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23. (10分)(2025·杭州市钱塘区期末)如图,在正方形ABCD中,E为BC上一点(不与端点重合),延长BC至点F,使$CF=BE$,联结BD,过点F作$FG ⊥ BD$于点G,联结AE,EG,FD。
(1)求证:四边形AEFD为平行四边形。
(2)若$BG=\sqrt{3}+1$,$GD=\sqrt{3}-1$,求CF的长。
(3)当点E在BC上任意运动时,求$\frac{EG}{AE}$的值。
(1)求证:四边形AEFD为平行四边形。
(2)若$BG=\sqrt{3}+1$,$GD=\sqrt{3}-1$,求CF的长。
(3)当点E在BC上任意运动时,求$\frac{EG}{AE}$的值。
答案
23.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以$AD=BC$,$AD// BC$。因为$CF=BE$,所以$CF+CE=BE+CE$,即$EF=BC$,所以$AD=EF$。又因为$AD// EF$,所以四边形AEFD为平行四边形。
(2)解:因为$BG=\sqrt{3}+1$,$GD=\sqrt{3}-1$,所以$BD=BG+GD=2\sqrt{3}$。因为四边形ABCD是正方形,所以$∠ DBC=45°$,$BD=\sqrt{2}BC$,所以$BC=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$。因为$FG⊥ BD$,所以$∠ FGB=90°$。又因为$∠ DBC=45°$,所以$△ BFG$是等腰直角三角形,所以$BF=\sqrt{2}BG=\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,所以$CF=BF-BC=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}=\sqrt{2}$。
(3)解:如图,联结AG。因为四边形ABCD是正方形,所以$∠ ABD=45°$,$AB=BC$。由(1)得,$EF=BC$,所以$AB=EF$。由(2)得,$△ BFG$是等腰直角三角形,所以$BG=FG$,$∠ GFE=45°$,所以$∠ ABG=∠ EFG=45°$,所以$△ ABG≌△ EFG(\mathrm{SAS})$,所以$AG=EG$,$∠ AGB=∠ EGF$,所以$∠ AGB+∠ BGE=∠ EGF+∠ BGE$,即$∠ AGE=∠ FGB$。因为$∠ FGB=90°$,所以$∠ AGE=90°$,所以$△ AEG$是等腰直角三角形,所以$AE=\sqrt{2}EG$,所以$\frac{EG}{AE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
本题分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：要证四边形AEFD为平行四边形，利用正方形性质得AD与BC平行且相等，结合已知CF=BE，推导出AD与EF平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明。
2. 第(2)问：先由BG、GD长度求出正方形对角线BD，利用正方形对角线与边长的关系算出BC；再根据FG⊥BD和∠DBC=45°，确定△BFG为等腰直角三角形，求出BF，进而计算CF=BF-BC。
3. 第(3)问：联结AG，通过正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△ABG≌△EFG，得出AG=EG且∠AGE=90°，判定△AEG为等腰直角三角形，从而求出EG与AE的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD//BC。
又
∵CF=BE，
∴CF+CE=BE+CE，即EF=BC，
∴AD=EF。
∵AD//BC，EF在BC的延长线上，
∴AD//EF，
∴四边形AEFD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵BG=√3+1，GD=√3-1，
∴BD=BG+GD=(√3+1)+(√3-1)=2√3。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，BD=√2 BC，
∴BC=BD/√2=2√3/√2=√6。
∵FG⊥BD，
∴∠FGB=90°，在△BFG中，∠FGB=90°，∠GBF=45°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴BF=√2 BG=√2(√3+1)=√6+√2，
∴CF=BF-BC=(√6+√2)-√6=√2。
(3) 解：联结AG，如图。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，AB=BC。
由(1)知EF=BC，
∴AB=EF。
由(2)知△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=FG，∠GFE=45°，
∴∠ABG=∠EFG=45°。
在△ABG和△EFG中：
AB=EF，∠ABG=∠EFG，BG=FG，
∴△ABG≌△EFG（SAS），
∴AG=EG，∠AGB=∠EGF，
∴∠AGB+∠BGE=∠EGF+∠BGE，即∠AGE=∠FGB=90°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AE=√2 EG，
∴EG/AE=EG/(√2 EG)=1/√2=√2/2。
【答案】
(1) 四边形AEFD为平行四边形；
(2) CF的长为√2；
(3) EG/AE的值为√2/2；
【知识点】
正方形性质、平行四边形判定、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查平行四边形判定、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，需要学生熟练运用几何定理进行逻辑推理，能较好地考查学生的几何综合应用能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：要证四边形AEFD为平行四边形，利用正方形性质得AD与BC平行且相等，结合已知CF=BE，推导出AD与EF平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明。
