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一元一次不等式组
1.(1)不等式组:一般地,由若干个不等式组成的一组不等式,叫作不等式组
(2)一元一次不等式组:含有同⑦
2.一元一次不等式组中所有不等式的解集的⑧
3.解一元一次不等式组的一般步骤:
(1)分别解每个不等式;
(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集;
(3)写出不等式组的解集
一元一次不等式组
1.(1)不等式组:一般地,由若干个不等式组成的一组不等式,叫作不等式组
(2)一元一次不等式组:含有同⑦
一
个未知数的一元一次不等式的不等式组,叫作一元一次不等式组2.一元一次不等式组中所有不等式的解集的⑧
公共
部分,叫作这个一元一次不等式组的解集3.解一元一次不等式组的一般步骤:
(1)分别解每个不等式;
(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集;
(3)写出不等式组的解集
答案
⑦一 ⑧公共
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式组的相关基础概念，解题时先回忆对应定义再填空即可。对于第⑦空，结合“一元一次不等式”中“一元”的含义，可知一元一次不等式组里的所有不等式需要含有同一个未知数，且未知数的次数都是1，因此此处填表示数量的“一”；对于第⑧空，不等式组的解集需要同时满足组内所有不等式，对应就是所有不等式解集重叠的部分，也就是公共部分，因此此处填“公共”。
【解析】
1. (2) 根据一元一次不等式组的定义：含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组，因此⑦处填“一”。
2. 根据一元一次不等式组解集的定义：一元一次不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，因此⑧处填“公共”。
【答案】
⑦一 ⑧公共
【知识点】
一元一次不等式组的定义；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础概念识记题，考察内容为一元一次不等式组的核心基础定义，熟练掌握教材相关概念即可直接得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次不等式组的相关基础概念，解题时先回忆对应定义再填空即可。对于第⑦空，结合“一元一次不等式”中“一元”的含义，可知一元一次不等式组里的所有不等式需要含有同一个未知数，且未知数的次数都是1，因此此处填表示数量的“一”；对于第⑧空，不等式组的解集需要同时满足组内所有不等式，对应就是所有不等式解集重叠的部分，也就是公共部分，因此此处填“公共”。
【解析】
1. (2) 根据一元一次不等式组的定义：含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组，因此⑦处填“一”。
2. 根据一元一次不等式组解集的定义：一元一次不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，因此⑧处填“公共”。
【答案】
⑦一 ⑧公共
【知识点】
一元一次不等式组的定义；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础概念识记题，考察内容为一元一次不等式组的核心基础定义，熟练掌握教材相关概念即可直接得分。
【难度系数】
0.9
1. 在下列表达式中,是不等式的有 （
①$-2＜0$； ②$2x+3y＜0$； ③$x=-1$； ④$x^2 + 3x -1$； ⑤$x+2y=4$； ⑥$x+3 ＜ y -3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$-2＜0$； ②$2x+3y＜0$； ③$x=-1$； ④$x^2 + 3x -1$； ⑤$x+2y=4$； ⑥$x+3 ＜ y -3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪些是不等式，首先需明确不等式的定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接表示不等关系的式子叫做不等式。解题时只需逐个核对所给式子是否符合不等式的特征，排除等式、无符号的代数式即可得出结果。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
①$-2＜0$，含有不等号“＜”，表示不等关系，是不等式；
②$2x+3y＜0$，含有不等号“＜”，表示不等关系，是不等式；
③$x=-1$，含有等号“=”，是等式，不是不等式；
④$x^2 + 3x -1$，只是不含等号、不等号的代数式，不是不等式；
⑤$x+2y=4$，含有等号“=”，是等式，不是不等式；
⑥$x+3 ＜ y -3$，含有不等号“＜”，表示不等关系，是不等式。
综上，是不等式的有①②⑥，共3个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握不等式的识别要点：式子中必须包含不等号，用来表示不等关系，注意不要将等式、普通代数式误认为不等式。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是不等式，首先需明确不等式的定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接表示不等关系的式子叫做不等式。解题时只需逐个核对所给式子是否符合不等式的特征，排除等式、无符号的代数式即可得出结果。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
