a$的取值范围。
【解析】
方法1：数形结合法
1. 先算$x=1$时$y_2$的取值：将$x=1$代入$y_2=\frac{1}{2}x+1$，得$y_2=\frac{1}{2}×1+1=\frac{3}{2}$。
2. 当$y_1=ax$与$y_2$平行时，一次函数平行则斜率相等，即$a=\frac{1}{2}$，此时$y_2=y_1+1$，$y_2$恒大于$y_1$，满足$x≤1$时$y_2$在$y_1$上方。
3. 当$y_1=ax$过点$(1,\frac{3}{2})$时，代入得$a=\frac{3}{2}$，此时两函数交点为$(1,\frac{3}{2})$，若$a≥\frac{3}{2}$，$x≤1$时会出现$y_1≥y_2$，不符合要求，故$a＜\frac{3}{2}$。
4. 若$a＜\frac{1}{2}$，两函数交点横坐标为负数，当$x$小于交点横坐标时，$y_1＞y_2$，不满足$x≤1$时$y_2$始终在上方，故$a≥\frac{1}{2}$。
综上，$a$的取值范围为$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$。
方法2：代数推导法
由题意得$x≤1$时$\frac{1}{2}x+1＞ax$恒成立，整理得$(a-\frac{1}{2})x＜1$。
1. 当$a=\frac{1}{2}$时，左边为$0＜1$，恒成立，符合要求。
2. 当$a＞\frac{1}{2}$时，$a-\frac{1}{2}＞0$，不等式化为$x＜\frac{2}{2a-1}$，要使$x≤1$时恒成立，则$\frac{2}{2a-1}＞1$，解得$a＜\frac{3}{2}$，即此时$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$。
3. 当$a＜\frac{1}{2}$时，$a-\frac{1}{2}＜0$，不等式化为$x＞\frac{2}{2a-1}$，无法保证所有$x≤1$的数都满足该式，不符合要求。
综上，$a$的取值范围为$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}≤a ＜ \dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与不等式，两直线平行的条件
【点评】
本题是一次函数的综合应用题型，重点考查数形结合思想和分类讨论思想，需要注意临界值的取舍，熟练掌握一次函数图象的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，首先明确“$x≤1$时$y_2$的图象在$y_1$上方”等价于$x≤1$时$\frac{1}{2}x+1＞ax$恒成立，可从数形结合和代数推导两个方向思考：第一步先找两个临界情况，一是$y_1$与$y_2$平行时的$a$值，二是$y_1$经过$x=1$时$y_2$对应点的$a$值；再通过分类讨论不等式的解集，验证不同$a$的取值下是否满足条件，最终确定$a$的取值范围。
【解析】
方法1：数形结合法
1. 先算$x=1$时$y_2$的取值：将$x=1$代入$y_2=\frac{1}{2}x+1$，得$y_2=\frac{1}{2}×1+1=\frac{3}{2}$。
2. 当$y_1=ax$与$y_2$平行时，一次函数平行则斜率相等，即$a=\frac{1}{2}$，此时$y_2=y_1+1$，$y_2$恒大于$y_1$，满足$x≤1$时$y_2$在$y_1$上方。
3. 当$y_1=ax$过点$(1,\frac{3}{2})$时，代入得$a=\frac{3}{2}$，此时两函数交点为$(1,\frac{3}{2})$，若$a≥\frac{3}{2}$，$x≤1$时会出现$y_1≥y_2$，不符合要求，故$a＜\frac{3}{2}$。
4. 若$a＜\frac{1}{2}$，两函数交点横坐标为负数，当$x$小于交点横坐标时，$y_1＞y_2$，不满足$x≤1$时$y_2$始终在上方，故$a≥\frac{1}{2}$。
综上，$a$的取值范围为$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$。
方法2：代数推导法
由题意得$x≤1$时$\frac{1}{2}x+1＞ax$恒成立，整理得$(a-\frac{1}{2})x＜1$。
