提优目标 1. 能说明等腰三角形是轴对称图形. 2. 会解释等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)三线合一性质. 3. 利用等腰三角形的性质进行计算与说理.
电子错题本

证明：
1. 说明等腰三角形是轴对称图形：
在等腰△ABC中，AB=AC，取底边BC的中点D，连接AD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS）
将△ABC沿直线AD折叠，AB与AC完全重合，点B与点C重合，因此等腰三角形是轴对称图形，底边中线所在直线是它的对称轴。
2. 解释性质1：等边对等角
已知：在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\AD=AD\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
∴∠B=∠C，即等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
3. 解释性质2：三线合一性质
已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线
求证：AD平分∠BAC，AD⊥BC
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC
同理可证：当AD为等腰三角形底边上的高时，AD同时是顶角平分线和底边中线；当AD为等腰三角形顶角平分线时，AD同时是底边中线和底边上的高。
因此等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，简称“三线合一”。

1. 教材P44练习T1·变式（2023·宿迁中考）若等腰三角形有一个内角为$110^{\circ }$,则这个等腰三角形的底角是（）.

A.$70^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$50^{\circ }$

1. C [解析]当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角度数为$\frac{180°-110°}{2}=35°$. 故选C.
归纳总结 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键.

2. 教材P49习题T1·变式 已知等腰三角形的周长为21,其中一边长为5,则该等腰三角形的底边长是().

A.5
B.8
C.11
D.5或11

2. A [解析]当腰长为5时，底边长为21-2×5=11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；当底边长为5时，腰长为(21-5)÷2=8，三角形的三边长为8，8，5，能构成等腰三角形. 所以等腰三角形的底边长为5. 故选A.
易错警示 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系. 已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，再进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

3. (2025·无锡江阴期中)等腰三角形的两边长分别是3和6,那么这个三角形的周长是.

3. 15 [解析]①若3为腰长，6为底边长，由于3+3=6，则三角形不存在；
②若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为6+6+3=15.

4. (2025·苏州草桥中学期中) 如图，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$. 求 $∠ ADC$ 的度数.

4. $\because AB=AC,∠ BAC=120°,$
$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°.$
$\because AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$,
$\therefore AD=BD,\therefore ∠ BAD=∠ B=30°,$
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=30°+30°=60°.$

5. 教材 P44 例 2·变式 (2025·苏州张家港二中月考)如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$DE// BC$，$EB$平分$∠ DEC$.
(1)求证:$BC=CE$;
(2)若$CE=AB$，$EA=EB$，求$∠ C$的度数.

5. (1)$\because EB$ 平分$∠ DEC,\therefore ∠ DEB=∠ BEC.$
$\because DE// BC,\therefore ∠ DEB=∠ EBC,$
$\therefore ∠ BEC=∠ EBC,\therefore BC=CE.$
(2)$\because BC=CE,CE=AB,$
$\therefore BC=AB,\therefore ∠ C=∠ A.$
设$∠ C=∠ A=x,$
$\because EA=EB,\therefore ∠ ABE=∠ A=x,$
$\therefore ∠ EBC=∠ BEC=∠ A+∠ ABE=2x,$
$\therefore 2x+2x+x=180°,\therefore ∠ C=x=36°.$

6. (2024·苏州期中) 如图, 在等腰三角形 $ABC$ 中,
$AB=AC,D$ 为 $BC$ 延长线上一点, $EC ⊥ AC$
且 $AC=CE$, 垂足为 $C$, 连接 $BE$, 若 $BC=12$,
则 $△ BCE$ 的面积为().

A.$\dfrac{9}{2}$
B.9
C.18
D.36

6. D [解析]如图，过点 A 作 $AH⊥ BC$ 于点 H，过点 E 作 $EF⊥ BC$ 于点 F.
在$△ ABC$中，$\because AB=AC,\therefore BH=HC.$
$\because ∠ ACE=90°,\therefore ∠ ACH+∠ ECF=90°.$
$\because ∠ CAH+∠ ACH=90°,\therefore ∠ ECF=∠ CAH.$
在$△ ACH$与$△ CEF$中，$\begin{cases}∠ AHC=∠ CFE=90°,\\∠ CAH=∠ ECF,\\AC=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ACH≌ △ CEF(\mathrm{AAS}),\therefore EF=CH=\frac{1}{2}BC=6,$
$\therefore △ BCE$ 的面积$=\frac{1}{2}BC· EF=\frac{1}{2}×12×6=36.$
故选 D.