①$-2＜0$，含有不等号“＜”，表示不等关系，是不等式；
②$2x+3y＜0$，含有不等号“＜”，表示不等关系，是不等式；
③$x=-1$，含有等号“=”，是等式，不是不等式；
④$x^2 + 3x -1$，只是不含等号、不等号的代数式，不是不等式；
⑤$x+2y=4$，含有等号“=”，是等式，不是不等式；
⑥$x+3 ＜ y -3$，含有不等号“＜”，表示不等关系，是不等式。
综上，是不等式的有①②⑥，共3个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握不等式的识别要点：式子中必须包含不等号，用来表示不等关系，注意不要将等式、普通代数式误认为不等式。
【难度系数】
0.8
2. 下列各数：-2，-1.5，-1，0，1.5，2，其中，是不等式$x+3＞2$的解的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.B
解析
【分析】
要确定给出的数中哪些是不等式的解，首先需要先求解一元一次不等式x+3＞2，得到x的取值范围，再将所有给出的数逐一和取值范围对比，统计符合条件的数的个数即可得到答案。
【解析】
第一步：解不等式x+3＞2
移项可得：x＞2-3
计算得解集：x＞-1
第二步：逐个判断给出的数是否满足x＞-1
给出的数分别为：-2，-1.5，-1，0，1.5，2
-2＜-1，不符合；-1.5＜-1，不符合；-1=-1，不满足大于-1，不符合；
0＞-1，符合；1.5＞-1，符合；2＞-1，符合。
综上，符合条件的数共有3个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的解判定
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的解法以及解的判断，解题时需注意不等式的解集是x＞-1，不要误将x=-1算作解。
【难度系数】
0.8
要确定给出的数中哪些是不等式的解，首先需要先求解一元一次不等式x+3＞2，得到x的取值范围，再将所有给出的数逐一和取值范围对比，统计符合条件的数的个数即可得到答案。
【解析】
第一步：解不等式x+3＞2
移项可得：x＞2-3
计算得解集：x＞-1
第二步：逐个判断给出的数是否满足x＞-1
给出的数分别为：-2，-1.5，-1，0，1.5，2
-2＜-1，不符合；-1.5＜-1，不符合；-1=-1，不满足大于-1，不符合；
0＞-1，符合；1.5＞-1，符合；2＞-1，符合。
综上，符合条件的数共有3个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的解判定
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的解法以及解的判断，解题时需注意不等式的解集是x＞-1，不要误将x=-1算作解。
【难度系数】
0.8
3. 一个不等式的解集如图所示,则这个不等式的正整数解是
1,2
. 答案
3.1,2
解析
【分析】
解题分为两步：第一步先根据数轴特征确定不等式的解集：数轴上界点3处是空心圆圈，说明解集不包含3，折线向左说明取值小于界点，因此可推出解集为$x＜3$；第二步在解集范围内筛选正整数解，正整数是大于0的整数，只需在$x＜3$的范围里找出符合要求的正整数即可。
【解析】
观察数轴可知：该不等式的解集为$x＜3$。
正整数指大于0的整数，满足$x＜3$的正整数为1、2，因此这个不等式的正整数解是1、2。
【答案】
1,2
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 不等式特殊解求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查数轴表示解集的规则（空心/实心标识、方向的含义）以及特定范围内解的筛选，解题时注意不要把3计入解集中，牢记正整数的取值范围即可。
【难度系数】
0.8
解题分为两步：第一步先根据数轴特征确定不等式的解集：数轴上界点3处是空心圆圈，说明解集不包含3，折线向左说明取值小于界点，因此可推出解集为$x＜3$；第二步在解集范围内筛选正整数解，正整数是大于0的整数，只需在$x＜3$的范围里找出符合要求的正整数即可。
【解析】
观察数轴可知：该不等式的解集为$x＜3$。
正整数指大于0的整数，满足$x＜3$的正整数为1、2，因此这个不等式的正整数解是1、2。
【答案】
1,2
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 不等式特殊解求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查数轴表示解集的规则（空心/实心标识、方向的含义）以及特定范围内解的筛选，解题时注意不要把3计入解集中，牢记正整数的取值范围即可。
【难度系数】
0.8
4.若$a ＞ b - 1$,则下列结论一定正确的是 （
A.$a + 1 ＜ b$
B.$a - 1 ＜ b$
C.$a ＞ b$
D.$a + 1 ＞ b$
D
）A.$a + 1 ＜ b$
B.$a - 1 ＜ b$
C.$a ＞ b$
D.$a + 1 ＞ b$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查不等式的变形判断，解题思路如下：首先回忆不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。我们观察已知条件$a ＞ b-1$和选项的形式，可通过给已知不等式两边同时加1，得到和选项匹配的式子，也可以通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