1. 当$a=\frac{1}{2}$时，左边为$0＜1$，恒成立，符合要求。
2. 当$a＞\frac{1}{2}$时，$a-\frac{1}{2}＞0$，不等式化为$x＜\frac{2}{2a-1}$，要使$x≤1$时恒成立，则$\frac{2}{2a-1}＞1$，解得$a＜\frac{3}{2}$，即此时$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$。
3. 当$a＜\frac{1}{2}$时，$a-\frac{1}{2}＜0$，不等式化为$x＞\frac{2}{2a-1}$，无法保证所有$x≤1$的数都满足该式，不符合要求。
综上，$a$的取值范围为$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}≤a ＜ \dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与不等式，两直线平行的条件
【点评】
本题是一次函数的综合应用题型，重点考查数形结合思想和分类讨论思想，需要注意临界值的取舍，熟练掌握一次函数图象的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.6
1. [2026合肥瑶海区期中]如图,一次函数$y = kx - 2k(k ＜ 0)$的图象经过点$P(1,1)$,作射线$OP$.当$0 ＜ kx - 2k≤ x$时,$x$的取值范围是 (
A.$x ＜ 1$
B.$x ＞ 1$
C.$0 ＜ x≤ 1$
D.$1≤ x ＜ 2$
D
)A.$x ＜ 1$
B.$x ＞ 1$
C.$0 ＜ x≤ 1$
D.$1≤ x ＜ 2$
答案
D 令$y = 0$,则$kx - 2k = 0$,解得$x = 2$,且易得直线OP的表达式为$y = x$. 由图象可知,当$kx - 2k ＞ 0$时,$x ＜ 2$,当$kx - 2k≤x$时,$x≥1$,所以x的取值范围是$1≤x ＜ 2$.
解析
【分析】
我们可将待求不等式$0 ＜ kx - 2k≤ x$拆分为$kx - 2k＞0$和$kx - 2k≤ x$两部分分别求解，再取解集的公共部分即可。首先先确定一次函数$y=kx-2k$与x轴的交点坐标，再求出射线$OP$对应的函数表达式，结合函数图像的上下位置关系就能快速得到两个不等式的解集。
【解析】
1. 求一次函数$y=kx-2k$与x轴的交点：
令$y=0$，代入得$kx-2k=0$，提取公因式$k$得$k(x-2)=0$，因为$k＜0$即$k≠0$，解得$x=2$，即该一次函数与x轴交于点$(2,0)$。
2. 求射线$OP$的函数表达式：
射线$OP$过原点$O(0,0)$和点$P(1,1)$，设其解析式为$y=ax$，将$P(1,1)$代入得$a=1$，即$OP$对应的函数为$y=x$。
3. 分别解两个不等式：
① 解$kx-2k＞0$：因为$k＜0$，不等式两边同时除以$k$时不等号方向改变，得$x-2＜0$，即$x＜2$，也可结合图像：一次函数图像在x轴上方的区域对应$x＜2$。
② 解$kx-2k≤x$：该不等式表示一次函数$y=kx-2k$的图像在$y=x$图像下方或与$y=x$重合的区域，两函数交点为$P(1,1)$，结合图像可得$x≥1$。
4. 取两个解集的公共部分，得$1≤x＜2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图像性质，正比例函数解析式
【点评】
本题将不等式关系和一次函数图像结合，解题的核心是把不等式的大小关系转化为函数图像的上下位置关系，借助交点坐标求解，很好地考查了数形结合的思想应用。
【难度系数】
0.7
我们可将待求不等式$0 ＜ kx - 2k≤ x$拆分为$kx - 2k＞0$和$kx - 2k≤ x$两部分分别求解，再取解集的公共部分即可。首先先确定一次函数$y=kx-2k$与x轴的交点坐标，再求出射线$OP$对应的函数表达式，结合函数图像的上下位置关系就能快速得到两个不等式的解集。
【解析】
1. 求一次函数$y=kx-2k$与x轴的交点：
令$y=0$，代入得$kx-2k=0$，提取公因式$k$得$k(x-2)=0$，因为$k＜0$即$k≠0$，解得$x=2$，即该一次函数与x轴交于点$(2,0)$。
2. 求射线$OP$的函数表达式：
