1.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2 = 0$的一个根是$x = -2$,则$a =$（）

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

D

【分析】
要解决本题，需利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，则将其代入方程后等式成立。因此，把已知根$x=-2$代入给定的一元二次方程，可得到关于$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值，进而选出正确选项。
【解析】
解：将$x=-2$代入方程$x^2 + ax + 2 = 0$中，
得：$(-2)^2 + a×(-2) + 2 = 0$，
计算左边：$4 - 2a + 2 = 6 - 2a$，
因此$6 - 2a = 0$，
移项得：$2a = 6$，
解得：$a = 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根；代入法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的基础应用，难度较低，只需将已知根代入方程求解参数即可，属于基础题型，用于巩固方程根的概念。
【难度系数】
0.8

2.已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 2ax + 2 = 0$的两个实数根相等，则$a$的值为 （）

A.0
B.1
C.2
D.0或2

C

【分析】要解决本题，需结合两个核心知识点：一是一元二次方程的定义（二次项系数不能为0），二是一元二次方程根的判别式（当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根）。首先根据一元二次方程的定义确定a的取值限制，再利用根的判别式求出a的可能值，最后排除不符合定义的a值即可得到答案。
【解析】
1. 因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数a≠0；
2. 又因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ=0。对于方程$ax^2 - 2ax + 2 = 0$，其中$a=a$，$b=-2a$，$c=2$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2a)^2 - 4 × a × 2 = 4a^2 - 8a$；
令$\Delta=0$，即$4a^2 -8a=0$，两边同除以4得$a^2 -2a=0$，因式分解得$a(a-2)=0$，解得$a=0$或$a=2$；
3. 结合步骤1中$a≠0$的条件，舍去$a=0$，因此$a=2$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式的综合应用，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不能为0的限制，直接由判别式求出a的可能值后误选错误选项，需仔细审题。
【难度系数】0.5

3.已知方程$x^2 - 4x + k = 0$的两个实数根是$x_1=1,x_2=3$，则方程$(x - 5)^2 - 4(x - 5) + k = 0$的两个实数根是 （）

A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=6,x_2=8$
C.$x_1=-4,x_2=-2$
D.$x_1=0,x_2=2$

B

【分析】
这道题可利用换元法和一元二次方程根的定义求解。观察两个方程的结构，第二个方程是将第一个方程中的x替换为(x-5)，因此可设t = x -5，将第二个方程转化为与第一个方程形式相同的方程，再结合第一个方程的根求出t的值，进而得到x的值。
【解析】
设$ t = x - 5 $，则方程$(x - 5)^2 - 4(x - 5) + k = 0$可转化为：
$ t^2 - 4t + k = 0 $
已知方程$ x^2 - 4x + k = 0 $的两个实数根为$ x_1=1, x_2=3 $，根据一元二次方程根的定义，方程$ t^2 - 4t + k = 0 $的根为$ t_1=1, t_2=3 $。
因此有：
$ x - 5 = 1 $ 或 $ x - 5 = 3 $
解得：$ x = 6 $ 或 $ x = 8 $
即方程$(x - 5)^2 - 4(x - 5) + k = 0$的两个实数根为$ x_1=6, x_2=8 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；换元法解一元二次方程
【点评】
本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，核心是利用整体思想，发现两个方程的结构一致性，无需计算k值即可快速求解，简化了运算过程，是一元二次方程相关的基础题型。
【难度系数】
0.6

4.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(t+1)x + t^2 + 5 = 0$的两个实数根，若$x_1^2 + x_2^2 = 36$，则$t$的值是 （）

A.$-7$或$3$
B.$-7$
C.$3$
D.$-3$或$7$

C

【分析】
要解决这道题，需结合一元二次方程根的性质：首先，方程有两个实数根，需满足判别式非负；其次，利用韦达定理将所求的$x_1^2 + x_2^2$转化为含根和、根积的形式，代入已知条件得到关于$t$的方程，最后结合判别式的限制筛选出符合条件的$t$值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2(t+1)x + t^2 +5=0$，
1. 因方程有两个实数根，故判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = [-2(t+1)]^2 -4×1×(t^2+5) =4(t^2+2t+1)-4t^2-20=8t-16≥0$，
解得$t≥2$。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=2(t+1)$，两根之积$x_1x_2=t^2+5$。
3. 利用完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2$，代入已知$x_1^2+x_2^2=36$：
$[2(t+1)]^2 -2(t^2+5)=36$，
展开化简：$4(t^2+2t+1)-2t^2-10=36$，
即$2t^2+8t-6=36$，整理得$t^2+4t-21=0$，
因式分解得$(t+7)(t-3)=0$，解得$t=-7$或$t=3$。
4. 结合步骤1中$t≥2$的条件，舍去$t=-7$，故$t=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；完全平方公式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用，易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，未验证判别式，直接得到$t=-7$或$3$，错选A。需注意求解后要结合根的存在性条件筛选结果。
【难度系数】
0.4

5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ b^2x^2 + abx + a^2 - 3b^2 + 1 = 0 $（$ a,b $ 为常数，且 $ ab ≠ 0 $），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解？
（）
① $ x = -2 $；② $ x = -1 $；③ $ x = 1 $；④ $ x = 2 $。

