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1.若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + x - a^2 + 1 = 0$有一个根为0，
则$a$的值为 （
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$1$或$-1$
则$a$的值为 （
A
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$1$或$-1$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和方程根的性质：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0；其次，方程的根代入方程后等式成立。先将根$x=0$代入方程得到关于$a$的方程，解出$a$的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的解，即可得到答案。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：
因为方程$(a-1)x^2 + x - a^2 + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
2. 利用方程根的性质求$a$的可能值：
已知方程有一个根为0，将$x = 0$代入方程，得：
$(a - 1)×0^2 + 0 - a^2 + 1 = 0$，化简得$-a^2 + 1 = 0$，即$a^2 = 1$，解得$a = 1$或$a = -1$。
3. 结合一元二次方程的条件筛选：
由步骤1知$a ≠ 1$，所以舍去$a = 1$，仅保留$a = -1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的应用，关键是注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免直接取方程根的解而忽略定义要求，属于基础题型，需细心审题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和方程根的性质：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0；其次，方程的根代入方程后等式成立。先将根$x=0$代入方程得到关于$a$的方程，解出$a$的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的解，即可得到答案。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：
因为方程$(a-1)x^2 + x - a^2 + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
2. 利用方程根的性质求$a$的可能值：
已知方程有一个根为0，将$x = 0$代入方程，得：
$(a - 1)×0^2 + 0 - a^2 + 1 = 0$，化简得$-a^2 + 1 = 0$，即$a^2 = 1$，解得$a = 1$或$a = -1$。
3. 结合一元二次方程的条件筛选：
由步骤1知$a ≠ 1$，所以舍去$a = 1$，仅保留$a = -1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的应用，关键是注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免直接取方程根的解而忽略定义要求，属于基础题型，需细心审题。
【难度系数】
0.7
2. (2024·杭州市钱塘区期末)已知关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$的常数项为0,则$k$的值为 (
A.$-2$
B.$2$
C.$2$或$-2$
D.$4$或$-2$
A
)A.$-2$
B.$2$
C.$2$或$-2$
D.$4$或$-2$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这个问题，需同时满足两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是它的常数项为0。首先根据常数项为0求出k的可能取值，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不能为0）排除不符合的取值，最终确定k的值。
【解析】
解：根据题意，方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$满足两个条件：
1. 常数项为0：即$k^2 - 4 = 0$，解得$k = 2$或$k = -2$；
2. 是一元二次方程：二次项系数不能为0，即$k - 2 ≠ 0$，得$k ≠ 2$；
综合两个条件，排除$k=2$，因此$k=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、常数项的取值
【点评】
本题考查一元二次方程的基本概念，易忽略“二次项系数不为0”的隐含条件，属于基础题，需注意细节。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需同时满足两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是它的常数项为0。首先根据常数项为0求出k的可能取值，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不能为0）排除不符合的取值，最终确定k的值。
【解析】
解：根据题意，方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$满足两个条件：
1. 常数项为0：即$k^2 - 4 = 0$，解得$k = 2$或$k = -2$；
2. 是一元二次方程：二次项系数不能为0，即$k - 2 ≠ 0$，得$k ≠ 2$；