射线$OP$过原点$O(0,0)$和点$P(1,1)$，设其解析式为$y=ax$，将$P(1,1)$代入得$a=1$，即$OP$对应的函数为$y=x$。
3. 分别解两个不等式：
① 解$kx-2k＞0$：因为$k＜0$，不等式两边同时除以$k$时不等号方向改变，得$x-2＜0$，即$x＜2$，也可结合图像：一次函数图像在x轴上方的区域对应$x＜2$。
② 解$kx-2k≤x$：该不等式表示一次函数$y=kx-2k$的图像在$y=x$图像下方或与$y=x$重合的区域，两函数交点为$P(1,1)$，结合图像可得$x≥1$。
4. 取两个解集的公共部分，得$1≤x＜2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图像性质，正比例函数解析式
【点评】
本题将不等式关系和一次函数图像结合，解题的核心是把不等式的大小关系转化为函数图像的上下位置关系，借助交点坐标求解，很好地考查了数形结合的思想应用。
【难度系数】
0.7
2. [2025深圳南山区段考]我们知道,若$ab＞0$,则有$\begin{cases}a＞0, \\b＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0, \\b＜0.\end{cases}$如图,直线$y=kx+b$与$y=mx+n$分别交$x$轴于点$A(-0.5,0),B(2,0)$,则不等式$(kx+b)(mx+n)＞0$的解集是( )
A.$x＞2$
B.$-0.5＜x＜2$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜-0.5$或$x＞2$
A.$x＞2$
B.$-0.5＜x＜2$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜-0.5$或$x＞2$
答案
B 由题意可知,不等式$(kx + b)(mx + n) ＞ 0$,则$\begin{cases}kx + b ＞ 0, \\mx + n ＞ 0\end{cases}$或$\begin{cases}kx + b ＜ 0, \\mx + n ＜ 0.\end{cases}$ 当$\begin{cases}kx + b ＞ 0, \\mx + n ＞ 0\end{cases}$时,观察题图,此时该不等式无解. 当$\begin{cases}kx + b ＜ 0, \\mx + n ＜ 0\end{cases}$时,观察题图,此时不等式组的解集为$-0.5 ＜ x ＜ 2$. 综上,不等式$(kx + b)(mx + n) ＞ 0$的解集是$-0.5 ＜ x ＜ 2$.
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的"两数乘积大于0则两数同正或同负"的规则，把待解的乘积不等式拆分为两个一元一次不等式组；接下来结合两个一次函数的图象，分别确定两个函数值大于0、小于0时对应的x的取值范围；再分别求解两种情况下不等式组的公共解集，最终合并有解的解集即可得到答案。
【解析】
解：要使$(kx+b)(mx+n)＞0$，根据两数相乘同号得正，可分为两种情况：
① $\begin{cases}kx + b ＞ 0 \\mx + n ＞ 0\end{cases}$
观察图象：直线$y=kx+b$随x增大而减小，与x轴交于$A(-0.5,0)$，因此$kx+b＞0$的解集是$x＜-0.5$；
直线$y=mx+n$随x增大而增大，与x轴交于$B(2,0)$，因此$mx+n＞0$的解集是$x＞2$；
两个解集无公共部分，该不等式组无解。
② $\begin{cases}kx + b ＜ 0 \\mx + n ＜ 0\end{cases}$
同理可得，$kx+b＜0$的解集是$x＞-0.5$，$mx+n＜0$的解集是$x＜2$，两个解集的公共部分为$-0.5＜x＜2$。
综上，不等式$(kx+b)(mx+n)＞0$的解集是$-0.5＜x＜2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象、一次函数与不等式、不等式组的解集