7.(连云港宁海中学自主招生)如图，$△ ABC$ 的三条高相交于点 $G$,$CH$ 是角平分线，已知$∠ ABC=45^{\circ },∠ ACD=60^{\circ }$，则图中的等腰三角形共有().

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

7. D [解析]①$\because AD⊥ BC,∠ ABC=45°,$
$\therefore △ ABD$ 是等腰三角形；
②$\because CF⊥ AB,∠ ABC=45°,$
$\therefore △ BCF$ 是等腰三角形；
③$\because ∠ ACB=60°,\therefore ∠ CBE=90°-60°=30°.$
$\because CH$ 是角平分线，
$\therefore ∠ BCH=∠ ACH=\frac{1}{2}∠ ACB=30°,$
$\therefore ∠ CBI=∠ ICB,\therefore △ BCI$ 是等腰三角形；
④$\because ∠ ACB=60°,\therefore ∠ CAD=90°-60°=30°,$
$\therefore ∠ ACJ=∠ CAJ=30°,$
$\therefore △ ACJ$ 是等腰三角形；
⑤$\because ∠ ACF=60°-45°=15°,$
$\therefore ∠ CAF=90°-15°=75°,$
$\because ∠ AHC=∠ ABC+∠ BCH=45°+30°=75°,$
$\therefore ∠ CAH=∠ CHA=75°.$
$\therefore △ ACH$ 是等腰三角形；
⑥$\because ∠ GCD=∠ DGC=45°,$
$\therefore △ CDG$ 是等腰三角形；
⑦$\because ∠ GIJ=∠ EBC+∠ HCB=30°+30°=60°,$
$∠ GJI=∠ CJD=90°-30°=60°,$
$\therefore ∠ GIJ=∠ GJI=60°,$
$\therefore △ GIJ$ 是等腰三角形；
⑧$△ AFG$ 是等腰三角形.
综上分析，题图中等腰三角形共有8个：$△ ABD,△ BCF,△ BCI,△ ACJ,△ ACH,△ CDG,△ GIJ,△ AFG.$ 故选 D.

8. (2023·锦州中考)如图,在$△ ABC$中,$BC$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,连接$CE$.若$CE=CA$,$∠ ACE=40^{ \circ }$,则$∠ B$的度数为.

8. 35° [解析]$\because CE=AC,\therefore ∠ A=∠ AEC.$
$\because ∠ A+∠ AEC+∠ ACE=180°,∠ ACE=40°,$
$\therefore ∠ AEC=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.$
$\because DE$ 是 $BC$ 的垂直平分线，
$\therefore BE=CE,\therefore ∠ B=∠ BCE.$
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BCE,\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AEC=35°.$

9. (南师附中特长生) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $A B=A C$, $A D=A E, ∠ B A D=40°$, 则 $∠ E D C=$.

9. 20° [解析]因为 $AB=AC$，所以$∠ B=∠ C.$
设$∠ EDC=x,∠ B=∠ C=y,$
则$∠ AED=∠ EDC+∠ C=x+y.$
因为 $AD=AE$，所以$∠ ADE=∠ AED=x+y,$
所以$∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC=2x+y.$
又$∠ ADC=∠ B+∠ BAD,$
所以 $2x+y=y+40$，解得 $x=20°,$
所以$∠ EDC$ 的度数是 $20°.$

10. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为.

10. 36°或45° [解析]分两种情况讨论：
①如图(1)，在$△ ABC$中，$AB=AC,BD=AD,AC=CD,$
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ BAD,∠ CDA=∠ CAD.$
$\because ∠ CDA=∠ B+∠ BAD=2∠ B,$
$\therefore ∠ CAB=∠ CAD+∠ BAD=3∠ B.$
$\because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°,$
$\therefore 5∠ B=180°,\therefore ∠ B=36°.$

②如图(2)，在$△ ABC$中，$AB=AC,AD=BD=CD,$
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DAC=∠ DAB,$
$\therefore ∠ BAC=2∠ B. \because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°,$
$\therefore 4∠ B=180°,\therefore ∠ B=45°.$