综合两个条件，排除$k=2$，因此$k=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、常数项的取值
【点评】
本题考查一元二次方程的基本概念，易忽略“二次项系数不为0”的隐含条件，属于基础题，需注意细节。
【难度系数】
0.6
3. 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根分别为$x_1,x_2$，记$M_1 = x_1 + 2024x_2$，$M_2 = x_1^2 + 2024x_2^2$，…，$M_n = x_1^n + 2024x_2^n$，则$aM_{2025} + bM_{2024} + cM_{2023}$的值为 （
A.$0$
B.$2023$
C.$2024$
D.$2025$
A
）A.$0$
B.$2023$
C.$2024$
D.$2025$
答案
3.A 【解析】因为关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根分别为$x_1, x_2$，所以$ax_1^2 + bx_1 + c = 0, ax_2^2 + bx_2 + c = 0$，所以$aM_{2025} + bM_{2024} + cM_{2023}= a(x_1^{2025} + 2024x_2^{2025}) + b(x_1^{2024} + 2024x_2^{2024}) + c(x_1^{2023} + 2024x_2^{2023})= x_1^{2023}(ax_1^2 + bx_1 + c) + 2024x_2^{2023}(ax_2^2 + bx_2 + c)= 0 + 0 = 0$。
解析
【分析】
本题核心是利用一元二次方程根的性质解题。首先明确：若x是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，则x满足方程本身，即$ax^2 + bx + c = 0$。接下来，将所求式子根据$M_n$的定义展开，通过提取公因式拆分出关于$x_1$、$x_2$的项，再利用根的性质即可快速计算结果。
【解析】
因为$x_1$、$x_2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根，根据方程根的定义，可得：
$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$，$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$。
已知$M_n = x_1^n + 2024x_2^n$，代入所求式子：
$aM_{2025} + bM_{2024} + cM_{2023}$
$= a(x_1^{2025} + 2024x_2^{2025}) + b(x_1^{2024} + 2024x_2^{2024}) + c(x_1^{2023} + 2024x_2^{2023})$
$= (ax_1^{2025} + bx_1^{2024} + cx_1^{2023}) + 2024(ax_2^{2025} + bx_2^{2024} + cx_2^{2023})$
对每一组分别提取公因式：
$= x_1^{2023}(ax_1^2 + bx_1 + c) + 2024x_2^{2023}(ax_2^2 + bx_2 + c)$
将$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$、$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$代入，得：
$= x_1^{2023}×0 + 2024x_2^{2023}×0 = 0 + 0 = 0$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的定义，代数式化简求值
【点评】本题考查一元二次方程根的性质与代数式化简，关键是利用根的定义将高次幂项转化为满足方程的低次项，体现降次思想，属于基础题型。
【难度系数】0.5
本题核心是利用一元二次方程根的性质解题。首先明确：若x是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，则x满足方程本身，即$ax^2 + bx + c = 0$。接下来，将所求式子根据$M_n$的定义展开，通过提取公因式拆分出关于$x_1$、$x_2$的项，再利用根的性质即可快速计算结果。
【解析】
因为$x_1$、$x_2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根，根据方程根的定义，可得：
$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$，$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$。
已知$M_n = x_1^n + 2024x_2^n$，代入所求式子：
$aM_{2025} + bM_{2024} + cM_{2023}$
$= a(x_1^{2025} + 2024x_2^{2025}) + b(x_1^{2024} + 2024x_2^{2024}) + c(x_1^{2023} + 2024x_2^{2023})$
$= (ax_1^{2025} + bx_1^{2024} + cx_1^{2023}) + 2024(ax_2^{2025} + bx_2^{2024} + cx_2^{2023})$
对每一组分别提取公因式：
$= x_1^{2023}(ax_1^2 + bx_1 + c) + 2024x_2^{2023}(ax_2^2 + bx_2 + c)$
将$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$、$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$代入，得：
$= x_1^{2023}×0 + 2024x_2^{2023}×0 = 0 + 0 = 0$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的定义，代数式化简求值
