8 如图,在等腰直角三角形 A B C 中,$AB=AC=2$,D 是边 A C 上的一个动点,连接 B D,以 A D 为直径的圆交 B D 于点 E,则 C E 长的最小值为.

8. $\sqrt{5}-1$ 【解析】连接 $A E$. 由 $A D$ 为某圆的直径, 得 $∠ A E D=$$90°$, 则 $∠ A E B=90°$, 此时出现 “定边 $(A B)$ 对直角 $(∠ A E B)$ ”模型, $\therefore$ 点 $E$ 始终在以 $A B$ 为直径的圆上运动. 取 $A B$ 的中点 $M$, 连接 $C M$, 与圆的交点即为满足题意的点 $E$, 此时 $C E$ 的长取得最小值$\sqrt{5}-1 .$

9 [2025 海南]如图,E 是$□ ABCD$ 内一动点,且$∠ AEB=90°,AB=4,BC=7.$
(1) $△ AEB$ 面积的最大值为.
(2) 连接 $CE$,分别取 $CD,CE$ 的中点 $M,N$,连接 $MN$.若$∠ BAD=120°$,则线段 $MN$ 长的最小值为.

9. (1) 4 (2) $\frac{\sqrt{67}-2}{2}$ 【解析】(1) $\because E$ 是 $□ A B C D$ 内一动点,且 $∠ A E B=90°, \therefore$ 点 $E$ 的运动路径为以 $A B$ 为直径的半圆. 设 $A B$的中点为 $O$, 连接 $O E$. 当 $O E ⊥ A B$ 时, $△ A E B$ 的面积取得最大值.$\because O E=O A=O B=\frac{1}{2} A B=2, \therefore △ A E B$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2} A B ·$$O E=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$. (2) 如图, 连接 $D E . \because C D, C E$ 的中点为 $M, N$, $\therefore M N=\frac{1}{2} D E, \therefore$ 当 $D E$ 最短时, $M N$ 的长取得最小值. 由 (1), 知点 $E$ 的运动轨迹为以 $A B$ 为直径的半圆, 连接 $O D$, 交半圆于点 $E$, 此时 $D E$ 最短, 过点 $O$ 作 $O F ⊥ A D$, 交 $D A$ 的延长线于点 $F$. $\because ∠ B A D=120°, \therefore ∠ O A F=60°, \therefore$ 在 Rt$△ O F A$ 中, $∠ A O F=$$30°, \therefore A F=\frac{1}{2} O A=1, O F=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}, \therefore D F=A D+A F=$$B C+A F=8, \therefore$ 在 Rt$△ O F D$ 中, $O D=\sqrt{8^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{67}$, $\therefore D E=O D-O E=\sqrt{67}-2, \therefore$ 线段 $M N$ 长的最小值为 $\frac{1}{2} D E=$$\frac{\sqrt{67}-2}{2}$.

10 如图,以点$G(0,1)$为圆心、2 为半径的圆与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于$C,D$两点,$E$为$\odot G$上一动点,$CF ⊥ AE$于点$F$. 当点$E$从点$B$出发按顺时针方向运动到点$D$时,求点$F$所经过的路径长.

10. 如图, 连接 $A C . \because C F ⊥ A E, \therefore ∠ A F C=90°, \therefore$ 图中出现了“定边 $(A C)$ 对直角 $(∠ A F C)$ ”模型, $\therefore$ 点 $F$ 的运动路径为以 $A C$ 为直径的半圆. 当点 $E$ 运动到点 $B$ 时, $C O ⊥ A E$, 此时点 $F$ 与点 $O$ 重合; 当点 $E$ 运动到点 $D$ 时, $C A ⊥ A E$, 此时点 $F$ 与点 $A$ 重合, $\therefore$ 当点 $E$ 从点 $B$ 出发按顺时针方向运动到点 $D$ 时, 点 $F$ 所经过的路径长是 $\overgroup{A O}$的长. 连接 $A G . \because$ 点 $G$ 的坐标为 $(0,1), \therefore O G=1 . \because A G=C G=2$, $\therefore$ 在 Rt$△ A O G$ 中, $A O=\sqrt{A G^{2}-O G^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}, \therefore$ 在Rt$△ A O C$ 中, $A C=\sqrt{A O^{2}+O C^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(2+1)^{2}}=2 \sqrt{3}$. 取 $A C$ 的中点 $H$, 连接 $O H$, 则在 Rt$△ A O C$ 中, $O H=\frac{1}{2} A C=\sqrt{3}$. $\therefore A H=O H=A O=\sqrt{3}$, 即 $△ A H O$ 为等边三角形, $\therefore ∠ A H O=$$60°, \therefore \overgroup{A O}$ 的长为 $\frac{60 π ×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3} π}{3}, \therefore$ 当点 $E$ 从点 $B$ 出发按顺时针方向运动到点 $D$ 时, 点 $F$ 所经过的路径长为 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

11 如图,$B$是线段$AC$的中点,过点$C$的直线$l$与$AC$成$60°$的角,在直线$l$上取一点$P$,使得$∠ APB=30°$,则满足条件的点$P$的个数是（）

A.3
B.2
C.1
D.0

11. B

12 如图,在等边三角形 ABC 中,$AB=6$,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且$BD=CE$,连接 AD,BE交于点 F,连接 CF,求 CF 长的最小值.

12. $\because △ A B C$ 是等边三角形, $A B=6, \therefore A B=B C=A C=6$,$∠ A B D=∠ B C E=60°$. 在 $△ A B D$ 和 $△ B C E$ 中, $\begin{cases}A B=B C, \\ ∠ A B D=∠ B C E, \\ B D=C E,\end{cases}$$\therefore △ A B D ≌ △ B C E, \therefore ∠ B A D=∠ C B E . \because ∠ A F B$ 是 $△ B D F$ 的一个外角, $\therefore ∠ A F B=∠ C B E+∠ A D B=∠ B A D+∠ A D B . \because$ 在 $△ A B D$ 中, $∠ B A D+∠ A D B=180°-∠ A B D=120°, \therefore ∠ A F B=$$120°, \therefore$ 点 $F$ 的运动路径是以点 $O$ 为圆心的如图所示的 $\overgroup{A B}$, 且 $∠ A O B=2(180°-∠ A F B)=120°$. 连接 $O A, O B, O C, O F . \because O A=$$O B, A C=B C, O C=O C, \therefore △ A O C ≌ △ B O C(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ O A C=$$∠ O B C, ∠ A C O=∠ B C O=30° . \because$ 四边形 $O B C A$ 的内角和为 $360°$, $∠ A O B+∠ A C B=120°+60°=180°, \therefore ∠ O B C=90°, \therefore$ 在 Rt$△ O B C$ 中, 易得 $O B=\frac{1}{2} O C$. 由勾股定理, 得 $O B^{2}+B C^{2}=O C^{2}$,即 $O B^{2}+6^{2}=(2 O B)^{2} . \therefore O B=2 \sqrt{3}$, 此时 $O F=O B=2 \sqrt{3}, O C=$$2 O B=4 \sqrt{3} . \because$ 点 $F$ 在 $\overgroup{A B}$ 上运动, 总有 $C F ≥ O C-O F$, 即 $C F ≥$$2 \sqrt{3}, \therefore$ 当 $O, F, C$ 三点共线时, $C F$ 的长取得最小值, 为 $2 \sqrt{3}$