登录
16.(真题·绍兴柯桥)聪聪用卡纸剪出了3个大小不同、半径相同的扇形,他想用这3个扇形围成圆锥的侧面,关于这3个圆锥的高($h_1,h_2,h_3$),你认为下列说法正确的是(
A.$h_1＞h_2＞h_3$
B.$h_1=h_2=h_3$
C.$h_1＜h_2＜h_3$
D.无法判断
A
)。A.$h_1＞h_2＞h_3$
B.$h_1=h_2=h_3$
C.$h_1＜h_2＜h_3$
D.无法判断
答案
16. A
解析
【分析】要判断三个圆锥的高的大小，需明确圆锥的结构特征：圆锥的高、底面半径、母线（即扇形的半径）满足勾股定理$h=\sqrt{l^2 - r^2}$，其中母线$l$是扇形的半径，本题中三个扇形半径均为5，故母线$l=5$；同时圆锥底面周长等于扇形的弧长，弧长越大，对应的圆锥底面半径$r$越大，代入公式可知$r$越大则$h$越小，因此只需比较三个扇形的弧长，即可推导高的大小关系。
【解析】
1. 确定三个扇形的圆心角：①的圆心角为$90°$，②为$180°$，③为$270°$，半径均为$l=5$。
2. 计算各扇形的弧长：
扇形①弧长：$L_1=\frac{90°}{360°} × 2π l = \frac{1}{4} × 2π ×5 = 2.5π$
扇形②弧长：$L_2=\frac{180°}{360°} × 2π l = \frac{1}{2} × 10π =5π$
扇形③弧长：$L_3=\frac{270°}{360°} × 2π l = \frac{3}{4} ×10π=7.5π$
3. 圆锥底面周长等于扇形弧长，即$L=2π r$，故底面半径$r=\frac{L}{2π}$，因此：
$r_1=\frac{2.5π}{2π}=1.25$，$r_2=\frac{5π}{2π}=2.5$，$r_3=\frac{7.5π}{2π}=3.75$，得$r_1＜r_2＜r_3$。
4. 代入圆锥高公式$h=\sqrt{l^2 - r^2}$（$l=5$），可得$h_1=\sqrt{5^2 -1.25^2}$，$h_2=\sqrt{5^2 -2.5^2}$，$h_3=\sqrt{5^2 -3.75^2}$，显然$h_1＞h_2＞h_3$。
【答案】A
【知识点】圆锥的高、扇形弧长、圆锥底面周长
【点评】本题结合圆锥的结构特征，利用扇形弧长与圆锥底面周长的关系，结合勾股定理判断高的大小，核心是明确弧长与底面半径的联系，属于几何应用类基础题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 确定三个扇形的圆心角：①的圆心角为$90°$，②为$180°$，③为$270°$，半径均为$l=5$。
2. 计算各扇形的弧长：
扇形①弧长：$L_1=\frac{90°}{360°} × 2π l = \frac{1}{4} × 2π ×5 = 2.5π$
扇形②弧长：$L_2=\frac{180°}{360°} × 2π l = \frac{1}{2} × 10π =5π$
扇形③弧长：$L_3=\frac{270°}{360°} × 2π l = \frac{3}{4} ×10π=7.5π$
3. 圆锥底面周长等于扇形弧长，即$L=2π r$，故底面半径$r=\frac{L}{2π}$，因此：
$r_1=\frac{2.5π}{2π}=1.25$，$r_2=\frac{5π}{2π}=2.5$，$r_3=\frac{7.5π}{2π}=3.75$，得$r_1＜r_2＜r_3$。
4. 代入圆锥高公式$h=\sqrt{l^2 - r^2}$（$l=5$），可得$h_1=\sqrt{5^2 -1.25^2}$，$h_2=\sqrt{5^2 -2.5^2}$，$h_3=\sqrt{5^2 -3.75^2}$，显然$h_1＞h_2＞h_3$。
【答案】A
【知识点】圆锥的高、扇形弧长、圆锥底面周长
【点评】本题结合圆锥的结构特征，利用扇形弧长与圆锥底面周长的关系，结合勾股定理判断高的大小，核心是明确弧长与底面半径的联系，属于几何应用类基础题。
【难度系数】0.5
17.(真题·嘉兴桐乡)如下图,李叔叔将两块完全相同的长方体钢坯分别加工成2个和8个的圆柱形的钢模。比一比两种加工方法削去的钢材体积,(
