登录
5 如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F。若$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，则$\frac{DE}{DF}=$
$\frac{2}{3}$
。答案
5. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。由此可得△ABD和△ACD的面积相等，再分别以AB、DE和AC、DF为底和高表示两个小三角形的面积，建立等式即可求出DE与DF的比值。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
又
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$。
联立得$\frac{1}{2}×6× DE=\frac{1}{2}×4× DF$，
化简得$6DE=4DF$，
因此$\frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过面积法求解线段比值，解题关键是利用中线平分三角形面积的特征建立等量关系，将线段比的问题转化为面积相关的运算，解题思路灵活，是三角形性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。由此可得△ABD和△ACD的面积相等，再分别以AB、DE和AC、DF为底和高表示两个小三角形的面积，建立等式即可求出DE与DF的比值。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
又
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$。
联立得$\frac{1}{2}×6× DE=\frac{1}{2}×4× DF$，
化简得$6DE=4DF$，
因此$\frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过面积法求解线段比值，解题关键是利用中线平分三角形面积的特征建立等量关系，将线段比的问题转化为面积相关的运算，解题思路灵活，是三角形性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6 如图，$△ ABC$的周长为21 cm，$AB=6$ cm，边BC上的中线$AD=5$ cm，$△ ABD$的周长为15 cm，则AC的长为
7
cm.答案
6. 7
解析
【分析】
解题时先从已知周长的$△ ABD$入手，利用三角形周长公式，结合已知的$AB$、$AD$长度，先求出$BD$的长；再根据$AD$是$BC$边上的中线，得到$BC$的长度；最后利用$△ ABC$的周长，减去$AB$和$BC$的长度即可求出$AC$的长。
【解析】
已知$△ ABD$的周长为15 cm，$AB=6$ cm，$AD=5$ cm，根据三角形周长公式：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$
代入数值可得：$BD=15-6-5=4\ \mathrm{cm}$
因为$AD$是$BC$边上的中线，根据中线的定义，可得$BC=2BD=2×4=8\ \mathrm{cm}$
又已知$△ ABC$的周长为21 cm，即$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=21\ \mathrm{cm}$
代入$AB$和$BC$的长度：$AC=21-6-8=7\ \mathrm{cm}$
【答案】
7
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过小三角形的周长求出线段$BD$的长度，再结合中线性质推导$BC$的长度，最终利用大三角形的周长求解$AC$，思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知周长的$△ ABD$入手，利用三角形周长公式，结合已知的$AB$、$AD$长度，先求出$BD$的长；再根据$AD$是$BC$边上的中线，得到$BC$的长度；最后利用$△ ABC$的周长，减去$AB$和$BC$的长度即可求出$AC$的长。
【解析】
已知$△ ABD$的周长为15 cm，$AB=6$ cm，$AD=5$ cm，根据三角形周长公式：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$
代入数值可得：$BD=15-6-5=4\ \mathrm{cm}$
因为$AD$是$BC$边上的中线，根据中线的定义，可得$BC=2BD=2×4=8\ \mathrm{cm}$
又已知$△ ABC$的周长为21 cm，即$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=21\ \mathrm{cm}$
代入$AB$和$BC$的长度：$AC=21-6-8=7\ \mathrm{cm}$
【答案】
7
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过小三角形的周长求出线段$BD$的长度，再结合中线性质推导$BC$的长度，最终利用大三角形的周长求解$AC$，思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
7 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别为边$BC$，$AD$，$CE$的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{\mathrm{涂色}}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$。
答案
7. 1
解析
【分析】
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，结合题中给出的各中点条件逐层推导：首先由D是BC中点，得到△ABD、△ACD的面积均为△ABC面积的一半；再由E是AD中点，推出△BDE、△CDE的面积，进而得到△BCE的面积；最后由F是CE中点，可得阴影部分面积为△BCE面积的一半，即可求出结果。
【解析】
解：
∵ D是BC的中点，三角形中线将三角形分为面积相等的两部分
