7. 如图,在四边形ABCD中,$∠A+∠B=150°$,E为AB的中点,连接DE,CE,$AD = 2$,$BC = 4$,则$S_{△ ADE} + S_{△ BCE} - S_{△ CDE} =$ .

7. 2 解析:如图,过点B作BK//AD,交DE的延长线于点K,连接CK,过点K作KQ⊥CB,交CB的延长线于点Q.所以∠A=∠KBE.因为E为AB的中点,所以AE=BE=1/2AB.因为∠AED=∠BEK,所以△ADE≌△BKE(ASA).所以DE=KE,BK=AD.所以S△CDE=S△CEK.又AD=2,所以BK=2.因为∠A+∠ABC=150°,所以∠CBK=∠ABC+∠KBE=150°.所以∠KBQ=180°−∠CBK=30°.所以KQ=1/2BK=1.因为BC=4,所以S△CBK=1/2BC·KQ=2.所以S△ADE+S△CBE−S△CDE=S△BKE+S△CBE−S△CEK=S△CBK=2.

8.【问题初探】
（1）数学课上，李老师提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，F是AC上一点，E是AB延长线上一点，连接EF，交BC于点D，且ED＝DF.求证：BE＝CF.
① 如图②，小东同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
② 如图③，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM//AC，交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论.
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；

【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答：如图④，在△ABC中，点E在边AB上，D是BC的中点，连接CE，AD相交于点N，且∠EAD＋∠ANC＝180°.求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图⑤，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED//AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，求线段AN、CN和AB之间的数量关系.

8. (1) 答案不唯一,如:选小东同学的解题思路.因为DE=DF,DM=DB,∠BDE=∠MDF,所以△BDE≌△MDF(SAS).所以BE=MF,∠DBE=∠DMF.所以180°−∠DBE=180°−∠DMF,即∠ABC=∠FMC.又AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,即∠ABC=∠C.所以∠FMC=∠C.过点F作FH⊥CM于点H,则∠FHM=∠FHC=90°.又FH=FH,所以△FMH≌△FCH(AAS).所以MF=CF,即BE=CF.
(2) 过点C作CP//AB,交AD的延长线于点P,则∠B=∠PCD.因为D是BC的中点,所以BD=CD.因为∠ADB=∠PDC,所以△ABD≌△PCD(ASA).所以∠EAD=∠CPN,AB=PC.因为∠EAD+∠ANC=180°,∠CNP+∠ANC=180°,所以∠EAD=∠CNP,即∠CNP=∠CPN.过点C作CK⊥PN于点K,则∠CKP=∠CKN.又CK=CK,所以△CKP≌△CKN(AAS).所以CN=CP,即AB=CN.
(3) 过点C作CQ//AB,交ED的延长线于点Q,则∠B=∠QCD,∠BEN=∠Q.因为BD=CD,所以△CDQ≌△BDE(AAS).所以CQ=BE.因为AF平分∠BAC,∠BAC=90°,所以∠CAF=∠BAF=1/2∠BAC=45°.因为ED//AF,所以∠CNQ=∠ANE=∠CAF=45°,∠BEN=∠BAF=45°,即∠Q=45°.所以∠CNQ=∠Q.同(2),得CN=CQ,所以CN=BE.同理,得AE=AN.又BE=AB+AE,所以CN=AB+AN.