已知$a ＞ b - 1$，根据不等式的基本性质1，给不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得：
$a + 1 ＞ b - 1 + 1$
化简得$a + 1 ＞ b$，因此D选项正确。
我们再通过反例排除其他选项：
对于A选项：若$a=1$，$b=1$，满足$a ＞ b-1$（$1＞0$），但$a+1=2＞b=1$，A错误；
对于B选项：若$a=3$，$b=1$，满足$a ＞ b-1$（$3＞0$），但$a-1=2＞b=1$，B错误；
对于C选项：若$a=1$，$b=1.5$，满足$a ＞ b-1$（$1＞0.5$），但$a=1 ＜ b=1.5$，C错误。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质；不等式真假判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查不等式基本性质的应用，判断不等式是否成立时，除了用性质推导，举反例验证是快速排除错误选项的实用技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式的变形判断，解题思路如下：首先回忆不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。我们观察已知条件$a ＞ b-1$和选项的形式，可通过给已知不等式两边同时加1，得到和选项匹配的式子，也可以通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
已知$a ＞ b - 1$，根据不等式的基本性质1，给不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得：
$a + 1 ＞ b - 1 + 1$
化简得$a + 1 ＞ b$，因此D选项正确。
我们再通过反例排除其他选项：
对于A选项：若$a=1$，$b=1$，满足$a ＞ b-1$（$1＞0$），但$a+1=2＞b=1$，A错误；
对于B选项：若$a=3$，$b=1$，满足$a ＞ b-1$（$3＞0$），但$a-1=2＞b=1$，B错误；
对于C选项：若$a=1$，$b=1.5$，满足$a ＞ b-1$（$1＞0.5$），但$a=1 ＜ b=1.5$，C错误。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质；不等式真假判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查不等式基本性质的应用，判断不等式是否成立时，除了用性质推导，举反例验证是快速排除错误选项的实用技巧。
【难度系数】
0.8
5.如果$(a + 1)x ＜ a + 1$可化简为$x ＞ 1$，那么$a$的取值范围是（
A.$a ＜ 0$
B.$a ＜ -1$
C.$a ＞ -1$
D.$a$是任意有理数
B
）A.$a ＜ 0$
B.$a ＜ -1$
C.$a ＞ -1$
D.$a$是任意有理数
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先回忆不等式的基本性质，尤其是不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向会发生改变。观察题目给出的不等式变形：原不等号是“＜”，变形后变成“＞”，方向反转，说明两边同时除以的系数$(a+1)$是负数，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向会发生改变。
已知不等式$(a+1)x ＜ a+1$化简后为$x＞1$，不等号方向改变，因此两边同时除以的$a+1$为负数，可得：
$a+1 ＜ 0$
不等式两边同时减1，解得：
$a ＜ -1$
所以选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.不等式的基本性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查不等式性质中不等号方向变化的规律，易错点是忽略不等号反向时除式为负的隐含条件，熟练掌握不等式的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆不等式的基本性质，尤其是不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向会发生改变。观察题目给出的不等式变形：原不等号是“＜”，变形后变成“＞”，方向反转，说明两边同时除以的系数$(a+1)$是负数，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向会发生改变。
已知不等式$(a+1)x ＜ a+1$化简后为$x＞1$，不等号方向改变，因此两边同时除以的$a+1$为负数，可得：
$a+1 ＜ 0$
不等式两边同时减1，解得：
$a ＜ -1$
所以选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.不等式的基本性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查不等式性质中不等号方向变化的规律，易错点是忽略不等号反向时除式为负的隐含条件，熟练掌握不等式的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. 不等式$3x≥ x - 4$的解集是 （
A.$x≥ -2$
B.$x≤ -2$
C.$x ＞ -2$
D.$x ＜ -2$
A
）A.$x≥ -2$
B.$x≤ -2$
C.$x ＞ -2$
D.$x ＜ -2$
