1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB的平分线AE交CD于点E，连接BE。若BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（）

A.AB＞AD＋BC
B.AB＜AD＋BC
C.AB＝AD＋BC
D.无法确定

1. C 解析:在AB上取一点F,使AF=AD,连接EF,则∠AFE+∠BFE=180°.因为AE平分∠DAB,所以∠DAE=∠FAE.又AE=AE,所以△DAE≌△FAE(SAS).所以∠D=∠AFE.又AD//BC,所以∠C+∠D=180°,即∠BFE=∠C.又BE平分∠ABC,所以∠CBE=∠FBE.又BE=BE,所以△BCE≌△BFE(AAS).所以BC=BF.又AB=AF+BF,所以AB=AD+BC.

2. 已知在四边形ABCD中，$∠ BAD = α$，$∠ BCD = 180° - α$，BD平分$∠ ABC$.
（1）如图①，若$α = 90°$，则AD CD（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）问题解决：如图②，当$90° ＜ α ＜ 180°$时，求证：$AD=CD$；
（3）问题拓展：如图③，在等腰三角形ABC中，$∠ BAC = 100°$，BD平分$∠ ABC$，求证：$BD+AD=BC$.

2. (1) = 解析:因为∠BAD=α,∠BCD=180°−α,α=90°,所以∠BAD=∠BCD=90°.又BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.又BD=BD,所以△ABD≌△CBD(AAS).所以AD=CD.
(2) 如图①,过点D分别作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F,则∠DEA=∠DEB=∠DFC=∠DFB=90°,∠BAD+∠DAE=180°.因为BD平分∠EBF,所以由(1),得DE=DF.因为∠BAD+∠C=180°,所以∠DAE=∠C.所以△DEA≌△DFC(AAS).所以AD=CD.
(3) 如图②,过点A作AG⊥BC于点G,在BC上截取BK=BD,连接DK,则∠AGB=∠AGC=90°.因为AB=AC,AG=AG,所以Rt△ABG≌Rt△ACG(HL).所以∠ABC=∠C.又∠BAC=100°,所以∠ABC=∠C=1/2(180°−∠BAC)=40°.因为BD平分∠ABC,所以∠DBK=1/2∠ABC=20°.因为BD=BK,所以同理,得∠BKD=∠BDK=80°,即∠A+∠BKD=180°.由(2),得AD=DK.因为∠BKD=∠C+∠KDC,所以∠KDC=∠C=40°.过点K作KH⊥CD于点H,则∠KHC=∠KHD=90°.又KH=KH,所以△DKH≌△CKH(AAS).所以DK=CK,即AD=CK.所以BD+AD=BK+CK=BC.

3. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠DAB=∠DCB=90°,AC=3,则四边形ABCD的面积为（）

A.9
B.7.5
C.6
D.4.5
（第3题）

3. D 解析:延长CD到点E,使DE=BC,连接AE,则∠ADC+∠ADE=180°.因为∠DAB=∠DCB=90°,所以∠ADC+∠ABC=360°−∠DAB−∠DCB=180°,即∠ABC=∠ADE.又AB=AD,所以△ABC≌△ADE(SAS).所以AE=AC=3,S△ABC=S△ADE,∠BAC=∠DAE,即∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.所以∠CAE=∠DAB=90°.所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ADE+S△ACD=S△ACE=1/2AC·AE=4.5.

4. 如图，$∠ AOB=α(0°＜α＜60°)$，射线OA上有一点M，以OM为边在OA下方作等边三角形OMN，P为射线OB上一点.若$∠ MNP=α$，则$∠ OMP=$.

4. 30°或120°−α 解析:① 当点P位于MN左侧时,如图①.因为△OMN是等边三角形,所以MN=MO=ON,∠MON=∠MNO=∠OMN=60°.因为∠MNP=∠AOB=α,所以∠MON−∠AOB=∠MNO−∠MNP,即∠PON=∠PNO.过点P作PC⊥ON于点C,则∠PCO=∠PCN=90°.又PC=PC,所以△PCO≌△PCN(AAS).所以PO=PN.所以△MPO≌△MPN(SAS).所以∠OMP=∠NMP,即∠OMP=1/2∠OMN=30°;② 当点P位于MN右侧时,截取OQ=NP,连接MQ,如图②.易证△MOQ≌△MNP(SAS).所以MQ=MP,∠OMQ=∠NMP,即∠QMP=∠OMN=60°.所以△MPQ是等边三角形,即∠MPQ=60°.又∠AOB=α,所以∠OMP=180°−∠MPQ−∠AOB=120°−α.综上,∠OMP=30°或120°−α.

5. (2025·江苏扬州二模)如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，E是边AC上一点，连接BE，DE。若AE是△BDE的中线，DE = BC，∠C = 40°，则∠AED的度数是。

5. 40° 解析:延长CA到点F,使AF=AE,连接BF.因为AE是△BDE的中线,所以DA=BA.又∠DAE=∠BAF,所以△ADE≌△ABF(SAS).所以∠AED=∠F,DE=BF.又DE=BC,所以BF=BC.所以△BCF是等腰三角形,即∠C=∠F.又∠C=40°,所以∠AED=∠F=∠C=40°.

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=100°$，$D$为三角形内部一点且$∠ BDC=140°$，$E$为$BC$的中点，连接$AD$，$DE$，作$∠ FDC = ∠ EDC$，且$DF=2DE$，连接$CF$。当$∠ ADB=$时，$△ DFC$为直角三角形。

6. 130°或90° 解析:分类讨论如下:① 当∠DFC=90°时,如图①,延长DE到点G,使DG=2DE,连接CG,AF,则DE=GE.因为DF=2DE,所以DF=DG.又∠FDC=∠EDC,DC=DC,所以△DFC≌△DGC(SAS).所以CG=CF,∠G=∠DFC=90°,∠DCF=∠DCG.因为E是BC的中点,所以BE=CE.又∠BED=∠CEG,所以△BDE≌△CGE(SAS).所以∠BDE=∠G=90°,∠DBE=∠GCE,BD=CG,即BD=CF.因为∠BDC=140°,所以∠EDC=∠BDC−∠BDE=50°,即∠FDC=50°.所以∠DCG=∠DCF=40°,即∠FCG=80°.连接AE.又AE=AE,AB=AC,所以△ABE≌△ACE(SSS).所以∠ABC=∠ACB.又∠BAC=100°,所以∠ABC=∠ACB=1/2(180°−∠BAC)=40°.所以∠ABD+∠DBE=40°,∠ACF+∠GCE=∠FCG−∠ACB=40°.所以∠ABD=∠ACF.所以△ABD≌△ACF(SAS).所以∠BAD=∠CAF,AD=AF.所以∠DAF=∠BAC=100°.易得∠ADF=40°.所以∠ADB=360°−∠BDC−∠FDC−∠ADF=130°;② 当∠FDC=90°时,如图②,延长DE到点H,使DH=2DE,连接CH,AF.同①,得∠ADF=40°,所以∠ADB=360°−∠BDC−∠FDC−∠ADF=90°;③ 当∠FCD=90°时,易得此种情况不存在.综上,∠ADB的度数为130°或90°.