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4.如图所示,在容器底部固定一轻质弹簧,弹簧上端连有一边长为0.1 m 的正方体物块 A,当容器中水的深度为 30 cm 时,物块 A 体积的$\frac{3}{5}$露出水面,此时弹簧恰好处于自然伸长状态。($\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3,g$取 10 N/kg)求:
(1)物块 A 受到的浮力。
(2)物块 A 的密度。
(3)往容器内缓慢加水,至物块 A 刚好浸没水中,立即停止加水,此时弹簧对木块 A 的作用力 F。
(1)物块 A 受到的浮力。
(2)物块 A 的密度。
(3)往容器内缓慢加水,至物块 A 刚好浸没水中,立即停止加水,此时弹簧对木块 A 的作用力 F。
答案
(1)物块A的体积$V=(0.1\ \mathrm{m})^3=0.001\ \mathrm{m}^3$,则$V_{排}=V-V_{露}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×0.001\ \mathrm{m}^3=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,受到的浮力$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=4\ \mathrm{N}$
(2)因为弹簧恰好处于自然伸长状态,所以$F_{浮}=G$,$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV$,$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V}\rho_{水}=\frac{2}{5}×1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3)物块A刚好完全浸没水中,弹簧的弹力$F=F_{浮}-G=\rho_{水}gV-\rho_{物}gV=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-0.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=6\ \mathrm{N}$
(2)因为弹簧恰好处于自然伸长状态,所以$F_{浮}=G$,$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV$,$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V}\rho_{水}=\frac{2}{5}×1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3)物块A刚好完全浸没水中,弹簧的弹力$F=F_{浮}-G=\rho_{水}gV-\rho_{物}gV=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-0.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=6\ \mathrm{N}$
5.如图甲所示,将一重为8 N的物体A放在装有适量水的杯中,物体A漂浮于水面,浸入水中的体积占总体积的$\frac{4}{5}$,此时水面到杯底的距离为20 cm。如果将一小球B用体积和重力不计的细线系于A下方后,再轻轻放入该杯水中,静止时A上表面与水面刚好相平,如图乙所示。已知$\rho_{B}=1.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3,g$取10 N/kg,求:
(1)在甲图中杯壁上距杯底8 cm处O点受到水的压强。
(2)甲图中物体A受到的浮力。
(3)物体A的密度。
(4)小球B的体积。
(1)在甲图中杯壁上距杯底8 cm处O点受到水的压强。
(2)甲图中物体A受到的浮力。
(3)物体A的密度。
(4)小球B的体积。
答案
(1)O点的深度$h=20\ \mathrm{cm}-8\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}=0.12\ \mathrm{m}$,则$p_O=\rho_{水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.12\ \mathrm{m}=1\ 200\ \mathrm{Pa}$
(2)因为A漂浮在水中,所以$F_{浮}=G_A=8\ \mathrm{N}$
(3)根据$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$得,$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{8\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=8×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$;已知A浸入水中的体积占总体积的$\frac{4}{5}$,则物体A的体积$V_A=\frac{5}{4}V_{排}=\frac{5}{4}×8×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$;根据$G=mg=\rho Vg$可得A的密度$\rho_A=\frac{G_A}{V_Ag}=\frac{8\ \mathrm{N}}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(4)图乙中A、B共同悬浮,则$F_{浮A}+F_{浮B}=G_A+G_B$,根据$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$和$G=mg=\rho Vg$可得,$\rho_{水}g(V_A+V_B)=G_A+\rho_B g V_B$,所以$V_B=\frac{\rho_{水}gV_A-G_A}{(\rho_B-\rho_{水})g}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-8\ \mathrm{N}}{(1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3-1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3)×10\ \mathrm{N/kg}}=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
(2)因为A漂浮在水中,所以$F_{浮}=G_A=8\ \mathrm{N}$
(3)根据$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$得,$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{8\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=8×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$;已知A浸入水中的体积占总体积的$\frac{4}{5}$,则物体A的体积$V_A=\frac{5}{4}V_{排}=\frac{5}{4}×8×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$;根据$G=mg=\rho Vg$可得A的密度$\rho_A=\frac{G_A}{V_Ag}=\frac{8\ \mathrm{N}}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(4)图乙中A、B共同悬浮,则$F_{浮A}+F_{浮B}=G_A+G_B$,根据$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$和$G=mg=\rho Vg$可得,$\rho_{水}g(V_A+V_B)=G_A+\rho_B g V_B$,所以$V_B=\frac{\rho_{水}gV_A-G_A}{(\rho_B-\rho_{水})g}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-8\ \mathrm{N}}{(1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3-1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3)×10\ \mathrm{N/kg}}=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
