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6. (2025·杭州市上城区期末)用配方法解方程$x^2 - 4x - 9 = 0$时，原方程应变形为（
A.$(x - 2)^2 = 13$
B.$(x - 2)^2 = 11$
C.$(x - 4)^2 = 11$
D.$(x - 4)^2 = 13$
A
）A.$(x - 2)^2 = 13$
B.$(x - 2)^2 = 11$
C.$(x - 4)^2 = 11$
D.$(x - 4)^2 = 13$
答案
6.A
解析
【分析】
要解决这道用配方法解方程的题目，需明确配方法的核心：将一元二次方程左边变形为完全平方式，右边化为常数。具体思路为：先把常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧构成完全平方式，最后整理结果并对应选项选出答案。
【解析】
用配方法解方程$x^2 - 4x - 9 = 0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 - 4x = 9$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-\frac{4}{2})^2 = 4$，给方程两边同时加4，得$x^2 - 4x + 4 = 9 + 4$；
3. 整理：左侧为完全平方式，即$(x - 2)^2 = 13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，直接考查配方法的基本操作步骤，只要牢记移项、配方的规则即可快速得出结果，属于基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这道用配方法解方程的题目，需明确配方法的核心：将一元二次方程左边变形为完全平方式，右边化为常数。具体思路为：先把常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧构成完全平方式，最后整理结果并对应选项选出答案。
【解析】
用配方法解方程$x^2 - 4x - 9 = 0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 - 4x = 9$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-\frac{4}{2})^2 = 4$，给方程两边同时加4，得$x^2 - 4x + 4 = 9 + 4$；
3. 整理：左侧为完全平方式，即$(x - 2)^2 = 13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，直接考查配方法的基本操作步骤，只要牢记移项、配方的规则即可快速得出结果，属于基础题。
【难度系数】
0.8
7. (2025·金华市永康市期末)用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为 (
A.$x^2=0$
B.$x^2-2=0$
C.$-x^2+2=0$
D.$x^2+2=0$
D
)A.$x^2=0$
B.$x^2-2=0$
C.$-x^2+2=0$
D.$x^2+2=0$
答案
7.D
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程时，需先将方程变形为$x^2 = a$的形式，再根据$a$的取值判断方程是否有解：若$a＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$a=0$，方程有一个实数根；若$a＜0$，方程无实数根。接下来逐个分析选项，将每个方程化为$x^2=a$的形式，判断$a$的正负即可找到无解的方程。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$x^2=0$，已为$x^2=a$形式，其中$a=0$，方程的解为$x=0$，有解；
选项B：$x^2 - 2 = 0$，移项得$x^2=2$，$a=2＞0$，方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，有解；
选项C：$-x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=2$，$a=2＞0$，方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，有解；
选项D：$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，$a=-2＜0$，因为任何实数的平方都不可能为负数，所以该方程无解。
综上，无解的方程为选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程的根的判定
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，核心是掌握$x^2=a$中参数$a$的取值与方程解的关系，属于基础题型，需准确变形方程并判断符号。
【难度系数】
0.3
用直接开平方法解一元二次方程时，需先将方程变形为$x^2 = a$的形式，再根据$a$的取值判断方程是否有解：若$a＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$a=0$，方程有一个实数根；若$a＜0$，方程无实数根。接下来逐个分析选项，将每个方程化为$x^2=a$的形式，判断$a$的正负即可找到无解的方程。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$x^2=0$，已为$x^2=a$形式，其中$a=0$，方程的解为$x=0$，有解；
选项B：$x^2 - 2 = 0$，移项得$x^2=2$，$a=2＞0$，方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，有解；
选项C：$-x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=2$，$a=2＞0$，方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，有解；
选项D：$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，$a=-2＜0$，因为任何实数的平方都不可能为负数，所以该方程无解。
综上，无解的方程为选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程的根的判定
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，核心是掌握$x^2=a$中参数$a$的取值与方程解的关系，属于基础题型，需准确变形方程并判断符号。
【难度系数】
0.3
8. (2024·湖州市吴兴区期末)在用求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了$a,b,c$得到$x=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$，则她求解的一元二次方程是 （
A.$2x^2 - 3x - 1 = 0$
B.$2x^2 + 4x - 1 = 0$
C.$-x^2 - 3x + 2 = 0$
D.$3x^2 - 2x + 1 = 0$
A
）A.$2x^2 - 3x - 1 = 0$
B.$2x^2 + 4x - 1 = 0$
C.$-x^2 - 3x + 2 = 0$
D.$3x^2 - 2x + 1 = 0$
答案
8.A
解析
【分析】首先回忆一元二次方程求根公式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。将题目中给出的求根代入式与公式对比，分别确定$a、b、c$的值，即可得到原方程。
【解析】根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，对比题目中的式子：
1. 分母为$2×2$，对应公式中的$2a$，因此$a=2$；
2. 分子中$-b=3$，因此$b=-3$；
3. 根号内部分为$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1)$，代入$a=2、b=-3$，解得$c=-1$；
因此原一元二次方程为$2x^2 - 3x -1=0$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程求根公式
