登录
15.《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为$ x $尺，根据题意，可列方程为（
A.$ x^{2}+4^{2}=10^{2} $
B.$ (10-x)^{2}+4^{2}=10^{2} $
C.$ (10-x)^{2}+4^{2}=x^{2} $
D.$ x^{2}+4^{2}=(10-x)^{2} $
D
）A.$ x^{2}+4^{2}=10^{2} $
B.$ (10-x)^{2}+4^{2}=10^{2} $
C.$ (10-x)^{2}+4^{2}=x^{2} $
D.$ x^{2}+4^{2}=(10-x)^{2} $
答案
D
解析
【分析】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题思路是：先根据题意设出折断后竹子的高度，再确定直角三角形的三条边长度，最后利用勾股定理建立方程。具体来说，设折断后的竹子高度为$x$尺，原竹子高1丈（即10尺），则折断部分的长度为$(10 - x)$尺；抵地处离竹子底部4尺，此时折断后的竹子、地面、折断部分构成直角三角形，其中折断部分是斜边，根据勾股定理即可列出方程。
【解析】
设折断后的竹子高度为$x$尺，
因为原竹子高一丈（1丈=10尺），所以折断部分的长度为$(10 - x)$尺。
由题意可知，折断后的竹子、地面与折断部分构成直角三角形，其中折断部分为斜边，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$x^2 + 4^2 = (10 - x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理应用，一元一次方程
【点评】
本题是古代数学经典问题的现代表述，核心是将实际问题转化为直角三角形的勾股定理应用，关键在于准确判断直角三角形的斜边与直角边，属于基础应用类题目，能很好地考查学生对勾股定理的理解和实际运用能力。
【难度系数】
0.5
本题是勾股定理的实际应用问题，解题思路是：先根据题意设出折断后竹子的高度，再确定直角三角形的三条边长度，最后利用勾股定理建立方程。具体来说，设折断后的竹子高度为$x$尺，原竹子高1丈（即10尺），则折断部分的长度为$(10 - x)$尺；抵地处离竹子底部4尺，此时折断后的竹子、地面、折断部分构成直角三角形，其中折断部分是斜边，根据勾股定理即可列出方程。
【解析】
设折断后的竹子高度为$x$尺，
因为原竹子高一丈（1丈=10尺），所以折断部分的长度为$(10 - x)$尺。
由题意可知，折断后的竹子、地面与折断部分构成直角三角形，其中折断部分为斜边，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$x^2 + 4^2 = (10 - x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理应用，一元一次方程
【点评】
本题是古代数学经典问题的现代表述，核心是将实际问题转化为直角三角形的勾股定理应用，关键在于准确判断直角三角形的斜边与直角边，属于基础应用类题目，能很好地考查学生对勾股定理的理解和实际运用能力。
【难度系数】
0.5
16.李师傅从市场上买了一块长100 cm、宽60 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱。如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3 200 cm²的无盖工具箱，根据题意可列方程为 （
A.$100×60 - 4x^2 = 3\ 200$
B.$100×60 - 4x^2 - (100 + 60)x = 3\ 200$
C.$(100 - x)(60 - x) = 3\ 200$
D.$(100 - 2x)(60 - 2x) = 3\ 200$
D
）A.$100×60 - 4x^2 = 3\ 200$
B.$100×60 - 4x^2 - (100 + 60)x = 3\ 200$
C.$(100 - x)(60 - x) = 3\ 200$
D.$(100 - 2x)(60 - 2x) = 3\ 200$
答案
D
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确剪去正方形后焊接成的无盖工具箱底面的长和宽：矩形铁皮四个角各剪去边长为x cm的正方形，那么底面的长是原长减去左右两个正方形的边长，即100-2x cm；底面的宽是原宽减去上下两个正方形的边长，即60-2x cm。再根据长方形面积公式（面积=长×宽），结合题目给出的底面积3200 cm²，即可列出对应方程，选出正确选项。