A.①大
B.②大
C.一样大
D.不能比较
C
)。A.①大
B.②大
C.一样大
D.不能比较
答案
17. C
解析
【分析】要比较两种加工方法削去的钢材体积，需明确：削去体积=长方体钢坯体积 - 加工后所有圆柱的总体积。由于两块长方体钢坯完全相同，因此它们的体积相等，只需判断两种加工方式下圆柱的总体积是否相等即可。通过设小圆柱的直径，结合图形中圆柱排列与长方体长、宽的关系，分别计算两种情况的圆柱总体积，进而推导削去体积的关系。
【解析】设小圆柱的直径为$d$，则大圆柱的直径为$2d$，两种加工方式中圆柱的高均等于长方体的高$h$。
1. 计算图①中2个大圆柱的总体积：
大圆柱半径$r_1 = \frac{2d}{2}=d$，单个大圆柱体积为$π r_1^2 h=π d^2 h$，则2个大圆柱总体积为$2×π d^2 h = 2π d^2 h$。
2. 计算图②中8个小圆柱的总体积：
小圆柱半径$r_2=\frac{d}{2}$，单个小圆柱体积为$π r_2^2 h=π (\frac{d}{2})^2 h=\frac{1}{4}π d^2 h$，则8个小圆柱总体积为$8×\frac{1}{4}π d^2 h=2π d^2 h$。
3. 因为两块长方体钢坯完全相同，所以长方体体积相等。削去体积=长方体体积 - 圆柱总体积，两种情况的圆柱总体积相等，因此削去的钢材体积一样大。
【答案】C
【知识点】圆柱体积、长方体体积、体积计算
【点评】本题结合长方体加工圆柱的实际问题，考查体积公式的灵活应用，核心是推导两种加工方式下圆柱总体积相等，需要学生具备一定的空间想象和公式运用能力。
【难度系数】0.5
【解析】设小圆柱的直径为$d$，则大圆柱的直径为$2d$，两种加工方式中圆柱的高均等于长方体的高$h$。
1. 计算图①中2个大圆柱的总体积：
大圆柱半径$r_1 = \frac{2d}{2}=d$，单个大圆柱体积为$π r_1^2 h=π d^2 h$，则2个大圆柱总体积为$2×π d^2 h = 2π d^2 h$。
2. 计算图②中8个小圆柱的总体积：
小圆柱半径$r_2=\frac{d}{2}$，单个小圆柱体积为$π r_2^2 h=π (\frac{d}{2})^2 h=\frac{1}{4}π d^2 h$，则8个小圆柱总体积为$8×\frac{1}{4}π d^2 h=2π d^2 h$。
3. 因为两块长方体钢坯完全相同，所以长方体体积相等。削去体积=长方体体积 - 圆柱总体积，两种情况的圆柱总体积相等，因此削去的钢材体积一样大。
【答案】C
【知识点】圆柱体积、长方体体积、体积计算
【点评】本题结合长方体加工圆柱的实际问题，考查体积公式的灵活应用，核心是推导两种加工方式下圆柱总体积相等，需要学生具备一定的空间想象和公式运用能力。
【难度系数】0.5
18.(真题·温州乐清)如图所示,在一块正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形,恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为$a$,圆的半径为$b$,那么$a:b=$(
A.$5:2$
B.$4:1$
C.$3:1$
D.$2:1$
B
)。A.$5:2$
B.$4:1$
C.$3:1$
D.$2:1$
答案
18. B 解析:扇形弧长=圆锥底面周长,所以$2π a×\frac{1}{4}=2π b$,$a:b=4:1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用圆锥侧面展开图与底面圆的关系：围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先确定扇形的圆心角（由图可知扇形在正方形中，圆心角为90°，即1/4圆周），再分别计算扇形弧长和底面圆周长，根据两者相等建立等式，进而求出a与b的比值。
【解析】
因为剪下的扇形恰好能围成圆锥，所以扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
1. 计算扇形弧长：扇形半径为a，圆心角为90°，扇形弧长是半径为a的圆周长的1/4，即弧长为$\frac{1}{4}×2π a = \frac{1}{2}π a$。
