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9.(真题·丽水龙泉)一个三角形纸片(单位:厘米),以AB所在的直线为轴旋转一周(如图1),形成图形的体积是( )立方厘米,如果将这个直角三角形剪去直角(如图2),得到一个四边形,$∠1+∠2=$( )。
答案
9. 37.68 $270°$ 解析:在三角形$ABC$中,$∠ A+∠ C=180°-90°=90°$。四边形内角和$360°$,所以$∠1+∠2=360°-(∠ A+∠ C)=360°-90°=270°$。
解析
【分析】
本题包含两个问题：第一问求直角三角形以AB为轴旋转一周形成图形的体积，需明确旋转后得到的是圆锥，利用圆锥体积公式计算；第二问求四边形中∠1+∠2的度数，需结合四边形内角和性质与直角三角形的角度特点求解。
【解析】
1. 计算旋转体体积：该直角三角形以AB所在直线为轴旋转一周，形成底面半径为3厘米、高为4厘米的圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入$r=3$厘米、$h=4$厘米、$π=3.14$，得体积$V=\frac{1}{3}×3.14×3^2×4=37.68$立方厘米。
2. 计算∠1+∠2：直角三角形中，两个锐角和为$180°-90°=90°$，四边形内角和为$360°$，因此$∠1+∠2=360°-(∠A+∠C)=360°-90°=270°$。
【答案】
37.68；270°
【知识点】
圆锥体积计算，多边形内角和
【点评】
本题结合立体图形体积计算与平面图形角度计算，考查基础知识点的应用，解题关键是明确旋转体的形状和四边形内角和的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题包含两个问题：第一问求直角三角形以AB为轴旋转一周形成图形的体积，需明确旋转后得到的是圆锥，利用圆锥体积公式计算；第二问求四边形中∠1+∠2的度数，需结合四边形内角和性质与直角三角形的角度特点求解。
【解析】
1. 计算旋转体体积：该直角三角形以AB所在直线为轴旋转一周，形成底面半径为3厘米、高为4厘米的圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入$r=3$厘米、$h=4$厘米、$π=3.14$，得体积$V=\frac{1}{3}×3.14×3^2×4=37.68$立方厘米。
2. 计算∠1+∠2：直角三角形中，两个锐角和为$180°-90°=90°$，四边形内角和为$360°$，因此$∠1+∠2=360°-(∠A+∠C)=360°-90°=270°$。
【答案】
37.68；270°
【知识点】
圆锥体积计算，多边形内角和
【点评】
本题结合立体图形体积计算与平面图形角度计算，考查基础知识点的应用，解题关键是明确旋转体的形状和四边形内角和的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
10.(真题·金华东阳)一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是$2:3$，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是( )平方厘米。
答案
10. 36
解析
【分析】
要解决这道题，需先回忆圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$，圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$。题目中圆柱和圆锥体积相等，因此可根据体积相等建立等式，再结合高的比例关系，代入已知的圆柱底面积，即可求出圆锥的底面积。
【解析】
设圆柱的高为$2h$，圆锥的高为$3h$（$h≠0$），圆锥的底面积为$S$平方厘米。
因为圆柱和圆锥体积相等，所以：
$S_{柱}h_{柱}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$
将$S_{柱}=18$、$h_{柱}=2h$、$h_{锥}=3h$代入等式：
$18×2h=\frac{1}{3}×S×3h$
化简等式：
左边为$36h$，右边为$Sh$，两边同时除以$h$（$h≠0$），得$S=36$。
【答案】
36
【知识点】
圆柱体积公式、圆锥体积公式
【点评】
本题考查圆柱与圆锥体积公式的灵活应用，核心是利用“体积相等”的条件建立等量关系，结合高的比例关系求解，属于基础应用题，只要牢记体积公式即可正确解答。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先回忆圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$，圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$。题目中圆柱和圆锥体积相等，因此可根据体积相等建立等式，再结合高的比例关系，代入已知的圆柱底面积，即可求出圆锥的底面积。
