9.在解一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$时，小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1=2,x_2=3$；小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1=1,x_2=4$。请你写出正确的一元二次方程：______。

$x^2-5x+6=0$

【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。题目中，小明仅看错一次项系数$b$，因此他得到的解对应的常数项$c$是正确的；小刚仅看错常数项$c$，因此他得到的解对应的一次项系数$b$是正确的。我们分别通过两人的解求出正确的$b$和$c$，即可得到正确的方程。
【解析】
1. 求正确的常数项$c$：
小明看错$b$，常数项$c$正确，已知他的解为$x_1=2,x_2=3$，根据韦达定理$x_1x_2=c$，可得$c=2×3=6$。
2. 求正确的一次项系数$b$：
小刚看错$c$，一次项系数$b$正确，已知他的解为$x_1=1,x_2=4$，根据韦达定理$x_1+x_2=-b$，可得$1+4=-b$，解得$b=-5$。
3. 写出正确的一元二次方程：
将$b=-5$，$c=6$代入$x^2+bx+c=0$，得到正确方程为$x^2-5x+6=0$。
【答案】
$x^2-5x+6=0$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题考查韦达定理的实际应用，核心是明确“看错某一系数时，另一系数仍正确”这一关键条件，通过韦达定理分别求出正确的系数，进而构造方程，属于基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.5

10.在实数范围内,存在2个不同的x的值,使代数式$ x^2 + 1 $与$ 3x - k $的值相等,则k的取值范围为。

$k＜\dfrac{5}{4}$

【分析】
要解决这个问题，需先将“两个代数式的值相等”转化为一元二次方程，再根据方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式确定k的取值范围。具体思路：1. 列等式得到关于x的方程；2. 整理为一元二次方程标准形式；3. 由“存在2个不同的x值”得方程有两个不相等实根，结合判别式的性质求解k的范围。
【解析】
根据题意，令两个代数式相等，可得方程：
$x^2 + 1 = 3x - k$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 3x + (1 + k) = 0$
因为存在2个不同的x值满足该方程，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$（其中$a=1$，$b=-3$，$c=1+k$），代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × (1 + k) = 9 - 4 - 4k = 5 - 4k$
方程有两个不相等实根，故$\Delta ＞ 0$，即：
$5 - 4k ＞ 0$
解此不等式：
$-4k ＞ -5$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$k ＜ \frac{5}{4}$
【答案】
$k ＜ \dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，关键在于将代数式相等的条件转化为方程根的问题，需注意判别式的计算及不等式变形时的符号变化，整体难度适中。
【难度系数】
0.6

11.已知$a,b$是方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个实根，则$a^4 - 3b$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

5

【分析】
要计算$a^4 - 3b$的值，需先利用一元二次方程根的定义对高次项$a^4$降次，再结合韦达定理将$b$用$a$表示，最后代入化简消元得到结果。具体思路：1. 由$a$是方程的根，推导$a^2 = 1 - a$，进而将$a^4$转化为一次式；2. 利用韦达定理得到$a + b = -1$，将$b$用$a$表示；3. 代入原式化简，消去$a$得到最终结果。
【解析】
解：因为$a$是方程$x^2 + x - 1 = 0$的根，所以$a^2 + a - 1 = 0$，即$a^2 = 1 - a$。
则$a^4 = (a^2)^2 = (1 - a)^2 = 1 - 2a + a^2$，将$a^2 = 1 - a$代入得：
$a^4 = 1 - 2a + (1 - a) = 2 - 3a$。
又因为$a,b$是方程$x^2 + x -1 =0$的两个实根，由韦达定理得：$a + b = -1$，即$b = -1 - a$。
将$a^4 = 2 - 3a$和$b = -1 -a$代入$a^4 -3b$：
$a^4 -3b = (2 - 3a) - 3(-1 -a) = 2 -3a +3 +3a =5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式降次化简
【点评】
本题通过方程根的定义对高次项降次，结合韦达定理简化计算，避免了直接求根的繁琐，是代数求值的典型基础题型，需掌握降次和韦达定理的应用方法。
【难度系数】
0.6

12. 已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$。
(1)若方程的一个根为$x=2$，求$\frac{2b + c}{a}$的值；
(2)当$b - ac = 1$时，求证：方程有两个实数根。

(1)因为知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$一个根为$x=2$,所以 $4a + 2b + c = 0$,所以 $2b + c = -4a$。因为 $a ≠ 0$,所以$\dfrac{2b + c}{a}=-4$；
(2)因为 $b - ac = 1$,所以 $ac = b - 1$,$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4(b - 1) = b^2 - 4b + 4 = (b - 2)^2 ≥ 0$,所以方程有两个实数根。

【分析】
第(1)问，根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程可得到a、b、c的关系式，通过变形即可求出目标分式的值；第(2)问，要证明方程有两个实数根，需利用一元二次方程根的判别式，将已知条件代入判别式化简，证明判别式非负即可。
【解析】
(1) 因为$x=2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的一个根，所以将$x=2$代入方程得：
$4a + 2b + c = 0$，
移项可得$2b + c = -4a$，
又因为$a≠0$，两边同时除以$a$得：
$\frac{2b + c}{a} = \frac{-4a}{a} = -4$。
(2) 已知$b - ac = 1$，则$ac = b - 1$，
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，将$ac = b - 1$代入得：
$\Delta = b^2 - 4(b - 1) = b^2 - 4b + 4 = (b - 2)^2$，
因为任何数的平方都非负，所以$(b - 2)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
所以方程有两个实数根。
【答案】
(1) $\frac{2b + c}{a}$的值为$-4$；
(2) 方程有两个实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程的根的定义、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为一元二次方程的基础题型，分别考查根的定义和根的判别式的应用，思路清晰，步骤明确，属于常规基础题，只要掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.6

