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7 新情境 生活实际 [2024 通辽] 如图,圆形拱门最下端 AB 在地面上,D 为 AB 的中点,C 为拱门最高点,线段 CD 经过拱门所在圆的圆心 O. 若 $AB = 1\ \mathrm{m}$,$CD = 2.5\ \mathrm{m}$,则拱门所在圆的半径为（
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
）A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
7. B 【解析】连接$OA,OB.\because OA=OB,D$为$AB$的中点，
$\therefore CD⊥ AB,AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}.$ 设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m},OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}.$ 在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理，得$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，解得$r=1.3,\therefore$ 拱门所在圆的半径为$1.3\ \mathrm{m}.$
$\therefore CD⊥ AB,AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}.$ 设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m},OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}.$ 在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理，得$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，解得$r=1.3,\therefore$ 拱门所在圆的半径为$1.3\ \mathrm{m}.$
8 在平面直角坐标系中,以点$(3,0)$为圆心,5为半径作圆,则该圆与$y$轴的交点的坐标为
$(0,4),(0,-4)$
.答案
8. $(0,4),(0,-4)$
9 教材变式题 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,$CD ⊥ AB$于点$D$.已知$CD=4$,$AD=2$,则$\odot O$的半径为
5
.答案
9. 5 【解析】连接$OC.$ 设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r,OD=OA-AD=r-2.$ 在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，$OC^2=CD^2+OD^2$，即$r^2=4^2+(r-2)^2$，解得$r=5.\therefore \odot O$的半径为5.
10 如图,过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D.如果$∠ BAC=63°$,那么$∠ ABC=$
18
$°$.答案
10. 18 【解析】如图，连接$CE,DE.\because DE=BD,\therefore ∠ 2=∠ ABC.$ 同理，可得$∠ 5=∠ 6,∠ 3=∠ BAC=63°.\because ∠ 6=∠ 2+∠ ABC=2∠ ABC,∠ CEB=∠ BAC+∠ 3=126°,\therefore ∠ 1=180°-∠ 5-∠ 6=180°-4∠ ABC,\therefore ∠ CEB=∠ 1+∠ 2=180°-3∠ ABC=126°,\therefore ∠ ABC=18°.$
11 [2025 河南]如图,四边形$ABCD$是平行四边形,以$BC$为直径的圆交$AD$于点$E$.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出圆心$O$(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 若$E$是$AD$的中点,连接$OA$,$CE$.求证:四边形$AOCE$是平行四边形.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出圆心$O$(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 若$E$是$AD$的中点,连接$OA$,$CE$.求证:四边形$AOCE$是平行四边形.
答案
11. (1) 如图，点$O$即为所求 (2) $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD=BC,AD// BC$，即$AE// OC.\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}AD.\because OC=\frac{1}{2}BC,\therefore AE=OC,\therefore$ 四边形$AOCE$是平行四边形
12 如图,AC 是$\odot O$的直径,点 B 在$\odot O$上(不与点 A,C 重合),点 D 在 AC 的延长线上,连接 BD交$\odot O$于点 E,$∠ AOB=3∠ D$. 求证:$DE=OB$.
答案
12. 连接$OE.$ 设$∠ D=x.\because OB=OE,\therefore ∠ B=∠ OEB.\because ∠ OEB$是$△ DEO$的外角，$\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE.$
$\because ∠ AOB$是$△ BOD$的外角，$\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x.\because ∠ AOB=3∠ D=3x$，
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$，即$∠ DOE=x=∠ D,\therefore DE=OE,\therefore DE=OB$
$\because ∠ AOB$是$△ BOD$的外角，$\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x.\because ∠ AOB=3∠ D=3x$，
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$，即$∠ DOE=x=∠ D,\therefore DE=OE,\therefore DE=OB$