【解析】
设圆柱的高为$2h$，圆锥的高为$3h$（$h≠0$），圆锥的底面积为$S$平方厘米。
因为圆柱和圆锥体积相等，所以：
$S_{柱}h_{柱}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$
将$S_{柱}=18$、$h_{柱}=2h$、$h_{锥}=3h$代入等式：
$18×2h=\frac{1}{3}×S×3h$
化简等式：
左边为$36h$，右边为$Sh$，两边同时除以$h$（$h≠0$），得$S=36$。
【答案】
36
【知识点】
圆柱体积公式、圆锥体积公式
【点评】
本题考查圆柱与圆锥体积公式的灵活应用，核心是利用“体积相等”的条件建立等量关系，结合高的比例关系求解，属于基础应用题，只要牢记体积公式即可正确解答。
【难度系数】
0.5
11.(真题·金华金东、婺城)一个长方体包装盒的长是20cm，宽是8.5cm，高是2cm。一种圆柱形零件的底面半径是2cm，高是1cm，这个包装盒内最多能放(
20
)个这种零件。答案
11. 20 解析:$20÷(2×2)=5$(个),$8.5÷(2×2)\approx2$(个),$2÷1=2$(个),$5×2×2=20$(个)。
解析
【分析】
解决这类立体零件的摆放问题，不能直接用长方体体积除以圆柱体积，需按维度计算各方向能容纳的零件数：先算出圆柱底面直径（摆放时占的长度），再分别确定长方体的长、宽、高方向各能放几个零件，最后将三个方向的数量相乘得到总个数，计算时剩余空间不够放1个需用去尾法取整数。
【解析】
圆柱形零件的底面直径为：$2×2 = 4\,\mathrm{cm}$，零件的高为$1\,\mathrm{cm}$。
1. 长方向可放数量：$20÷4 = 5$（个）；
2. 宽方向可放数量：$8.5÷4 ≈ 2$（个）（剩余$0.5\,\mathrm{cm}$不够放1个，用去尾法取整数）；
3. 高方向可放数量：$2÷1 = 2$（个）；
总个数为：$5×2×2 = 20$（个）。
【答案】
20
【知识点】
立体图形的空间摆放、除法的去尾取整
【点评】
本题是立体图形实际应用的典型题，核心是掌握按维度计算摆放数量的方法，避免体积相除的错误，需注意宽方向的取整规则，考查学生的空间想象能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
解决这类立体零件的摆放问题，不能直接用长方体体积除以圆柱体积，需按维度计算各方向能容纳的零件数：先算出圆柱底面直径（摆放时占的长度），再分别确定长方体的长、宽、高方向各能放几个零件，最后将三个方向的数量相乘得到总个数，计算时剩余空间不够放1个需用去尾法取整数。
【解析】
圆柱形零件的底面直径为：$2×2 = 4\,\mathrm{cm}$，零件的高为$1\,\mathrm{cm}$。
1. 长方向可放数量：$20÷4 = 5$（个）；
2. 宽方向可放数量：$8.5÷4 ≈ 2$（个）（剩余$0.5\,\mathrm{cm}$不够放1个，用去尾法取整数）；
3. 高方向可放数量：$2÷1 = 2$（个）；
总个数为：$5×2×2 = 20$（个）。
【答案】
20
【知识点】
立体图形的空间摆放、除法的去尾取整
【点评】
本题是立体图形实际应用的典型题，核心是掌握按维度计算摆放数量的方法，避免体积相除的错误，需注意宽方向的取整规则，考查学生的空间想象能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
12.(真题·温州苍南)如图所示,一个圆柱体容器底面直径是8厘米,高10厘米,里面装有一半的水(如图①),如果把它水平放在桌面上(如图②),稳定后水面的形状是(
长方形
),此时水面的高度是(4
)厘米,这个圆柱体容器的表面积是(351.68
)平方厘米(容器厚度忽略不计)。答案
12. 长方形 4 351.68
解析
【分析】首先明确题目中是装一半水的圆柱体容器水平放置，水的体积不变。第一步判断水面形状：圆柱体水平放置时，水的轴切面为长方形；第二步计算水面高度：底面直径8厘米，半径为4厘米，因水占容器一半，水平放置后水面高度等于半径；第三步计算圆柱表面积，需运用圆柱表面积公式（2个底面积+侧面积）代入数值计算。
【解析】1. 水面形状：圆柱体水平放置，水的轴截面是长方形，故水面形状为长方形；2. 水面高度：底面半径r=8÷2=4厘米，由于水是容器容积的一半，水平放置后水面高度等于半径，即4厘米；3. 圆柱表面积：圆柱表面积=2×底面积+侧面积，底面积=πr²=3.14×4²=50.24平方厘米，2个底面积=50.24×2=100.48平方厘米，侧面积=πdh=3.14×8×10=251.2平方厘米，总表面积=100.48+251.2=351.68平方厘米。