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵ E是AD的中点
∴ $S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵ F是CE的中点
∴ $S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，中点的定义
【点评】
本题主要考查三角形中线等分面积性质的应用，解题时需要逐层推导各小三角形与大三角形的面积关系，属于常规基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，结合题中给出的各中点条件逐层推导：首先由D是BC中点，得到△ABD、△ACD的面积均为△ABC面积的一半；再由E是AD中点，推出△BDE、△CDE的面积，进而得到△BCE的面积；最后由F是CE中点，可得阴影部分面积为△BCE面积的一半，即可求出结果。
【解析】
解：
∵ D是BC的中点，三角形中线将三角形分为面积相等的两部分
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵ E是AD的中点
∴ $S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵ F是CE的中点
∴ $S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，中点的定义
【点评】
本题主要考查三角形中线等分面积性质的应用，解题时需要逐层推导各小三角形与大三角形的面积关系，属于常规基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$中，$∠ BCA = 40°$，$∠ ABC = 60°$.若$BF$是$△ ABC$的高，且$BF$与$△ ABC$的角平分线$AE$相交于点$O$，则$∠ EOF$的度数为（
A.$130°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$100°$
A
）A.$130°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$100°$
答案
8. A
解析
【分析】
要计算∠EOF的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合角平分线的定义得到∠EAC的度数；最后根据三角形高的性质得到直角，利用三角形外角性质即可求出∠EOF的大小。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ BCA = 180° - 60° - 40° = 80°$
∵AE是∠BAC的角平分线
∴$∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
∵BF是△ABC的高
∴$BF ⊥ AC$，即$∠ AFB = 90°$
∵∠EOF是△AFO的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ EOF = ∠ EAC + ∠ AFB = 40° + 90° = 130°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是结合已知条件，将所求角和已知角通过三角形的相关性质建立关联，计算时注意角度的换算不要出错。
【难度系数】
0.7
要计算∠EOF的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合角平分线的定义得到∠EAC的度数；最后根据三角形高的性质得到直角，利用三角形外角性质即可求出∠EOF的大小。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ BCA = 180° - 60° - 40° = 80°$
∵AE是∠BAC的角平分线
∴$∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
∵BF是△ABC的高
∴$BF ⊥ AC$，即$∠ AFB = 90°$
∵∠EOF是△AFO的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ EOF = ∠ EAC + ∠ AFB = 40° + 90° = 130°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是结合已知条件，将所求角和已知角通过三角形的相关性质建立关联，计算时注意角度的换算不要出错。
【难度系数】
0.7
9 如图，若$∠ A = 65°$，$∠ BDC = 140°$，则$∠ 1 + ∠ 2 =$
$75°$
.答案
9. $75°$
解析
【分析】
本题可利用三角形内角和定理解题：首先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，算出∠ABC与∠ACB的度数和；再在△DBC中，同样利用三角形内角和，结合已知∠BDC的度数，算出∠DBC与∠DCB的度数和；最后观察角的组成可知∠1=∠ABC-∠DBC，∠2=∠ACB-∠DCB，将两个度数和做差即可求出∠1+∠2的结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$
已知$∠ A=65°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 65° = 115°$
在△DBC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ DBC + ∠ DCB + ∠ BDC = 180°$
已知$∠ BDC=140°$，代入得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - 140° = 40°$
由角的和差关系可知：$∠ 1 = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ 2 = ∠ ACB - ∠ DCB$，因此：
$∠ 1 + ∠ 2 = (∠ ABC - ∠ DBC) + (∠ ACB - ∠ DCB) = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$