2. 计算底面圆周长：圆的半径为b，底面圆周长为$2π b$。
3. 建立等式求解：由扇形弧长等于底面圆周长，得$\frac{1}{2}π a = 2π b$，两边同时除以π，化简得$\frac{1}{2}a = 2b$，进一步整理得$a = 4b$，因此$a:b = 4:1$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题核心考查圆锥侧面展开图的性质，关键是利用“扇形弧长等于底面圆周长”的关系建立等式，难度适中，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用圆锥侧面展开图与底面圆的关系：围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先确定扇形的圆心角（由图可知扇形在正方形中，圆心角为90°，即1/4圆周），再分别计算扇形弧长和底面圆周长，根据两者相等建立等式，进而求出a与b的比值。
【解析】
因为剪下的扇形恰好能围成圆锥，所以扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
1. 计算扇形弧长：扇形半径为a，圆心角为90°，扇形弧长是半径为a的圆周长的1/4，即弧长为$\frac{1}{4}×2π a = \frac{1}{2}π a$。
2. 计算底面圆周长：圆的半径为b，底面圆周长为$2π b$。
3. 建立等式求解：由扇形弧长等于底面圆周长，得$\frac{1}{2}π a = 2π b$，两边同时除以π，化简得$\frac{1}{2}a = 2b$，进一步整理得$a = 4b$，因此$a:b = 4:1$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题核心考查圆锥侧面展开图的性质，关键是利用“扇形弧长等于底面圆周长”的关系建立等式，难度适中，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
19.(真题·湖州安吉)如图,把一个圆柱切成若干等份,拼成一个近似的长方体,表面积增加了30平方厘米,原来圆柱的侧面积是(
A.30
B.$900π$
C.15
D.$30π$
D
)平方厘米。A.30
B.$900π$
C.15
D.$30π$
答案
19. D 解析:增加的面积为$h× r×2=30(\mathrm{cm}^2)$,则$hr=15$,侧面积为$2π rh=2×π×15=30π$(平方厘米)。
解析
【分析】
把圆柱切成若干等份拼成近似长方体时，表面积会增加2个长方形的面，这两个长方形的长是圆柱的高$ h $，宽是圆柱的底面半径$ r $。根据题目中表面积增加了30平方厘米，可先求出$ r $与$ h $的乘积，再结合圆柱侧面积公式计算结果。
【解析】
圆柱切拼为近似长方体后，增加的表面积是2个长为圆柱高$ h $、宽为圆柱底面半径$ r $的长方形的面积，因此：
$ 2× r× h = 30 $（平方厘米），可得$ rh = 15 $（平方厘米）。
圆柱的侧面积公式为$ S_{侧}=2π rh $，将$ rh=15 $代入公式：
$ S_{侧}=2π×15 = 30π $（平方厘米）。
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面积计算；圆柱切拼的表面积变化
【点评】
本题核心是理解圆柱切拼成长方体时表面积的变化规律，结合圆柱侧面积公式即可求解，需掌握切拼后新增面的特征。
【难度系数】
0.5
把圆柱切成若干等份拼成近似长方体时，表面积会增加2个长方形的面，这两个长方形的长是圆柱的高$ h $，宽是圆柱的底面半径$ r $。根据题目中表面积增加了30平方厘米，可先求出$ r $与$ h $的乘积，再结合圆柱侧面积公式计算结果。
【解析】
圆柱切拼为近似长方体后，增加的表面积是2个长为圆柱高$ h $、宽为圆柱底面半径$ r $的长方形的面积，因此：
$ 2× r× h = 30 $（平方厘米），可得$ rh = 15 $（平方厘米）。