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道求解一元一次不等式的基础题，解题思路和一元一次方程类似，遵循“移项→合并同类项→系数化为1”的步骤即可。首先要把含未知数x的项都移到不等式左边，常数项移到右边，注意移项要变号；接着合并同类项化简不等式；最后把x的系数化为1，本题中x的系数是正数，不等号方向不需要改变，算出解集后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对不等式$3x≥ x-4$逐步求解：
1. 移项：将右侧的$x$移到左侧并变号，可得$3x - x ≥ -4$
2. 合并同类项：计算左侧同类项，得$2x ≥ -4$
3. 系数化为1：不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ≥ -2$
因此不等式的解集对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础考查题，重点考察一元一次不等式的求解步骤，解题时只要注意移项要变号、系数化为1时根据系数正负判断是否改变不等号方向，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元一次不等式的基础题，解题思路和一元一次方程类似，遵循“移项→合并同类项→系数化为1”的步骤即可。首先要把含未知数x的项都移到不等式左边，常数项移到右边，注意移项要变号；接着合并同类项化简不等式；最后把x的系数化为1，本题中x的系数是正数，不等号方向不需要改变，算出解集后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对不等式$3x≥ x-4$逐步求解：
1. 移项：将右侧的$x$移到左侧并变号，可得$3x - x ≥ -4$
2. 合并同类项：计算左侧同类项，得$2x ≥ -4$
3. 系数化为1：不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ≥ -2$
因此不等式的解集对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础考查题，重点考察一元一次不等式的求解步骤，解题时只要注意移项要变号、系数化为1时根据系数正负判断是否改变不等号方向，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
7. 不等式$-3x ＞ -6$的解集在数轴上表示正确的是（
B
）答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先求出不等式$-3x ＞ -6$的解集，再结合数轴表示解集的规则判断对应选项。求解不等式时要注意：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向需要改变；数轴表示解集的规则为：包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸，小于向左延伸。
【解析】
第一步：解不等式$-3x ＞ -6$
不等式两边同时除以$-3$，根据不等式的性质，除以负数不等号方向改变，可得：
$x ＜ 2$
第二步：判断数轴表示
$x ＜ 2$说明解集不包含2，所以数轴上2的位置要画空心圆圈，同时小于2要向左延伸：
选项A：2处为实心圆点，向右延伸，对应$x≥2$，错误；
选项B：2处为空心圆圈，向左延伸，对应$x＜2$，正确；
选项C：2处为实心圆点，向左延伸，对应$x≤2$，错误；
选项D：2处为空心圆圈，向右延伸，对应$x＞2$，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式解法，解集的数轴表示，不等式的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元一次不等式的求解规则和数轴表示解集的方法，易错点是系数化为1时忽略不等号方向改变，以及混淆数轴上空心、实心的用法和延伸方向，掌握相关基础规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要先求出不等式$-3x ＞ -6$的解集，再结合数轴表示解集的规则判断对应选项。求解不等式时要注意：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向需要改变；数轴表示解集的规则为：包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸，小于向左延伸。
【解析】
第一步：解不等式$-3x ＞ -6$
不等式两边同时除以$-3$，根据不等式的性质，除以负数不等号方向改变，可得：
$x ＜ 2$
第二步：判断数轴表示
$x ＜ 2$说明解集不包含2，所以数轴上2的位置要画空心圆圈，同时小于2要向左延伸：
选项A：2处为实心圆点，向右延伸，对应$x≥2$，错误；
选项B：2处为空心圆圈，向左延伸，对应$x＜2$，正确；
选项C：2处为实心圆点，向左延伸，对应$x≤2$，错误；
选项D：2处为空心圆圈，向右延伸，对应$x＞2$，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式解法，解集的数轴表示，不等式的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元一次不等式的求解规则和数轴表示解集的方法，易错点是系数化为1时忽略不等号方向改变，以及混淆数轴上空心、实心的用法和延伸方向，掌握相关基础规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