2. 第(2)问：先由BG、GD长度求出正方形对角线BD，利用正方形对角线与边长的关系算出BC；再根据FG⊥BD和∠DBC=45°，确定△BFG为等腰直角三角形，求出BF，进而计算CF=BF-BC。
3. 第(3)问：联结AG，通过正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△ABG≌△EFG，得出AG=EG且∠AGE=90°，判定△AEG为等腰直角三角形，从而求出EG与AE的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD//BC。
又
∵CF=BE，
∴CF+CE=BE+CE，即EF=BC，
∴AD=EF。
∵AD//BC，EF在BC的延长线上，
∴AD//EF，
∴四边形AEFD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵BG=√3+1，GD=√3-1，
∴BD=BG+GD=(√3+1)+(√3-1)=2√3。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，BD=√2 BC，
∴BC=BD/√2=2√3/√2=√6。
∵FG⊥BD，
∴∠FGB=90°，在△BFG中，∠FGB=90°，∠GBF=45°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴BF=√2 BG=√2(√3+1)=√6+√2，
∴CF=BF-BC=(√6+√2)-√6=√2。
(3) 解：联结AG，如图
。∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，AB=BC。
由(1)知EF=BC，
∴AB=EF。
由(2)知△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=FG，∠GFE=45°，
∴∠ABG=∠EFG=45°。
在△ABG和△EFG中：
AB=EF，∠ABG=∠EFG，BG=FG，
∴△ABG≌△EFG（SAS），
∴AG=EG，∠AGB=∠EGF，
∴∠AGB+∠BGE=∠EGF+∠BGE，即∠AGE=∠FGB=90°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AE=√2 EG，
∴EG/AE=EG/(√2 EG)=1/√2=√2/2。
【答案】
(1) 四边形AEFD为平行四边形；
(2) CF的长为√2；
(3) EG/AE的值为√2/2；
【知识点】
正方形性质、平行四边形判定、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查平行四边形判定、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，需要学生熟练运用几何定理进行逻辑推理，能较好地考查学生的几何综合应用能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
24.(12分)新定义 定义:一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度,我们把这样的四边形叫作双距四边形。
(1)下列说法正确的有
①正方形一定是双距四边形。
②矩形一定是双距四边形。
③有一个内角为$60°$的菱形是双距四边形。
(2)如图1,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB=AD$,$∠ ABC=∠ DCB=72°$,求证:四边形$ABCD$为双距四边形。
(3)如图2,四边形$ABCD$为双距四边形,$AB=AD=\sqrt{6}$,$BC=DC$,$AB＜BC$,求$BC$的长。
(1)下列说法正确的有
①③
(填序号)。①正方形一定是双距四边形。
②矩形一定是双距四边形。
③有一个内角为$60°$的菱形是双距四边形。
(2)如图1,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB=AD$,$∠ ABC=∠ DCB=72°$,求证:四边形$ABCD$为双距四边形。
(3)如图2,四边形$ABCD$为双距四边形,$AB=AD=\sqrt{6}$,$BC=DC$,$AB＜BC$,求$BC$的长。
答案
24.(1)①③
【解析】①假设正方形的边长为a,根据正方形的性质可知对角线的长为$\sqrt{2}a$,所以正方形一定是双距四边形;②因为矩形的长跟宽不相等,所以矩形不满足双距四边形的概念,故不符合题意;③菱形的四条边相等,若有一个内角为$60°$,则菱形有一条对角线等于菱形的边长,所以有一个内角为$60°$的菱形是双距四边形。
(2)证明:因为$AB=AD$,所以$∠ ABD=∠ ADB$。因为$AD// BC$,所以$∠ ADB=∠ DBC$,所以$∠ ABD=∠ DBC$。因为$∠ ABC=∠ DCB=72°$,所以$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$,所以$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ DCB=72°=∠ DCB$,所以$BD=BC$。如图1,分别过点A,D作$AE⊥ BC$,$DF⊥ BC$,垂足分别为E,F。所以$AE=DF$,$∠ AEB=∠ DFC=90°$。因为$∠ ABC=∠ DCB=72°$,所以$△ AEB≌△ DFC(\mathrm{AAS})$,所以$AB=DC=AD$。同理可得,$AC=BC=BD$,所以四边形ABCD为双距四边形。
(3)解:如图2,设AC与BD的交点为O。因为$AB=AD=\sqrt{6}$,$BC=DC$,所以$AC⊥ BD$,$BO=DO=\frac{1}{2}BD$。又因为四边形ABCD为双距四边形,$AB＜BC$,所以$BC=DC=BD=AC$,所以$△ BDC$是等边三角形,所以$∠ BCD=∠ CBD=∠ CDB=60°$,所以$∠ ACB=30°$。设$BO=DO=x$,则$BC=DC=BD=AC=2x$,所以$OC=\sqrt{3}x$,所以$AO=AC-OC=(2-\sqrt{3})x$。在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,由勾股定理,得$AO^2+BO^2=AB^2$,即$(2-\sqrt{3})^2x^2+x^2=6$,解得$x=\sqrt{\frac{6}{8-4\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{12+6\sqrt{3}}{4}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$(负根已舍去),所以$BC=2x=3+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题是新定义几何题型，需先明确“双距四边形”的核心定义：四边形的四条边和两条对角线共六条线段中仅存在两种长度。