【解析】解：由于四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形，因此焊接成的无盖工具箱底面的长为(100 - 2x) cm，底面的宽为(60 - 2x) cm。根据长方形的面积计算公式，底面积为长×宽，已知底面积为3200 cm²，因此可列方程为：(100 - 2x)(60 - 2x) = 3200，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】本题属于一元二次方程的实际应用问题，核心是理解剪去正方形后底面边长的变化，易错点在于误将底面长和宽算成(100-x)和(60-x)，需仔细分析图形的边长变化，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解：由于四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形，因此焊接成的无盖工具箱底面的长为(100 - 2x) cm，底面的宽为(60 - 2x) cm。根据长方形的面积计算公式，底面积为长×宽，已知底面积为3200 cm²，因此可列方程为：(100 - 2x)(60 - 2x) = 3200，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】本题属于一元二次方程的实际应用问题，核心是理解剪去正方形后底面边长的变化，易错点在于误将底面长和宽算成(100-x)和(60-x)，需仔细分析图形的边长变化，难度适中。
【难度系数】0.5
17.某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元。当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆。设每捆衣架售价降低$ a $元，要使日盈利为800元，则可列方程 （
A.$(9 - a)(100 + 25a) = 800$
B.$(9 - a)(100 + 50a) = 800$
C.$(6 - a)(100 + 25a) = 800$
D.$(6 - a)(100 + 50a) = 800$
D
）A.$(9 - a)(100 + 25a) = 800$
B.$(9 - a)(100 + 50a) = 800$
C.$(6 - a)(100 + 25a) = 800$
D.$(6 - a)(100 + 50a) = 800$
答案
D
解析
【分析】
解决该类销售盈利问题，核心公式为“日盈利=每捆利润×日销售量”，需分别求出降价后的每捆利润与对应日销售量，再代入公式列方程。第一步，计算每捆利润：利润=售价-成本，原售价9元，降价a元后售价为(9 - a)元，成本为3元，因此每捆利润为(9 - a - 3)=6 - a元；第二步，计算日销售量：原日销量100捆，每降价0.5元销量增加25捆，降价a元时，降价的次数为a÷0.5=2a次，故增加的销量为25×2a=50a捆，总日销售量为(100 +50a)捆；第三步，根据日盈利800元，代入公式即可得到方程。
【解析】
根据日盈利的计算公式：日盈利=每捆利润×日销售量。
1. 计算每捆利润：降价后每捆售价为(9 - a)元，成本为3元，因此每捆利润为(9 - a - 3)=6 - a元；
2. 计算日销售量：原日销售量为100捆，每降价0.5元销量增加25捆，降价a元时，销量增加量为25×(a÷0.5)=50a捆，故总日销售量为(100 +50a)捆；
3. 列方程：当日盈利为800元时，可得(6 - a)(100 +50a)=800，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是销售类一元二次方程的基础应用题，核心考查销售利润公式的应用，易错点在于计算销售量时易错误计算降价a元对应的0.5元的个数，以及忘记利润需减去成本，整体难度适中，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
解决该类销售盈利问题，核心公式为“日盈利=每捆利润×日销售量”，需分别求出降价后的每捆利润与对应日销售量，再代入公式列方程。第一步，计算每捆利润：利润=售价-成本，原售价9元，降价a元后售价为(9 - a)元，成本为3元，因此每捆利润为(9 - a - 3)=6 - a元；第二步，计算日销售量：原日销量100捆，每降价0.5元销量增加25捆，降价a元时，降价的次数为a÷0.5=2a次，故增加的销量为25×2a=50a捆，总日销售量为(100 +50a)捆；第三步，根据日盈利800元，代入公式即可得到方程。
【解析】
根据日盈利的计算公式：日盈利=每捆利润×日销售量。
1. 计算每捆利润：降价后每捆售价为(9 - a)元，成本为3元，因此每捆利润为(9 - a - 3)=6 - a元；
2. 计算日销售量：原日销售量为100捆，每降价0.5元销量增加25捆，降价a元时，销量增加量为25×(a÷0.5)=50a捆，故总日销售量为(100 +50a)捆；
3. 列方程：当日盈利为800元时，可得(6 - a)(100 +50a)=800，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是销售类一元二次方程的基础应用题，核心考查销售利润公式的应用，易错点在于计算销售量时易错误计算降价a元对应的0.5元的个数，以及忘记利润需减去成本，整体难度适中，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