圆柱的侧面积公式为$ S_{侧}=2π rh $，将$ rh=15 $代入公式：
$ S_{侧}=2π×15 = 30π $（平方厘米）。
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面积计算；圆柱切拼的表面积变化
【点评】
本题核心是理解圆柱切拼成长方体时表面积的变化规律，结合圆柱侧面积公式即可求解，需掌握切拼后新增面的特征。
【难度系数】
0.5
20.(真题·金华义乌)如右图,将一张长方形的纸绕指定的这条宽旋转一周,形成的阴影部分不规则的立体图形,这个立体图形的体积是(
A.$12\mathrm{cm}^2$
B.$12\mathrm{cm}^3$
C.$48π\mathrm{cm}^3$
D.$144π\mathrm{cm}^3$
C
)。A.$12\mathrm{cm}^2$
B.$12\mathrm{cm}^3$
C.$48π\mathrm{cm}^3$
D.$144π\mathrm{cm}^3$
答案
20. C 解析:形成的立体图形是由两个底面半径为6cm,高分别是1cm,3cm的圆锥组成,体积是$6^2π×1×\frac{1}{3}+6^2π×3×\frac{1}{3}=48π(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
要计算旋转后阴影部分形成的立体图形体积，需先明确旋转后的图形构成：长方形绕左侧的宽旋转一周，阴影部分的两个三角形会分别形成两个圆锥，这两个圆锥的底面半径等于长方形的长（6cm），高分别为1cm和3cm。因此，所求体积是这两个圆锥的体积之和，利用圆锥体积公式即可计算。
【解析】
1. 确定圆锥参数：两个圆锥的底面半径$ r = 6\mathrm{cm} $，高分别为$ h_1=1\mathrm{cm} $、$ h_2=3\mathrm{cm} $。
2. 圆锥体积公式：$ V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h $。
3. 计算两个圆锥体积之和：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}π r^2 h_1 + \frac{1}{3}π r^2 h_2\\&=\frac{1}{3}π×6^2×1 + \frac{1}{3}π×6^2×3\\&=12π + 36π\\&=48π (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥体积、图形旋转
【点评】
本题通过图形旋转将不规则立体图形转化为规则圆锥的组合，考查圆锥体积公式的应用，关键是明确旋转后各部分的对应关系，属于中等难度的几何计算题目。
【难度系数】
0.5
要计算旋转后阴影部分形成的立体图形体积，需先明确旋转后的图形构成：长方形绕左侧的宽旋转一周，阴影部分的两个三角形会分别形成两个圆锥，这两个圆锥的底面半径等于长方形的长（6cm），高分别为1cm和3cm。因此，所求体积是这两个圆锥的体积之和，利用圆锥体积公式即可计算。
【解析】
1. 确定圆锥参数：两个圆锥的底面半径$ r = 6\mathrm{cm} $，高分别为$ h_1=1\mathrm{cm} $、$ h_2=3\mathrm{cm} $。
2. 圆锥体积公式：$ V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h $。
3. 计算两个圆锥体积之和：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}π r^2 h_1 + \frac{1}{3}π r^2 h_2\\&=\frac{1}{3}π×6^2×1 + \frac{1}{3}π×6^2×3\\&=12π + 36π\\&=48π (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥体积、图形旋转
【点评】
本题通过图形旋转将不规则立体图形转化为规则圆锥的组合，考查圆锥体积公式的应用，关键是明确旋转后各部分的对应关系，属于中等难度的几何计算题目。
【难度系数】
0.5
