名师指导
90°含45°
（三角形）

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，AB=AC,∠DAE=45°；
结论：① △BAD ≌ △CAG；② △DAE ≌ △GAE；
③∠ECG=90°
90°含45°
（四边形）
已知：正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°
结论：①△ADF≌△ABG；②△AFE≌△AGE；③EF=BE+FD；④△EFC的周长=2AD；⑤EA平分∠BEF，FA平分∠DFE
60°含30°
已知：△ABC是等边三角形，∠EAD=30°
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；
③∠ECF=120°
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一、证明90°含45°（三角形）结论
证明：
① 将△BAD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到△CAG，可得AD=AG，∠BAD=∠CAG。
在△BAD和△CAG中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠CAG \\AD=AG\end{cases}$
∴ $△ BAD ≌ △ CAG$（SAS）。
② ∵ ∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴ ∠BAD + ∠EAC = 90°-45°=45°，
∴ ∠GAE = ∠CAG + ∠EAC = ∠BAD + ∠EAC = 45°，即∠DAE=∠GAE。
在△DAE和△GAE中：
$\begin{cases}AD=AG \\∠DAE=∠GAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ $△ DAE ≌ △ GAE$（SAS）。
③ ∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴ ∠B=∠ACB=45°，
由$△ BAD ≌ △ CAG$得∠ACG=∠B=45°，
∴ ∠ECG = ∠ACB + ∠ACG = 45°+45°=90°。
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二、证明90°含45°（四边形）结论
证明：
① 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG，可得AF=AG，∠DAF=∠BAG，点G、B、E共线。
在△ADF和△ABG中：
$\begin{cases}AD=AB \\∠DAF=∠BAG \\AF=AG\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ ABG$（SAS）。
② ∵ ∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴ ∠BAE + ∠DAF = 90°-45°=45°，
∴ ∠GAE = ∠BAG + ∠BAE = ∠DAF + ∠BAE = 45°，即∠FAE=∠GAE。
在△AFE和△AGE中：
$\begin{cases}AF=AG \\∠FAE=∠GAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ $△ AFE ≌ △ AGE$（SAS）。
③ 由$△ AFE ≌ △ AGE$得EF=GE，
又GE=BE+BG，由$△ ADF ≌ △ ABG$得BG=FD，
∴ EF=BE+FD。
④ $△ EFC$的周长 = EF + EC + FC，
代入EF=BE+FD得：
周长 = BE + FD + EC + FC = (BE+EC) + (FD+FC) = BC + CD，
正方形ABCD中BC=CD=AD，
∴ $△ EFC$的周长 = AD + AD = 2AD。
⑤ 由$△ AFE ≌ △ AGE$得∠AEF=∠AEG，即EA平分∠BEF；
由$△ AFE ≌ △ AGE$得∠AFE=∠AGF，结合$△ ADF ≌ △ ABG$得∠AGF=∠AFD，
∴ ∠AFE=∠AFD，即FA平分∠DFE。
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三、证明60°含30°结论
证明：
① 将△BDA绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，得到△CFA，可得AD=AF，∠BAD=∠CAF。
在△BDA和△CFA中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠CAF \\AD=AF\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ CFA$（SAS）。
② ∵ ∠BAC=60°，∠EAD=30°，
∴ ∠BAD + ∠EAC = 60°-30°=30°，
∴ ∠EAF = ∠CAF + ∠EAC = ∠BAD + ∠EAC = 30°，即∠DAE=∠FAE。
在△DAE和△FAE中：
$\begin{cases}AD=AF \\∠DAE=∠FAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ $△ DAE ≌ △ FAE$（SAS）。
③ ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠ACB=60°，
由$△ BDA ≌ △ CFA$得∠ACF=∠B=60°，
∴ ∠ECF = ∠ACB + ∠ACF = 60°+60°=120°。

1. (重庆中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于 ()

A.$2α$
B.$90° - 2α$
C.$45° - α$
D.$90° - α$

1.A

2. (2025·南京月考)如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M,N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为 ()

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随x,m,n的值而定

2.C

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC= ∠ ACB=45°$,$D$,$E$是斜边$BC$上两点,且$∠ DAE=45°$,若$BD=3$,$CE=4$,$S_{△ ADE}=15$,则$△ ABD$与$△ AEC$的面积之和为（）

A.36
B.21
C.30
D.22

3.B