（1）结合正方形、矩形、菱形的性质，逐一判断是否符合双距四边形的定义；
（2）利用等腰三角形、平行线的性质推导角的关系，证明边相等，进而得出六条线段仅两种长度，完成证明；
（3）由AB=AD、BC=DC推出AC垂直平分BD，结合双距四边形定义和AB＜BC，确定BC、DC、BD、AC长度相等，再通过勾股定理列方程求解BC的长。
【解析】
（1）判断各说法：
①正方形边长为a，对角线长为√2a，六条线段中仅边长a和对角线√2a两种长度，符合双距四边形，正确；
②矩形的长和宽不相等时，边有两种长度，对角线长度为√(长²+宽²)，共三种长度，不符合双距四边形定义，错误；
③菱形四边相等，若有一个内角为60°，则短对角线等于边长，长对角线为√3边长，六条线段仅两种长度，符合双距四边形，正确；故答案为①③。
（2）证明：
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ABC=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△BDC中，∠DCB=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠DCB，
∴BD=BC，
分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，
则AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
又∠ABC=∠DCB=72°，
∴△AEB≌△DFC（AAS），
∴AB=DC，
结合AB=AD，得AB=AD=DC，又已证BD=BC，
∴四边形ABCD的六条线段中，AB=AD=DC，BC=BD，仅两种长度，故为双距四边形。
（3）解：
设AC与BD交于O，
∵AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即BO=DO，AC⊥BD，
∵四边形ABCD为双距四边形，AB＜BC，
∴六条线段仅两种长度，AB=AD=√6，故BC=DC=BD=AC，
∴△BDC为等边三角形，∠BCD=60°，
∴∠ACB=30°，
设BO=x，则BC=2x，OC=√(BC² - BO²)=√3x，
∴AC=BC=2x，
∴AO=AC - OC=2x -√3x，
在Rt△ABO中，由勾股定理：AO² + BO²=AB²，
即(2x -√3x)² +x²=6，
展开化简得：(8 -4√3)x²=6，
分母有理化后解得x²=(12+6√3)/4，
又(3+√3)²=12+6√3，故BC=2x=√(12+6√3)=3+√3。
【答案】
(1) ①③；
(2) 证明见解析；
(3) $3+\sqrt{3}$；
【知识点】
四边形性质、等腰三角形、勾股定理
【点评】
本题为新定义几何题，需准确理解“双距四边形”的定义，结合特殊四边形、三角形的性质进行推理计算，考察学生的逻辑分析能力和几何运算能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
本题是新定义几何题型，需先明确“双距四边形”的核心定义：四边形的四条边和两条对角线共六条线段中仅存在两种长度。
（1）结合正方形、矩形、菱形的性质，逐一判断是否符合双距四边形的定义；
（2）利用等腰三角形、平行线的性质推导角的关系，证明边相等，进而得出六条线段仅两种长度，完成证明；
（3）由AB=AD、BC=DC推出AC垂直平分BD，结合双距四边形定义和AB＜BC，确定BC、DC、BD、AC长度相等，再通过勾股定理列方程求解BC的长。
【解析】
（1）判断各说法：
①正方形边长为a，对角线长为√2a，六条线段中仅边长a和对角线√2a两种长度，符合双距四边形，正确；
②矩形的长和宽不相等时，边有两种长度，对角线长度为√(长²+宽²)，共三种长度，不符合双距四边形定义，错误；
③菱形四边相等，若有一个内角为60°，则短对角线等于边长，长对角线为√3边长，六条线段仅两种长度，符合双距四边形，正确；故答案为①③。
（2）证明：
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ABC=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△BDC中，∠DCB=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠DCB，
∴BD=BC，
分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，
则AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
又∠ABC=∠DCB=72°，
∴△AEB≌△DFC（AAS），
∴AB=DC，
结合AB=AD，得AB=AD=DC，又已证BD=BC，
∴四边形ABCD的六条线段中，AB=AD=DC，BC=BD，仅两种长度，故为双距四边形。
（3）解：
设AC与BD交于O，
∵AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即BO=DO，AC⊥BD，
∵四边形ABCD为双距四边形，AB＜BC，
∴六条线段仅两种长度，AB=AD=√6，故BC=DC=BD=AC，
∴△BDC为等边三角形，∠BCD=60°，
∴∠ACB=30°，
设BO=x，则BC=2x，OC=√(BC² - BO²)=√3x，
∴AC=BC=2x，
∴AO=AC - OC=2x -√3x，
在Rt△ABO中，由勾股定理：AO² + BO²=AB²，
即(2x -√3x)² +x²=6，
展开化简得：(8 -4√3)x²=6，
分母有理化后解得x²=(12+6√3)/4，
又(3+√3)²=12+6√3，故BC=2x=√(12+6√3)=3+√3。
【答案】
(1) ①③；
(2) 证明见解析；
(3) $3+\sqrt{3}$；
【知识点】
四边形性质、等腰三角形、勾股定理
【点评】
本题为新定义几何题，需准确理解“双距四边形”的定义，结合特殊四边形、三角形的性质进行推理计算，考察学生的逻辑分析能力和几何运算能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