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，只要掌握一次函数和x轴交点两侧的函数值正负规律，就能顺利拆解不等式组求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题干给出的"两数乘积大于0则两数同正或同负"的规则，把待解的乘积不等式拆分为两个一元一次不等式组；接下来结合两个一次函数的图象，分别确定两个函数值大于0、小于0时对应的x的取值范围；再分别求解两种情况下不等式组的公共解集，最终合并有解的解集即可得到答案。
【解析】
解：要使$(kx+b)(mx+n)＞0$，根据两数相乘同号得正，可分为两种情况：
① $\begin{cases}kx + b ＞ 0 \\mx + n ＞ 0\end{cases}$
观察图象：直线$y=kx+b$随x增大而减小，与x轴交于$A(-0.5,0)$，因此$kx+b＞0$的解集是$x＜-0.5$；
直线$y=mx+n$随x增大而增大，与x轴交于$B(2,0)$，因此$mx+n＞0$的解集是$x＞2$；
两个解集无公共部分，该不等式组无解。
② $\begin{cases}kx + b ＜ 0 \\mx + n ＜ 0\end{cases}$
同理可得，$kx+b＜0$的解集是$x＞-0.5$，$mx+n＜0$的解集是$x＜2$，两个解集的公共部分为$-0.5＜x＜2$。
综上，不等式$(kx+b)(mx+n)＞0$的解集是$-0.5＜x＜2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象、一次函数与不等式、不等式组的解集
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，只要掌握一次函数和x轴交点两侧的函数值正负规律，就能顺利拆解不等式组求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1 = ax + b$,$y_2 = cx + d$交$y$轴于点$A$,$y_3 = cx + f$交$y$轴于点$B$,已知$OA = OB$,下列说法正确的是
A.$y_3 ＞ y_1 ＞ 0$的解集是$q ＜ x ＜ p$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$的解集是$m ＜ x ＜ n$
C.$y_1 ＞ y_2 ＞ 0$的解集是$-q ＜ x ＜ m$
D.$(d - f)ac ＞ 0$
（
A.$y_3 ＞ y_1 ＞ 0$的解集是$q ＜ x ＜ p$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$的解集是$m ＜ x ＜ n$
C.$y_1 ＞ y_2 ＞ 0$的解集是$-q ＜ x ＜ m$
D.$(d - f)ac ＞ 0$
（
A
）答案
A 由题图可知,一次函数$y_1 = ax + b$与$y_3 = cx + f$交点的横坐标为q,一次函数$y_1 = ax + b$与x轴交点的横坐标为p,当$y_3 ＞ y_1 ＞ 0$时,$q ＜ x ＜ p$,故选项A正确,符合题意. 由题图可知,一次函数$y_1 = ax + b$与$y_2 = cx + d$交点的横坐标为m,则当$y_2 ＞ y_1$时,$x ＞ m$. 一次函数$y_1 = ax + b$与$y_3 = cx + f$交点的横坐标为q,当$y_1 ＞ y_3$时,$x ＜ q$,从而得到$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$的解集是$m ＜ x ＜ q$,故选项B错误,不符合题意. 由题图可知,一次函数$y_1 = ax + b$与$y_2 = cx + d$交点的横坐标为m,则$y_1 ＞ y_2$时,$x ＜ m$. 直线$y_2 = cx + d$与直线$y_3 = cx + f$平行,且$OA = OB$,所以$d = -f$. 又因为$y_3 = cx + f$与x轴交点的横坐标为n,所以$cn + f = 0$,令$y_2 = 0$,则$cx + d = 0$,所以$cx - f = cx + cn = 0$,解得$x = -n$,即$y_2 = cx + d$与x轴交点的横坐标为$-n$,当$y_2 ＞ 0$时,$x ＞ -n$,从而得到$y_1 ＞ y_2 ＞ 0$的解集为$-n ＜ x ＜ m$,故选项C错误,不符合题意. 由题图可知,$a ＜ 0$,$c ＞ 0$,$d ＞ 0$,$f ＜ 0$,且$d = -f$,则$(d - f)ac ＜ 0$,故选项D错误,不符合题意.
