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6.小明为了自家花园用水方便,设计了一个自动储水水箱,其结构如图所示。底面积为$0.01\ \mathrm{m}^2$,高为1 m的浮体A(不吸水)通过一轻质细杆与力传感器相连,浮体A的底面与水箱底的距离为0.1 m,柱形薄壁水箱的底面积为$1\ \mathrm{m}^2$。当水箱内水位低于最低水位线$a$时,注水系统自动往水箱内注水;当水位到达0.6 m时,轻质细杆对力传感器的作用力恰好为0;当水位到达最高水位线$b$时,注水系统停止注水。当水位位于$a$、$b$水位线时,轻质细杆对力传感器的作用力大小均为40 N。($g$取$10\ \mathrm{N/kg}$,$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)求:
(1)浮体A的重力。
(2)当水位位于最低水位线$a$时,水对浮体A底面的压强。
(3)当水位位于最高水位线$b$时,水箱内水的质量。
(1)浮体A的重力。
(2)当水位位于最低水位线$a$时,水对浮体A底面的压强。
(3)当水位位于最高水位线$b$时,水箱内水的质量。
答案
(1)当水位到达0.6 m时,轻质细杆对力传感器的作用力恰好为0,此时浮体A受到的重力和浮力大小相等、方向相反,是一对平衡力;此时浮体A排开水的体积$V_{排}=S_A h=0.01\ \mathrm{m}^2×(0.6\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m})=0.005\ \mathrm{m}^3$;浮体A受到的浮力$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.005\ \mathrm{m}^3=50\ \mathrm{N}$;浮体A的重力$G=F_{浮}=50\ \mathrm{N}$
(2)当水位位于a水位线时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A的浮力小于重力,轻质细杆受到浮体A向下的拉力$F=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_{浮}'=G-F=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$;浮体A受到的浮力等于浮体上下底面受到的压力差,浮体A上底面在水面上,上底面受到的压力为0,因此水对浮体A底面的压力$F'=F_{浮}'=10\ \mathrm{N}$,水对浮体A底面的压强$p=\frac{F'}{S_A}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2}=1\ 000\ \mathrm{Pa}$
(3)当水位位于最高水位线b时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A受到的浮力大于重力,轻质细杆受到浮体A向上的压力$F''=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_{浮}''=G+F''=50\ \mathrm{N}+40\ \mathrm{N}=90\ \mathrm{N}$,浮体A浸入液体的体积$V_{排}''=\frac{F_{浮}''}{\rho_{水}g}=\frac{90\ \mathrm{N}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.009\ \mathrm{m}^3$;浮体A浸入液体的长度$l=\frac{V_{排}''}{S_A}=\frac{0.009\ \mathrm{m}^3}{0.01\ \mathrm{m}^2}=0.9\ \mathrm{m}$,水箱内水的深度$h'=0.9\ \mathrm{m}+0.1\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$,水箱内水的体积$V_{水}=Sh'-V_{排}''=1\ \mathrm{m}^2×1\ \mathrm{m}-0.009\ \mathrm{m}^3=0.991\ \mathrm{m}^3$,水箱内水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.991\ \mathrm{m}^3=991\ \mathrm{kg}$
(2)当水位位于a水位线时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A的浮力小于重力,轻质细杆受到浮体A向下的拉力$F=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_{浮}'=G-F=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$;浮体A受到的浮力等于浮体上下底面受到的压力差,浮体A上底面在水面上,上底面受到的压力为0,因此水对浮体A底面的压力$F'=F_{浮}'=10\ \mathrm{N}$,水对浮体A底面的压强$p=\frac{F'}{S_A}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2}=1\ 000\ \mathrm{Pa}$
(3)当水位位于最高水位线b时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A受到的浮力大于重力,轻质细杆受到浮体A向上的压力$F''=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_{浮}''=G+F''=50\ \mathrm{N}+40\ \mathrm{N}=90\ \mathrm{N}$,浮体A浸入液体的体积$V_{排}''=\frac{F_{浮}''}{\rho_{水}g}=\frac{90\ \mathrm{N}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.009\ \mathrm{m}^3$;浮体A浸入液体的长度$l=\frac{V_{排}''}{S_A}=\frac{0.009\ \mathrm{m}^3}{0.01\ \mathrm{m}^2}=0.9\ \mathrm{m}$,水箱内水的深度$h'=0.9\ \mathrm{m}+0.1\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$,水箱内水的体积$V_{水}=Sh'-V_{排}''=1\ \mathrm{m}^2×1\ \mathrm{m}-0.009\ \mathrm{m}^3=0.991\ \mathrm{m}^3$,水箱内水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.991\ \mathrm{m}^3=991\ \mathrm{kg}$
7.一辆汽车行驶在一段长度为15 km 的直桥上，已知:汽车的总质量为1.5 t(包括车、车上的人和物品等)，轮胎与地面的总接触面积为0.2 m²，汽车以90 km/h 的速度匀速通过大桥，行驶过程中受到的阻力为900 N。(g 取10 N/kg)求：
(1)汽车静止在水平地面时对地面的压强。
(2)此过程中汽车牵引力所做的功。
(3)此过程中汽车牵引力做功的功率。
(1)汽车静止在水平地面时对地面的压强。
(2)此过程中汽车牵引力所做的功。
(3)此过程中汽车牵引力做功的功率。
答案
(1)汽车重力$G=mg=1.5×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1.5×10^4\ \mathrm{N}$,汽车静止时对地面的压强$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{1.5×10^4\ \mathrm{N}}{0.2\ \mathrm{m}^2}=7.5×10^4\ \mathrm{Pa}$
(2)因为汽车匀速通过大桥,所以牵引力$F=f=900\ \mathrm{N}$,牵引力所做的功$W=Fs=900\ \mathrm{N}×1.5×10^4\ \mathrm{m}=1.35×10^7\ \mathrm{J}$
(3)汽车牵引力做功的功率$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv=900\ \mathrm{N}×\frac{90}{3.6}\ \mathrm{m/s}=2.25×10^4\ \mathrm{W}$
(2)因为汽车匀速通过大桥,所以牵引力$F=f=900\ \mathrm{N}$,牵引力所做的功$W=Fs=900\ \mathrm{N}×1.5×10^4\ \mathrm{m}=1.35×10^7\ \mathrm{J}$
(3)汽车牵引力做功的功率$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv=900\ \mathrm{N}×\frac{90}{3.6}\ \mathrm{m/s}=2.25×10^4\ \mathrm{W}$