13.定义新运算“⊕”:当$a≥b$时,$a⊕b=ab-a$;当$a＜b$时,$a⊕b=ab+a$。
(1)当$x=2$时,求$(1⊕x)+(3⊕x)$的值。
(2)若$2x⊕(x+1)=6$,求$x$的值。

(1)因为 $x=2$,且 $1＜2,3＞2$,所以 $1\oplus x = x + 1$,$3\oplus x = 3x - 3$,所以$(1\oplus x)+(3\oplus x)=x+1+3x-3=4x-2=6$；
(2)当 $2x ≥ x+1$,即 $x ≥ 1$ 时,由 $2x\oplus(x+1)=6$ 得,$2x(x+1)-2x=6$,解得 $x_1=\sqrt{3}$,$x_2=-\sqrt{3}$(舍去)。当 $2x ＜ x+1$,即 $x ＜ 1$ 时,由 $2x\oplus(x+1)=6$ 得,$2x(x+1)+2x=6$,解得 $x_1=-3$,$x_2=1$(舍去),综上所述,$x$ 的值为$\sqrt{3}$或$-3$。

【分析】
本题是定义新运算问题，解题关键是先根据两个数的大小关系确定对应的运算公式，再代入计算或解方程。第(1)问先判断x=2时，1与2、3与2的大小，分别代入对应公式计算后求和；第(2)问需分两种情况讨论：当2x≥x+1和2x＜x+1，分别代入对应公式得到方程，解方程后检验解是否符合当前情况的条件，舍去不符合的解。
【解析】
(1)当x=2时，
因为1＜2，根据定义“当a＜b时，a⊕b=ab+a”，得1⊕x=1×2 +1=3；
因为3＞2，根据定义“当a≥b时，a⊕b=ab-a”，得3⊕x=3×2 -3=3；
因此(1⊕x)+(3⊕x)=3+3=6。
(2)分两种情况讨论：
①当2x≥x+1，即x≥1时，
根据定义，2x⊕(x+1)=2x(x+1)-2x，
由题意得2x(x+1)-2x=6，
展开化简：2x²+2x -2x=2x²=6，即x²=3，解得x=√3或x=-√3；
因为x≥1，所以舍去x=-√3，得x=√3。
②当2x＜x+1，即x＜1时，
根据定义，2x⊕(x+1)=2x(x+1)+2x，
由题意得2x(x+1)+2x=6，
展开化简：2x²+4x=6，整理得x²+2x-3=0，
因式分解得(x+3)(x-1)=0，解得x=-3或x=1；
因为x＜1，所以舍去x=1，得x=-3。
综上，x的值为√3或-3。
【答案】
(1)6；(2)√3或-3
【知识点】
定义新运算，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查定义新运算的应用，核心是准确判断两数大小以选择对应运算规则，第(2)问需分类讨论，解方程后要检验解是否符合前提条件，避免漏解或错解，难度适中。
【难度系数】
0.5

14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2)若方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 (x_1 ＞ x_2) $,且 $ \dfrac{x_1 + 3}{x_1} $ 为整数,求整数 $ m $ 的值。

(1)证明:因为 $\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×(m^2 + m) = 1＞0$,所以无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)因为 $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$,即$(x-m)[x-(m+1)]=0$,解得 $x=m$ 或 $x=m+1$。因为 $x_1＞x_2$,所以 $x_1=m+1$,所以 $\dfrac{x_1+3}{x_1}=1+\dfrac{3}{m+1}$。如果 $1+m$ 为整数,则 $m=-4$ 或 $-2$ 或 $0$ 或 $2$,所以整数 $m$ 的所有可能的值为 $-4$ 或 $-2$ 或 $0$ 或 $2$。

【分析】
要解决这道题，分两步思考：
1. 第(1)问：证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ，计算Δ的值，判断Δ是否恒大于0，若Δ＞0则方程总有两个不等实根。
2. 第(2)问：先对原方程因式分解求解，根据$x_1＞x_2$确定$x_1$的表达式，再代入分式化简，结合分式为整数的条件（分母是分子的约数），且m为整数，据此求出所有符合条件的整数m。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
本题中$a=1$，$b=-(2m+1)$，$c=m^2+m$，则：
$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2+m)$
$= (4m^2 +4m +1) -4m^2 -4m$
$=1＞0$
所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 对原方程因式分解：
$x^2 - (2m+1)x + m^2 + m =0$
$(x - m)(x - (m+1))=0$
解得$x=m$或$x=m+1$。
因为$x_1＞x_2$，所以$x_1=m+1$，代入$\frac{x_1+3}{x_1}$得：
$\frac{(m+1)+3}{m+1}=1 + \frac{3}{m+1}$
要使该式为整数，则$\frac{3}{m+1}$必须为整数，即$m+1$是3的约数。
3的约数有±1，±3，因此：
当$m+1=1$时，$m=0$；
当$m+1=-1$时，$m=-2$；
当$m+1=3$时，$m=2$；
当$m+1=-3$时，$m=-4$；
所以整数m的值为-4，-2，0，2。
【答案】
(1) 证明：因为$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×(m^2 + m) =1＞0$，所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 整数m的所有可能的值为-4，-2，0，2。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，分式的整数性
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，第一问考查根的判别式的基本应用，难度较低；第二问需要先解方程确定根的表达式，再结合分式为整数的条件求参数，考查学生的运算能力和逻辑分析能力，整体难度适中。
【难度系数】
0.6