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数与不等式的对应关系：同一x值下，图象位置更高的函数对应的函数值更大；两个一次函数图象的交点横坐标是两个函数值相等时x的取值；一次函数与x轴交点的横坐标是函数值为0时x的取值。
首先观察图象得出各函数的基本性质：y₁斜率为负，y₂、y₃斜率为正，y₂和y₃斜率相同故平行；A是y₁、y₂与y轴的交点，B是y₃与y轴的交点，OA=OB说明y₂的截距d和y₃的截距f互为相反数，即d=-f。接下来逐个分析选项，找到每个不等式对应的x的范围，再取公共部分判断解集是否正确即可。
【解析】
由图象可得：y₁=ax+b过一、二、四象限，故a＜0，与x轴交于点(p,0)，与y₂交点的横坐标为m，与y₃交点的横坐标为q；y₂=cx+d、y₃=cx+f斜率均为正，故c＞0，两直线平行；点A在y轴正半轴，故d＞0、b＞0；点B在y轴负半轴，故f＜0，又OA=OB，因此d=-f。
逐个分析选项：
A选项：求y₃＞y₁＞0的解集。y₁＞0即y₁图象在x轴上方，对应x＜p；y₃＞y₁即y₃图象在y₁上方，对应x＞q，二者公共解集为q＜x＜p，A正确。
B选项：求y₂＞y₁＞y₃的解集。y₂＞y₁对应x＞m，y₁＞y₃对应x＜q，公共解集为m＜x＜q，不是m＜x＜n，B错误。
C选项：求y₁＞y₂＞0的解集。y₁＞y₂对应x＜m；y₃与x轴交于点(n,0)，即cn+f=0，令y₂=0得cx+d=cx-f=0，代入f=-cn得cx+cn=0，解得x=-n，即y₂＞0对应x＞-n，公共解集为-n＜x＜m，不是-q＜x＜m，C错误。
D选项：判断(d-f)ac的符号。a＜0，c＞0，故ac＜0；d＞0，f＜0，故d-f＞0，因此(d-f)ac＜0，D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，一次函数交点意义
【点评】
本题结合一次函数图象考查函数值大小比较与不等式解集的对应关系，解题核心是掌握“图象越高函数值越大”的规律，同时能利用平行直线斜率相等、截距的关系推导未知交点坐标，对读图分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确一次函数与不等式的对应关系：同一x值下，图象位置更高的函数对应的函数值更大；两个一次函数图象的交点横坐标是两个函数值相等时x的取值；一次函数与x轴交点的横坐标是函数值为0时x的取值。
首先观察图象得出各函数的基本性质：y₁斜率为负，y₂、y₃斜率为正，y₂和y₃斜率相同故平行；A是y₁、y₂与y轴的交点，B是y₃与y轴的交点，OA=OB说明y₂的截距d和y₃的截距f互为相反数，即d=-f。接下来逐个分析选项，找到每个不等式对应的x的范围，再取公共部分判断解集是否正确即可。
【解析】
由图象可得：y₁=ax+b过一、二、四象限，故a＜0，与x轴交于点(p,0)，与y₂交点的横坐标为m，与y₃交点的横坐标为q；y₂=cx+d、y₃=cx+f斜率均为正，故c＞0，两直线平行；点A在y轴正半轴，故d＞0、b＞0；点B在y轴负半轴，故f＜0，又OA=OB，因此d=-f。
逐个分析选项：
A选项：求y₃＞y₁＞0的解集。y₁＞0即y₁图象在x轴上方，对应x＜p；y₃＞y₁即y₃图象在y₁上方，对应x＞q，二者公共解集为q＜x＜p，A正确。
B选项：求y₂＞y₁＞y₃的解集。y₂＞y₁对应x＞m，y₁＞y₃对应x＜q，公共解集为m＜x＜q，不是m＜x＜n，B错误。
C选项：求y₁＞y₂＞0的解集。y₁＞y₂对应x＜m；y₃与x轴交于点(n,0)，即cn+f=0，令y₂=0得cx+d=cx-f=0，代入f=-cn得cx+cn=0，解得x=-n，即y₂＞0对应x＞-n，公共解集为-n＜x＜m，不是-q＜x＜m，C错误。
D选项：判断(d-f)ac的符号。a＜0，c＞0，故ac＜0；d＞0，f＜0，故d-f＞0，因此(d-f)ac＜0，D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，一次函数交点意义
【点评】
本题结合一次函数图象考查函数值大小比较与不等式解集的对应关系，解题核心是掌握“图象越高函数值越大”的规律，同时能利用平行直线斜率相等、截距的关系推导未知交点坐标，对读图分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