【点评】本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是明确公式中$a、b、c$与方程系数的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，对比题目中的式子：
1. 分母为$2×2$，对应公式中的$2a$，因此$a=2$；
2. 分子中$-b=3$，因此$b=-3$；
3. 根号内部分为$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1)$，代入$a=2、b=-3$，解得$c=-1$；
因此原一元二次方程为$2x^2 - 3x -1=0$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程求根公式
【点评】本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是明确公式中$a、b、c$与方程系数的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
9. 对于实数$ m,n $，定义一种运算“$\bigotimes$”如下：$ m\bigotimes n=\begin{cases} m^2 + m + n, & \mathrm{当} \ m ≥ n \mathrm{时}, \\ n^2 + m + n, & \mathrm{当} \ m ＜ n \mathrm{时}, \end{cases} $
若$ x\bigotimes (-2)=10 $，则实数$ x $的值为\underline{\hspace{5cm}}。
若$ x\bigotimes (-2)=10 $，则实数$ x $的值为\underline{\hspace{5cm}}。
答案
9.3 【解析】分两种情况:当$x≥-2$时,因为$x\otimes(-2)=10$,所以$x^2+x-2=10$,解得$x_1=-4$(舍去),$x_2=3$;当$x＜-2$时,因为$x\otimes(-2)=10$,所以$(-2)^2+x-2=10$,解得$x=8$(舍去)。综上所述,实数$x$的值为3。
解析
【分析】本题是定义新运算的问题，需根据新运算的规则，分$x≥-2$和$x＜-2$两种情况讨论，分别代入对应的运算公式得到关于$x$的方程，解方程后要检验解是否满足当前的大小条件，舍去不符合的解，最终确定$x$的值。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$x≥-2$时，根据新运算定义，$x\bigotimes(-2)=x^2 + x + (-2)$，已知$x\bigotimes(-2)=10$，则：
$x^2 + x -2 =10$，整理得$x^2 +x -12=0$，因式分解为$(x+4)(x-3)=0$，解得$x=-4$或$x=3$。
因为此时前提是$x≥-2$，所以$x=-4$不符合，舍去，保留$x=3$。
2. 当$x＜-2$时，根据新运算定义，$x\bigotimes(-2)=(-2)^2 +x + (-2)$，已知$x\bigotimes(-2)=10$，则：
$4 +x -2=10$，化简得$x+2=10$，解得$x=8$。
因为此时前提是$x＜-2$，$x=8$不符合，舍去。
综上，实数$x$的值为3。
【答案】3
【知识点】定义新运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】本题考查定义新运算的应用，核心是理解新运算的规则并分情况讨论，解方程后需验证解是否满足对应条件，避免错解，属于基础题型，需细心审题。
【难度系数】0.6
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$x≥-2$时，根据新运算定义，$x\bigotimes(-2)=x^2 + x + (-2)$，已知$x\bigotimes(-2)=10$，则：
$x^2 + x -2 =10$，整理得$x^2 +x -12=0$，因式分解为$(x+4)(x-3)=0$，解得$x=-4$或$x=3$。
因为此时前提是$x≥-2$，所以$x=-4$不符合，舍去，保留$x=3$。
2. 当$x＜-2$时，根据新运算定义，$x\bigotimes(-2)=(-2)^2 +x + (-2)$，已知$x\bigotimes(-2)=10$，则：
$4 +x -2=10$，化简得$x+2=10$，解得$x=8$。
因为此时前提是$x＜-2$，$x=8$不符合，舍去。
综上，实数$x$的值为3。
【答案】3
【知识点】定义新运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】本题考查定义新运算的应用，核心是理解新运算的规则并分情况讨论，解方程后需验证解是否满足对应条件，避免错解，属于基础题型，需细心审题。
【难度系数】0.6
10. (2025·绍兴市柯桥区期末)用适当方法解方程:
(1)$x^2 - 4x + 3 = 0$；
(2)$(x - 1)(x + 3) = -2(x + 3)$。
(1)$x^2 - 4x + 3 = 0$；
(2)$(x - 1)(x + 3) = -2(x + 3)$。
答案
10.(1)解:将方程的左边分解因式,得$(x-3)(x-1)=0$,则$x-3=0$,或$x-1=0$,解得$x_1=3$,$x_2=1$。
(2)解:移项,得$(x-1)(x+3)+2(x+3)=0$。将方程的左边分解因式,得$(x-1+2)(x+3)=0$,即$(x+1)(x+3)=0$,则$x+1=0$,或$x+3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=-3$。
(2)解:移项,得$(x-1)(x+3)+2(x+3)=0$。将方程的左边分解因式,得$(x-1+2)(x+3)=0$,即$(x+1)(x+3)=0$,则$x+1=0$,或$x+3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=-3$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，优先选择简便的因式分解法，核心思路是将二次方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式，再令每个一次式为0，实现降次求解。第(1)题用十字相乘法分解二次三项式；第(2)题先移项，再提取公因式分解因式，进而求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x + 3 = 0$左边分解因式，得$(x - 3)(x - 1) = 0$，则$x - 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$。
(2) 移项，得$(x - 1)(x + 3) + 2(x + 3) = 0$，左边提取公因式$(x + 3)$，得$(x + 3)(x - 1 + 2) = 0$，即$(x + 3)(x + 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=1$；(2)$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】
本题是用因式分解法解一元二次方程的基础题型，考查学生对因式分解方法的掌握，体现了解一元二次方程“降次”的核心思想，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，优先选择简便的因式分解法，核心思路是将二次方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式，再令每个一次式为0，实现降次求解。第(1)题用十字相乘法分解二次三项式；第(2)题先移项，再提取公因式分解因式，进而求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x + 3 = 0$左边分解因式，得$(x - 3)(x - 1) = 0$，则$x - 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$。
(2) 移项，得$(x - 1)(x + 3) + 2(x + 3) = 0$，左边提取公因式$(x + 3)$，得$(x + 3)(x - 1 + 2) = 0$，即$(x + 3)(x + 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=1$；(2)$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】
本题是用因式分解法解一元二次方程的基础题型，考查学生对因式分解方法的掌握，体现了解一元二次方程“降次”的核心思想，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