【答案】长方形 4 351.68
【知识点】圆柱的特征、圆柱的表面积计算
【点评】本题结合圆柱的实际放置场景，考查对圆柱性质的理解及表面积计算，属于基础题型，需掌握圆柱的相关公式和空间想象能力。
【难度系数】0.6
【解析】1. 水面形状：圆柱体水平放置，水的轴截面是长方形，故水面形状为长方形；2. 水面高度：底面半径r=8÷2=4厘米，由于水是容器容积的一半，水平放置后水面高度等于半径，即4厘米；3. 圆柱表面积：圆柱表面积=2×底面积+侧面积，底面积=πr²=3.14×4²=50.24平方厘米，2个底面积=50.24×2=100.48平方厘米，侧面积=πdh=3.14×8×10=251.2平方厘米，总表面积=100.48+251.2=351.68平方厘米。
【答案】长方形 4 351.68
【知识点】圆柱的特征、圆柱的表面积计算
【点评】本题结合圆柱的实际放置场景，考查对圆柱性质的理解及表面积计算，属于基础题型，需掌握圆柱的相关公式和空间想象能力。
【难度系数】0.6
13.(真题·台州玉环)如图,将圆柱体容器内装的水倒入(
D
)容器中,正好倒满。答案
13. D
解析
【分析】要解决这个问题，需先计算圆柱体容器内水的体积，再分别计算各圆锥容器的体积，找到体积与水的体积相等的圆锥即可。圆柱体积公式为$V=π r^2 h$，圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π R^2 H$，先确定圆柱中水的相关参数，再逐一计算选项中圆锥的体积进行对比。
【解析】1. 计算圆柱内水的体积：圆柱底面半径$r=12÷2=6$，水的高度$h=6$，所以水的体积$V_{水}=π r^2 h=π×6^2×6=216π$。
2. 计算各圆锥体积：
选项B：圆锥底面半径$R=12÷2=6$，高$H=6$，体积$V_B=\frac{1}{3}π R^2 H=\frac{1}{3}π×6^2×6=72π≠216π$；
选项C：圆锥底面半径$R=6÷2=3$，高$H=12$，体积$V_C=\frac{1}{3}π R^2 H=\frac{1}{3}π×3^2×12=36π≠216π$；
选项D：圆锥底面半径$R=12÷2=6$，高$H=18$，体积$V_D=\frac{1}{3}π R^2 H=\frac{1}{3}π×6^2×18=216π$，与水的体积相等，正好倒满。
【答案】D
【知识点】圆柱体积、圆锥体积
【点评】本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，核心是正确计算体积并对比，属于基础立体图形体积计算的典型题目。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算圆柱内水的体积：圆柱底面半径$r=12÷2=6$，水的高度$h=6$，所以水的体积$V_{水}=π r^2 h=π×6^2×6=216π$。
2. 计算各圆锥体积：
选项B：圆锥底面半径$R=12÷2=6$，高$H=6$，体积$V_B=\frac{1}{3}π R^2 H=\frac{1}{3}π×6^2×6=72π≠216π$；
选项C：圆锥底面半径$R=6÷2=3$，高$H=12$，体积$V_C=\frac{1}{3}π R^2 H=\frac{1}{3}π×3^2×12=36π≠216π$；
选项D：圆锥底面半径$R=12÷2=6$，高$H=18$，体积$V_D=\frac{1}{3}π R^2 H=\frac{1}{3}π×6^2×18=216π$，与水的体积相等，正好倒满。
【答案】D
【知识点】圆柱体积、圆锥体积
【点评】本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，核心是正确计算体积并对比，属于基础立体图形体积计算的典型题目。
【难度系数】0.5
14.(真题·金华浦江)一个圆锥的底面半径是一个圆柱的2倍，若它们的高相等，则比较它们的体积，结果是(
A.圆锥大
B.圆柱大
C.相等
D.无法确定
A
)。A.圆锥大
B.圆柱大
C.相等
D.无法确定
答案
14. A
解析
【分析】要比较圆柱和圆锥的体积，需先明确两者的体积公式，再结合题目给出的底面半径和高的关系，设出相关量分别计算体积，最后对比大小。具体步骤：设圆柱底面半径为$r$，高为$h$，根据题意得圆锥底面半径为$2r$，高也为$h$；分别代入体积公式计算两者体积，再比较结果。
【解析】设圆柱的底面半径为$r$，高为$h$，则圆锥的底面半径为$2r$，高为$h$。
圆柱体积公式：$V_{柱} = π r^2 h$；
圆锥体积公式：$V_{锥} = \frac{1}{3} π (2r)^2 h = \frac{1}{3} π × 4r^2 h = \frac{4}{3} π r^2 h$；