代入数值计算得：$∠ 1 + ∠ 2 = 115° - 40° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题侧重考查三角形内角和的灵活运用，解题时不需要单独求解∠1、∠2的度数，通过整体代换的方式即可快速计算，能很好地锻炼学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形内角和定理解题：首先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，算出∠ABC与∠ACB的度数和；再在△DBC中，同样利用三角形内角和，结合已知∠BDC的度数，算出∠DBC与∠DCB的度数和；最后观察角的组成可知∠1=∠ABC-∠DBC，∠2=∠ACB-∠DCB，将两个度数和做差即可求出∠1+∠2的结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$
已知$∠ A=65°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 65° = 115°$
在△DBC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ DBC + ∠ DCB + ∠ BDC = 180°$
已知$∠ BDC=140°$，代入得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - 140° = 40°$
由角的和差关系可知：$∠ 1 = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ 2 = ∠ ACB - ∠ DCB$，因此：
$∠ 1 + ∠ 2 = (∠ ABC - ∠ DBC) + (∠ ACB - ∠ DCB) = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$
代入数值计算得：$∠ 1 + ∠ 2 = 115° - 40° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题侧重考查三角形内角和的灵活运用，解题时不需要单独求解∠1、∠2的度数，通过整体代换的方式即可快速计算，能很好地锻炼学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.7
10 如图，在 $Rt△ ABE$ 中，$∠ AEB = 90°$，C为AE延长线上的一点，D为边AB上一点，DC交BE于点F。若$∠ ADC = 80°$，$∠ B = 30°$，则$∠ C$的度数为
$40°$
。答案
10. $40°$
解析
【分析】解题时首先从已知的$Rt△ ABE$入手，利用直角三角形两个锐角互余的性质，先求出$∠ A$的度数；再将$∠ A$作为$△ ADC$的内角，结合已知的$∠ ADC$的度数，利用三角形内角和定理即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ A + ∠ B = 90°$，
已知$∠ B=30°$，所以$∠ A = 90° - 30° = 60°$。
在$△ ADC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ ADC + ∠ C = 180°$，
已知$∠ ADC=80°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ADC = 180° - 60° - 80° = 40°$。
【答案】$40°$
【知识点】直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是基础的角度计算问题，解题的关键是找到两个三角形的公共内角$∠ A$，将已知条件逐步转化到待求角所在的三角形中进行计算。
【难度系数】0.8
【解析】
解：在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ A + ∠ B = 90°$，
已知$∠ B=30°$，所以$∠ A = 90° - 30° = 60°$。
在$△ ADC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ ADC + ∠ C = 180°$，
已知$∠ ADC=80°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ADC = 180° - 60° - 80° = 40°$。
【答案】$40°$
【知识点】直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是基础的角度计算问题，解题的关键是找到两个三角形的公共内角$∠ A$，将已知条件逐步转化到待求角所在的三角形中进行计算。
【难度系数】0.8
11 在$△ ABC$中，三个内角的平分线交于点$O$，过点$O$作$OD⊥ OB$，交边$AB$于点$D$。
（1）如图①。
① 若$∠ ABC = 38°$，则$∠ AOC = \_\_\_\_\_\_$，$∠ ADO = \_\_\_\_\_\_$；
② 猜想$∠ AOC$与$∠ ADO$之间的关系，并说明你的理由。
（2）如图②，作$△ ABC$的外角$∠ ABE$的平分线，交$CO$的延长线于点$F$。若$∠ BAC = 70°$，求$∠ F$的度数。
（1）如图①。
① 若$∠ ABC = 38°$，则$∠ AOC = \_\_\_\_\_\_$，$∠ ADO = \_\_\_\_\_\_$；
② 猜想$∠ AOC$与$∠ ADO$之间的关系，并说明你的理由。
（2）如图②，作$△ ABC$的外角$∠ ABE$的平分线，交$CO$的延长线于点$F$。若$∠ BAC = 70°$，求$∠ F$的度数。
答案
11. (1) ① $109°$ $109°$ ② $∠ AOC = ∠ ADO$ 理由:$\because$ 在$△ ABC$中, 三个内角的平分线交于点 $O$, $\therefore ∠ OAC = \frac{1}{2}∠ BAC$, $∠ ACO = \frac{1}{2}∠ ACB$, $∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC$.