【点评】本题考查一元二次方程根的性质与代数式化简，关键是利用根的定义将高次幂项转化为满足方程的低次项，体现降次思想，属于基础题型。
【难度系数】0.5
4.(1)若$t$是方程$-2x^2 + x + 9 = 0$的一个根,则$(t - 1)(2t + 1)$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
(2)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的一个根为$x = -2$,则代数式$6a - 3b + 2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
(2)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的一个根为$x = -2$,则代数式$6a - 3b + 2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
4.(1)8 (2)-7
解析
【分析】
第(1)问，已知t是一元二次方程的根，利用根的定义得到关于t的关系式，将所求代数式展开后，通过整体代入简化计算，无需直接求解t；第(2)问，将方程的根代入方程得到a与b的关系式，对所求代数式变形后用整体代入法求值，避免单独计算a、b的值。
【解析】
(1) 先展开所求代数式：
$(t - 1)(2t + 1) = 2t^2 + t - 2t - 1 = 2t^2 - t - 1$
因为t是方程$-2x^2 + x + 9 = 0$的根，代入得：
$-2t^2 + t + 9 = 0$，移项得$2t^2 - t = 9$
将$2t^2 - t = 9$代入展开后的代数式，得：
$9 - 1 = 8$
(2) 把$x = -2$代入方程$ax^2 + bx + 6 = 0$：
$a×(-2)^2 + b×(-2) + 6 = 0$，化简得$4a - 2b + 6 = 0$，进一步得$2a - b = -3$
对代数式$6a - 3b + 2$变形：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入，得：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
【答案】
(1)8 (2)-7
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题围绕一元二次方程根的定义展开，核心考查代数式的整体代入求值，无需求解方程的根，通过整体变形简化计算，属于基础题型，是一元二次方程章节的常见考法。
【难度系数】
0.6
第(1)问，已知t是一元二次方程的根，利用根的定义得到关于t的关系式，将所求代数式展开后，通过整体代入简化计算，无需直接求解t；第(2)问，将方程的根代入方程得到a与b的关系式，对所求代数式变形后用整体代入法求值，避免单独计算a、b的值。
【解析】
(1) 先展开所求代数式：
$(t - 1)(2t + 1) = 2t^2 + t - 2t - 1 = 2t^2 - t - 1$
因为t是方程$-2x^2 + x + 9 = 0$的根，代入得：
$-2t^2 + t + 9 = 0$，移项得$2t^2 - t = 9$
将$2t^2 - t = 9$代入展开后的代数式，得：
$9 - 1 = 8$
(2) 把$x = -2$代入方程$ax^2 + bx + 6 = 0$：
$a×(-2)^2 + b×(-2) + 6 = 0$，化简得$4a - 2b + 6 = 0$，进一步得$2a - b = -3$
对代数式$6a - 3b + 2$变形：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入，得：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
【答案】
(1)8 (2)-7
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题围绕一元二次方程根的定义展开，核心考查代数式的整体代入求值，无需求解方程的根，通过整体变形简化计算，属于基础题型，是一元二次方程章节的常见考法。
【难度系数】
0.6
5. 已知关于$x$的一元二次方程$(k + 1)x^2 - (3k + 1)x + 2k = 0$。
(1)求$k$的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况。
(2)若方程有一个根为$-2$，求$k$的值及方程的另一个根。
(3)若方程的一个根是另一个根的3倍，求$k$的值。
(1)求$k$的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况。
(2)若方程有一个根为$-2$，求$k$的值及方程的另一个根。
(3)若方程的一个根是另一个根的3倍，求$k$的值。
答案
5.(1)解:因为关于$x$的一元二次方程$(k+1)x^2-(3k+1)x+2k=0$,所以$k+1≠0$,所以$k≠-1$。而$Δ=[-(3k+1)]^2-4×2k(k+1)=k^2-2k+1=(k-1)^2≥0$,所以原方程有两个实数根。
(2)解:因为方程有一个根为$-2$,所以$4(k+1)+2(3k+1)+2k=0$,解得$k=-\frac{1}{2}$,所以一元二次方程为$\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-1=0$,所以$x^2+x-2=0$,所以$(x+2)(x-1)=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=1$,所以方程的另一个根为1。
(3)解:因为$(k+1)x^2-(3k+1)x+2k=0$,所以$[(k+1)x-2k](x-1)=0$,所以$(k+1)x-2k=0$,或$x-1=0$,解得$x_1=\frac{2k}{k+1}$,$x_2=1$。因为方程的一个根是另一个根的3倍,当$\frac{2k}{k+1}=3×1$时,解得$k=-3$,经检验,符合题意;当$3×\frac{2k}{k+1}=1$时,解得$k=\frac{1}{5}$,经检验,符合题意。综上所述,$k$的值为$-3$或$\frac{1}{5}$。