比较两者体积：$\frac{4}{3} π r^2 h ＞ π r^2 h$，即圆锥体积大于圆柱体积。
【答案】A
【知识点】圆柱体积、圆锥体积
【点评】本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，核心是正确代入半径关系计算体积并比较，属于基础题型，需熟练掌握体积公式。
【难度系数】0.6
【解析】设圆柱的底面半径为$r$，高为$h$，则圆锥的底面半径为$2r$，高为$h$。
圆柱体积公式：$V_{柱} = π r^2 h$；
圆锥体积公式：$V_{锥} = \frac{1}{3} π (2r)^2 h = \frac{1}{3} π × 4r^2 h = \frac{4}{3} π r^2 h$；
比较两者体积：$\frac{4}{3} π r^2 h ＞ π r^2 h$，即圆锥体积大于圆柱体积。
【答案】A
【知识点】圆柱体积、圆锥体积
【点评】本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，核心是正确代入半径关系计算体积并比较，属于基础题型，需熟练掌握体积公式。
【难度系数】0.6
15.(真题·湖州长兴)如图是一个直柱体的侧面展开图,这个直柱体的底面不可能是(
A.长4cm、宽2cm的长方形
B.周长是6cm的正方形
C.面积是$6cm^2$的圆($π$取3)
D.面积是$12cm^2$的圆($π$取3)
C
)。A.长4cm、宽2cm的长方形
B.周长是6cm的正方形
C.面积是$6cm^2$的圆($π$取3)
D.面积是$12cm^2$的圆($π$取3)
答案
15. C
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确直柱体侧面展开图的性质：直柱体侧面展开后是长方形，长方形的一组邻边分别对应直柱体的底面周长和柱体的高，因此直柱体的底面周长只能是展开图的长（12cm）或宽（6cm）。我们需要逐一计算各选项对应的图形周长，判断是否等于12cm或6cm，从而确定不可能的选项。
【解析】
1. 确定直柱体底面周长的可能值：侧面展开图的长为12cm、宽为6cm，因此直柱体底面周长只能是12cm或6cm。
2. 逐一分析选项：
选项A：长4cm、宽2cm的长方形，周长为$(4+2)×2=12cm$，等于展开图的长，符合条件，排除；
选项B：周长为6cm的正方形，周长直接为6cm，等于展开图的宽，符合条件，排除；
选项C：面积为$6cm^2$的圆（$π$取3），由圆的面积公式$S=π r^2$，得$r^2=6÷3=2$，圆的周长$C=2π r≈8.48cm$，既不等于12cm也不等于6cm，不符合条件；
选项D：面积为$12cm^2$的圆（$π$取3），由$S=π r^2$得$r^2=12÷3=4$，圆的周长$C=2π r=12cm$，等于展开图的长，符合条件，排除。
综上，底面不可能是选项C的图形。
【答案】
C
【知识点】
直柱体侧面展开、周长计算、圆的面积与周长
【点评】
本题考查直柱体侧面展开图的性质，核心是理解展开图边长与底面周长的对应关系，需熟练运用长方形、正方形、圆的周长和面积公式计算判断，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确直柱体侧面展开图的性质：直柱体侧面展开后是长方形，长方形的一组邻边分别对应直柱体的底面周长和柱体的高，因此直柱体的底面周长只能是展开图的长（12cm）或宽（6cm）。我们需要逐一计算各选项对应的图形周长，判断是否等于12cm或6cm，从而确定不可能的选项。
【解析】
1. 确定直柱体底面周长的可能值：侧面展开图的长为12cm、宽为6cm，因此直柱体底面周长只能是12cm或6cm。
2. 逐一分析选项：
选项A：长4cm、宽2cm的长方形，周长为$(4+2)×2=12cm$，等于展开图的长，符合条件，排除；
选项B：周长为6cm的正方形，周长直接为6cm，等于展开图的宽，符合条件，排除；
选项C：面积为$6cm^2$的圆（$π$取3），由圆的面积公式$S=π r^2$，得$r^2=6÷3=2$，圆的周长$C=2π r≈8.48cm$，既不等于12cm也不等于6cm，不符合条件；
选项D：面积为$12cm^2$的圆（$π$取3），由$S=π r^2$得$r^2=12÷3=4$，圆的周长$C=2π r=12cm$，等于展开图的长，符合条件，排除。
综上，底面不可能是选项C的图形。
【答案】
C
【知识点】
直柱体侧面展开、周长计算、圆的面积与周长
【点评】
本题考查直柱体侧面展开图的性质，核心是理解展开图边长与底面周长的对应关系，需熟练运用长方形、正方形、圆的周长和面积公式计算判断，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