$\therefore ∠ OAC + ∠ ACO = \frac{1}{2} (∠ BAC + ∠ ACB). \therefore ∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ ACO) = 180° - \frac{1}{2} (∠ BAC + ∠ ACB) = 180° - \frac{1}{2} (180° - ∠ ABC) = 90° + \frac{1}{2}∠ ABC. \because OD ⊥ OB$, 即$∠ BOD=90°, \therefore ∠ ADO = ∠ BOD + ∠ ABO = 90° + \frac{1}{2}∠ ABC. \therefore ∠ AOC = ∠ ADO.$
(2) $\because ∠ BAC = 70°, \therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 110°.$ 由(1)知$∠ ABO = ∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC, ∠ BCO = \frac{1}{2}∠ ACB, \therefore ∠ OBC + ∠ BCO = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 55°. \because BF$ 平分$∠ ABE, \therefore ∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE. \therefore ∠ OBF = ∠ ABO + ∠ ABF = \frac{1}{2} (∠ ABC + ∠ ABE) = 90°. \therefore ∠ F = 180° - (∠ OBF + ∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° + 55°) = 35°$
$\therefore ∠ OAC + ∠ ACO = \frac{1}{2} (∠ BAC + ∠ ACB). \therefore ∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ ACO) = 180° - \frac{1}{2} (∠ BAC + ∠ ACB) = 180° - \frac{1}{2} (180° - ∠ ABC) = 90° + \frac{1}{2}∠ ABC. \because OD ⊥ OB$, 即$∠ BOD=90°, \therefore ∠ ADO = ∠ BOD + ∠ ABO = 90° + \frac{1}{2}∠ ABC. \therefore ∠ AOC = ∠ ADO.$
(2) $\because ∠ BAC = 70°, \therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 110°.$ 由(1)知$∠ ABO = ∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC, ∠ BCO = \frac{1}{2}∠ ACB, \therefore ∠ OBC + ∠ BCO = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 55°. \because BF$ 平分$∠ ABE, \therefore ∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE. \therefore ∠ OBF = ∠ ABO + ∠ ABF = \frac{1}{2} (∠ ABC + ∠ ABE) = 90°. \therefore ∠ F = 180° - (∠ OBF + ∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° + 55°) = 35°$
解析
【分析】
（1）① 点O是△ABC内角平分线的交点（即内心），先根据三角形内角和定理推导∠AOC的计算规律，代入∠ABC的度数即可求解；再结合OD⊥OB的条件，利用三角形外角的性质计算∠ADO的度数。
② 分别通过角平分线性质、三角形内角和定理推导∠AOC的表达式，通过外角性质推导∠ADO的表达式，对比两个表达式即可证明二者的关系。
（2）先由内角和算出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线性质求出∠OBC与∠BCO的和；利用外角平分线的性质推出∠OBF为90°，最后在△BFC中用内角和定理计算∠F的度数。
【解析】
(1) ① 已知O是△ABC三个内角平分线的交点，∠ABC=38°
∴ $∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180°-∠ ABC) = \frac{1}{2}×(180°-38°)=71°$
∴ $∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ OCA) = 180°-71°=109°$
∵ OB平分∠ABC，
∴ $∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC=19°$
∵ $OD⊥OB$，
∴ $∠ BOD=90°$
∠ADO是△BOD的外角，
∴ $∠ ADO = ∠ BOD + ∠ ABO = 90°+19°=109°$
② $∠ AOC = ∠ ADO$，理由如下：
∵ O是△ABC三个内角的平分线交点
∴ $∠ OAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ACO = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC$
∴ $∠ OAC + ∠ ACO = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACB)$
∴ $∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ ACO) = 180° - \frac{1}{2}(180°-∠ ABC) = 90°+\frac{1}{2}∠ ABC$
∵ $OD⊥OB$，
∴ $∠ BOD=90°$
∠ADO是△BOD的外角，
∴ $∠ ADO = ∠ BOD + ∠ ABO = 90°+\frac{1}{2}∠ ABC$
∴ $∠ AOC = ∠ ADO$
(2) 已知$∠ BAC=70°$，在△ABC中
$∠ ABC + ∠ ACB = 180°-∠ BAC = 180°-70°=110°$
∵ O是内角平分线交点，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCO = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ OBC + ∠ BCO = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110°=55°$
∵ BF平分外角∠ABE，且$∠ ABC + ∠ ABE = 180°$
∴ $∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE$