(2)解:因为方程有一个根为$-2$,所以$4(k+1)+2(3k+1)+2k=0$,解得$k=-\frac{1}{2}$,所以一元二次方程为$\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-1=0$,所以$x^2+x-2=0$,所以$(x+2)(x-1)=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=1$,所以方程的另一个根为1。
(3)解:因为$(k+1)x^2-(3k+1)x+2k=0$,所以$[(k+1)x-2k](x-1)=0$,所以$(k+1)x-2k=0$,或$x-1=0$,解得$x_1=\frac{2k}{k+1}$,$x_2=1$。因为方程的一个根是另一个根的3倍,当$\frac{2k}{k+1}=3×1$时,解得$k=-3$,经检验,符合题意;当$3×\frac{2k}{k+1}=1$时,解得$k=\frac{1}{5}$,经检验,符合题意。综上所述,$k$的值为$-3$或$\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 对于一元二次方程，需满足二次项系数不为0，据此确定k的取值范围；再计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断方程根的情况；
(2) 已知方程的一个根，将根代入原方程可求出k的值，再将k代入方程，解一元二次方程得到另一个根；
(3) 先对原方程因式分解，求出两个根，再根据“一个根是另一个根的3倍”分两种情况讨论，分别求解k并检验是否符合题意。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数k+1≠0，即k≠-1；
计算判别式Δ：Δ = [-(3k+1)]² - 4×(k+1)×2k = 9k²+6k+1 -8k²-8k =k²-2k+1=(k-1)²≥0，所以原方程有两个实数根；
(2) 将x=-2代入原方程：(k+1)×(-2)² - (3k+1)×(-2) +2k=0，展开得4k+4+6k+2+2k=0，合并得12k+6=0，解得k=-1/2；
将k=-1/2代入原方程：(1/2)x² + (1/2)x -1=0，两边乘2得x²+x-2=0，因式分解为(x+2)(x-1)=0，解得x₁=-2，x₂=1，故另一个根为1；
(3) 对原方程因式分解：(k+1)x²-(3k+1)x+2k=[(k+1)x-2k](x-1)=0，得根x₁=2k/(k+1)，x₂=1；
分两种情况：
① 当2k/(k+1)=3×1时，2k=3(k+1)，解得k=-3，此时k+1=-2≠0，符合题意；
② 当1=3×[2k/(k+1)]时，k+1=6k，解得k=1/5，此时k+1=6/5≠0，符合题意；
综上，k的值为-3或1/5；
【答案】
(1) k≠-1，方程有两个实数根；
(2) k=-1/2，方程的另一个根为1；
(3) k的值为-3或1/5；
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、因式分解法解一元二次方程；
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，涵盖了一元二次方程的定义、根的判别式、解方程及根的关系等核心知识点，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，以及分情况讨论的数学思想，整体难度适中；
【难度系数】
0.6
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 对于一元二次方程，需满足二次项系数不为0，据此确定k的取值范围；再计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断方程根的情况；
(2) 已知方程的一个根，将根代入原方程可求出k的值，再将k代入方程，解一元二次方程得到另一个根；
(3) 先对原方程因式分解，求出两个根，再根据“一个根是另一个根的3倍”分两种情况讨论，分别求解k并检验是否符合题意。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数k+1≠0，即k≠-1；
计算判别式Δ：Δ = [-(3k+1)]² - 4×(k+1)×2k = 9k²+6k+1 -8k²-8k =k²-2k+1=(k-1)²≥0，所以原方程有两个实数根；
(2) 将x=-2代入原方程：(k+1)×(-2)² - (3k+1)×(-2) +2k=0，展开得4k+4+6k+2+2k=0，合并得12k+6=0，解得k=-1/2；
将k=-1/2代入原方程：(1/2)x² + (1/2)x -1=0，两边乘2得x²+x-2=0，因式分解为(x+2)(x-1)=0，解得x₁=-2，x₂=1，故另一个根为1；
(3) 对原方程因式分解：(k+1)x²-(3k+1)x+2k=[(k+1)x-2k](x-1)=0，得根x₁=2k/(k+1)，x₂=1；
分两种情况：
① 当2k/(k+1)=3×1时，2k=3(k+1)，解得k=-3，此时k+1=-2≠0，符合题意；
② 当1=3×[2k/(k+1)]时，k+1=6k，解得k=1/5，此时k+1=6/5≠0，符合题意；
综上，k的值为-3或1/5；
【答案】
(1) k≠-1，方程有两个实数根；
(2) k=-1/2，方程的另一个根为1；
(3) k的值为-3或1/5；
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、因式分解法解一元二次方程；
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，涵盖了一元二次方程的定义、根的判别式、解方程及根的关系等核心知识点，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，以及分情况讨论的数学思想，整体难度适中；
【难度系数】
0.6