18. 某网店某种商品成本为 50 元/件，售价为 60 元/件时，每天可销售 100 件；售价高于 60 元/件时，每涨价 1 元/件，日销售量就减少 2 件。据此，当销售单价为
80
元/件时，网店该商品每天盈利最多。答案
80
解析
【分析】
要解决销售利润最大化问题，需借助二次函数的性质求解。首先设销售单价为$ x $元，分别推导每件商品的利润和日销售量的表达式，再根据“总盈利=每件利润×销售量”建立盈利的函数关系式，最后利用二次函数顶点公式（开口向下时顶点为最大值点）求出盈利最多时的销售单价。
【解析】
设销售单价为$ x $元（$ x ≥ 60 $），则：
1. 每件商品的利润：$ x - 50 $元；
2. 日销售量：售价高于60元时，每涨价1元销量减少2件，比60元涨价$ (x - 60) $元，销量减少$ 2(x - 60) $件，故日销售量为$ 100 - 2(x - 60) = 220 - 2x $件；
3. 每天盈利$ y = (x - 50)(220 - 2x) $，展开整理得：$ y = -2x^2 + 320x - 11000 $，该二次函数中$ a = -2 ＜ 0 $，图象开口向下，存在最大值；
4. 二次函数最大值对应的$ x $值为顶点横坐标：$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{320}{2 × (-2)} = 80 $。
因此，当销售单价为80元/件时，网店该商品每天盈利最多。
【答案】
80
【知识点】
二次函数的应用；利润问题
【点评】
本题是二次函数在实际销售场景的典型应用，关键是准确推导销售量随单价变化的关系，构建盈利函数后利用顶点性质求最值，需注意函数表达式的整理与计算。
【难度系数】
0.6
要解决销售利润最大化问题，需借助二次函数的性质求解。首先设销售单价为$ x $元，分别推导每件商品的利润和日销售量的表达式，再根据“总盈利=每件利润×销售量”建立盈利的函数关系式，最后利用二次函数顶点公式（开口向下时顶点为最大值点）求出盈利最多时的销售单价。
【解析】
设销售单价为$ x $元（$ x ≥ 60 $），则：
1. 每件商品的利润：$ x - 50 $元；
2. 日销售量：售价高于60元时，每涨价1元销量减少2件，比60元涨价$ (x - 60) $元，销量减少$ 2(x - 60) $件，故日销售量为$ 100 - 2(x - 60) = 220 - 2x $件；
3. 每天盈利$ y = (x - 50)(220 - 2x) $，展开整理得：$ y = -2x^2 + 320x - 11000 $，该二次函数中$ a = -2 ＜ 0 $，图象开口向下，存在最大值；
4. 二次函数最大值对应的$ x $值为顶点横坐标：$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{320}{2 × (-2)} = 80 $。
因此，当销售单价为80元/件时，网店该商品每天盈利最多。
【答案】
80
【知识点】
二次函数的应用；利润问题
【点评】
本题是二次函数在实际销售场景的典型应用，关键是准确推导销售量随单价变化的关系，构建盈利函数后利用顶点性质求最值，需注意函数表达式的整理与计算。
【难度系数】
0.6
19. AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为$ x $，则可列方程为________。
答案
$5.25(1+x)^2=7.56$
解析
【分析】首先明确月平均增长率的计算逻辑：从2月到4月间隔2个月，每月点击率以相同增长率x增长，需利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数”这一增长率模型，结合2月和4月的点击率建立方程。
【解析】已知2月点击率为5.25亿次，月平均增长率为x，则3月点击率为$5.25(1+x)$亿次；4月点击率是在3月基础上再增长x，即$5.25(1+x)×(1+x)=5.25(1+x)^2$亿次，而4月实际点击率为7.56亿次，因此可列方程为$5.25(1+x)^2=7.56$。
【答案】$5.25(1+x)^2=7.56$
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题考查一元二次方程在实际增长率问题中的应用，核心是掌握两次增长的模型公式，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】已知2月点击率为5.25亿次，月平均增长率为x，则3月点击率为$5.25(1+x)$亿次；4月点击率是在3月基础上再增长x，即$5.25(1+x)×(1+x)=5.25(1+x)^2$亿次，而4月实际点击率为7.56亿次，因此可列方程为$5.25(1+x)^2=7.56$。
【答案】$5.25(1+x)^2=7.56$
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题考查一元二次方程在实际增长率问题中的应用，核心是掌握两次增长的模型公式，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