∴ $∠ OBF = ∠ ABO + ∠ ABF = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABE) = \frac{1}{2}×180°=90°$
在△BFC中，$∠ F = 180° - (∠ OBF + ∠ OBC + ∠ BCO) = 180°-(90°+55°)=35°$
【答案】
(1) ① $\boxed{109°}$，$\boxed{109°}$；② $\boxed{∠AOC=∠ADO}$，理由见解析；(2) $\boxed{35°}$
【知识点】
三角形角平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心考查角平分线定义、三角形内角和与外角性质的综合运用，解题关键是熟练掌握角度之间的转化逻辑，积累三角形角平分线交点相关的角度结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.65
（1）① 点O是△ABC内角平分线的交点（即内心），先根据三角形内角和定理推导∠AOC的计算规律，代入∠ABC的度数即可求解；再结合OD⊥OB的条件，利用三角形外角的性质计算∠ADO的度数。
② 分别通过角平分线性质、三角形内角和定理推导∠AOC的表达式，通过外角性质推导∠ADO的表达式，对比两个表达式即可证明二者的关系。
（2）先由内角和算出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线性质求出∠OBC与∠BCO的和；利用外角平分线的性质推出∠OBF为90°，最后在△BFC中用内角和定理计算∠F的度数。
【解析】
(1) ① 已知O是△ABC三个内角平分线的交点，∠ABC=38°
∴ $∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180°-∠ ABC) = \frac{1}{2}×(180°-38°)=71°$
∴ $∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ OCA) = 180°-71°=109°$
∵ OB平分∠ABC，
∴ $∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC=19°$
∵ $OD⊥OB$，
∴ $∠ BOD=90°$
∠ADO是△BOD的外角，
∴ $∠ ADO = ∠ BOD + ∠ ABO = 90°+19°=109°$
② $∠ AOC = ∠ ADO$，理由如下：
∵ O是△ABC三个内角的平分线交点
∴ $∠ OAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ACO = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC$
∴ $∠ OAC + ∠ ACO = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACB)$
∴ $∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ ACO) = 180° - \frac{1}{2}(180°-∠ ABC) = 90°+\frac{1}{2}∠ ABC$
∵ $OD⊥OB$，
∴ $∠ BOD=90°$
∠ADO是△BOD的外角，
∴ $∠ ADO = ∠ BOD + ∠ ABO = 90°+\frac{1}{2}∠ ABC$
∴ $∠ AOC = ∠ ADO$
(2) 已知$∠ BAC=70°$，在△ABC中
$∠ ABC + ∠ ACB = 180°-∠ BAC = 180°-70°=110°$
∵ O是内角平分线交点，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCO = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ OBC + ∠ BCO = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110°=55°$
∵ BF平分外角∠ABE，且$∠ ABC + ∠ ABE = 180°$
∴ $∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE$
∴ $∠ OBF = ∠ ABO + ∠ ABF = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABE) = \frac{1}{2}×180°=90°$
在△BFC中，$∠ F = 180° - (∠ OBF + ∠ OBC + ∠ BCO) = 180°-(90°+55°)=35°$
【答案】
(1) ① $\boxed{109°}$，$\boxed{109°}$；② $\boxed{∠AOC=∠ADO}$，理由见解析；(2) $\boxed{35°}$
【知识点】
三角形角平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心考查角平分线定义、三角形内角和与外角性质的综合运用，解题关键是熟练掌握角度之间的转化逻辑，积累三角形角平分线交点相关的角度结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.65
12 [2024 陕西]如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
12. C
解析
【分析】
解题时首先明确直角三角形的判定依据：有一个内角是直角的三角形就是直角三角形。首先从题干信息里找出图中所有的直角：已知∠BAC=90°，AD是BC边上的高，可得∠ADB、∠ADC都是直角，接下来逐个枚举以这些直角为内角的三角形，注意不要漏数、多数即可。
【解析】
根据直角三角形的定义，逐个判断：
1.
∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
2.
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形；
3.
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴△ADE是直角三角形；
4.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形。
综上，共有4个直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，三角形的高的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握直角三角形的定义，计数时注意按顺序排查，避免漏数被AD和AE分割出的小直角三角形△ADE。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确直角三角形的判定依据：有一个内角是直角的三角形就是直角三角形。首先从题干信息里找出图中所有的直角：已知∠BAC=90°，AD是BC边上的高，可得∠ADB、∠ADC都是直角，接下来逐个枚举以这些直角为内角的三角形，注意不要漏数、多数即可。
【解析】
根据直角三角形的定义，逐个判断：
1.
∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
2.
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形；
3.
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴△ADE是直角三角形；
4.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形。
综上，共有4个直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，三角形的高的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握直角三角形的定义，计数时注意按顺序排查，避免漏数被AD和AE分割出的小直角三角形△ADE。
【难度系数】
0.8
13 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°,∠ B=60°$,CE平分$∠ ACB$,交AB于点E.
(1) 求$∠ ACE$的度数;
(2) 若$CD⊥ AB$于点D,点F在CE上,连接$DF,∠ CDF=75°$,求证:$△ CFD$是直角三角形.
(1) 求$∠ ACE$的度数;
(2) 若$CD⊥ AB$于点D,点F在CE上,连接$DF,∠ CDF=75°$,求证:$△ CFD$是直角三角形.
答案
13. (1) $\because ∠ A = 30°, ∠ B = 60°, \therefore ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 60° = 90°. \because CE$ 平分$∠ ACB, \therefore ∠ ACE = ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
(2) $\because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDB = 90°. \therefore ∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 60° = 30°. \therefore ∠ FCD = ∠ BCE - ∠ BCD = 45° - 30° = 15°. \because ∠ CDF = 75°, \therefore ∠ CFD = 180° - ∠ FCD - ∠ CDF = 180° - 15° - 75° = 90°. \therefore △ CFD$ 是直角三角形
(2) $\because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDB = 90°. \therefore ∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 60° = 30°. \therefore ∠ FCD = ∠ BCE - ∠ BCD = 45° - 30° = 15°. \because ∠ CDF = 75°, \therefore ∠ CFD = 180° - ∠ FCD - ∠ CDF = 180° - 15° - 75° = 90°. \therefore △ CFD$ 是直角三角形
解析
【分析】
(1) 求∠ACE的度数时，首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠B的度数算出∠ACB的度数；再根据CE是∠ACB的角平分线，角平分线将角分为两个相等的小角，即可求出∠ACE的度数。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明三角形内有一个内角为90°即可。首先由CD⊥AB得到∠CDB=90°，在Rt△CDB中算出∠BCD的度数；结合第一问得到的∠BCE的度数，求出∠FCD的度数；最后在△CFD中利用三角形内角和计算∠CFD的度数，判断是否为90°即可完成证明。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 60° = 90°$
$\because CE$平分$∠ ACB$，根据角平分线的定义
$\therefore ∠ ACE = ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
(2) 证明：
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 60° = 30°$
由(1)可知$∠ BCE=45°$，$\therefore ∠ FCD = ∠ BCE - ∠ BCD = 45° - 30° = 15°$
在$△ CFD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ CFD = 180° - ∠ FCD - ∠ CDF = 180° - 15° - 75° = 90°$
$\therefore △ CFD$是直角三角形
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $△ CFD$是直角三角形，证明如上。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形角度计算与判定的基础题型，综合考查了三角形常见性质的应用，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握基础的角度计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠ACE的度数时，首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠B的度数算出∠ACB的度数；再根据CE是∠ACB的角平分线，角平分线将角分为两个相等的小角，即可求出∠ACE的度数。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明三角形内有一个内角为90°即可。首先由CD⊥AB得到∠CDB=90°，在Rt△CDB中算出∠BCD的度数；结合第一问得到的∠BCE的度数，求出∠FCD的度数；最后在△CFD中利用三角形内角和计算∠CFD的度数，判断是否为90°即可完成证明。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 60° = 90°$
$\because CE$平分$∠ ACB$，根据角平分线的定义
$\therefore ∠ ACE = ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
(2) 证明：
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 60° = 30°$
由(1)可知$∠ BCE=45°$，$\therefore ∠ FCD = ∠ BCE - ∠ BCD = 45° - 30° = 15°$
在$△ CFD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ CFD = 180° - ∠ FCD - ∠ CDF = 180° - 15° - 75° = 90°$
$\therefore △ CFD$是直角三角形
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $△ CFD$是直角三角形，证明如上。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形角度计算与判定的基础题型，综合考查了三角形常见性质的应用，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握基础的角度计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