A.①④
B.②③
C.①②
D.③④

A

【分析】要判断某个x是否为方程的实数解，可将原方程整理为关于参数a的一元二次方程，利用一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0），结合ab≠0时b²＞0的性质，分析每个x对应的判别式是否可能非负，进而确定不可能的解。
【解析】将原方程整理为关于a的一元二次方程：$a^2 + bx · a + (b^2x^2 - 3b^2 +1)=0$。对于该方程存在实根a，需满足判别式$\Delta ≥ 0$，计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(bx)^2 -4 × 1 × (b^2x^2 -3b^2 +1)\\&=b^2x^2 -4b^2x^2 +12b^2 -4\\&=b^2(12-3x^2)-4\end{aligned}$
已知$ab≠0$，故$b^2＞0$：
当$x=-2$时，$12-3x^2=12-3×4=0$，则$\Delta=0 -4=-4＜0$，无实根a，故$x=-2$不是方程的解；
当$x=-1$时，$12-3x^2=12-3×1=9$，则$\Delta=9b^2 -4$，取$b^2≥\frac{4}{9}$时，$\Delta≥0$，存在实根a，故$x=-1$可能是方程的解；
当$x=1$时，与$x=-1$同理，$\Delta=9b^2 -4$，存在b使$\Delta≥0$，故$x=1$可能是方程的解；
当$x=2$时，$12-3x^2=12-3×4=0$，则$\Delta=0 -4=-4＜0$，无实根a，故$x=2$不是方程的解；
因此一定不是方程解的是①和④，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程判别式、方程的解
【点评】本题核心是将原方程转化为关于参数的一元二次方程，利用判别式判断解的存在性，考察方程解的判定与判别式的应用，需掌握转化思想，难度适中。
【难度系数】0.5

6.定义运算：$a※b=a^2+ab$，例如，$2※5=2^2+2×5$，若关于$x$的方程$x※3=-m$有两个相等的实数根，则$m$的值为（）

A.$\dfrac{9}{4}$
B.$-\dfrac{9}{4}$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$9$

A

【分析】首先根据题目给出的新定义运算规则，将$x※3$转化为对应的代数式，得到关于$x$的一元二次方程；再利用一元二次方程根的判别式：当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$，据此建立关于$m$的方程，求解即可。
【解析】根据新定义运算$a※b=a^2+ab$，可得：
$x※3 = x^2 + x·3 = x^2 + 3x$，
则原方程$x※3=-m$可转化为：
$x^2 + 3x = -m$，
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + 3x + m = 0$。
因为该方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$（其中$a=1$，$b=3$，$c=m$），代入得：
$3^2 - 4×1× m = 0$，
即$9 - 4m = 0$，
解得$m = \dfrac{9}{4}$。
【答案】A
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式，核心是正确转化新运算为代数式，再运用判别式的性质求解，属于基础题型，需熟练掌握新定义的处理方法和根的判别式公式。
【难度系数】0.6

7. 已知$ a(a＞1) $是关于$ x $的方程$ x^2 - bx + b - a = 0 $的实数根。下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当$ a = t + 1 $时，一定有$ b = t - 1 $；③$ b $是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根。上述说法中，正确的有 （）

A.①②
B.②③
C.①③
D.③④

C

【分析】
首先，利用一元二次方程根的定义，将已知根$a(a＞1)$代入方程，推导$b$与$a$的关系；再通过计算方程的判别式判断根的情况，逐一分析四个说法的正确性，最终确定正确选项。
【解析】
解：将$x=a$代入方程$x^2 - bx + b - a = 0$，得：
$a^2 - ab + b - a = 0$
整理得：$a^2 - a = b(a - 1)$
∵$a ＞ 1$，
∴$a - 1 ≠ 0$，两边同除以$a - 1$，得：
$b = \frac{a^2 - a}{a - 1} = a$
1. 判断方程根的情况：
方程的判别式$\Delta = (-b)^2 - 4×1×(b - a) = b^2 - 4b + 4a$
将$b = a$代入得：$\Delta = a^2 - 4a + 4a = a^2$
∵$a ＞ 1$，
∴$a^2 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误。
2. 分析②：
当$a = t + 1$时，由$b = a$得$b = t + 1$，而非$b = t - 1$，故②错误。
3. 分析③：
将$x = b$代入方程左边：$b^2 - b·b + b - a = b - a$
∵$b = a$，
∴左边$= a - a = 0$，等于右边，故$b$是方程的根，③正确。
综上，正确的是①③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根；代数式求值
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，关键是利用根的定义推导参数关系，再结合判别式和根的定义逐一验证说法，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5

8.已知$x^2 - 6x - 2 = (x - 3)^2 + m$，则$m$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

-11

【分析】本题是整式恒等变形的基础题，解题思路为：先利用完全平方公式展开等式右边的项，再通过左右两边对应项的常数项相等建立方程，即可求出m的值，核心是掌握完全平方公式的展开规则与同类项对应相等的性质。
【解析】解：先展开等式右边的完全平方项：
$(x-3)^2 = x^2 -6x +9$，
则等式右边整理为：$x^2 -6x +9 + m$。
由于等式左右两边对任意x都成立，因此常数项相等，可得：
$9 + m = -2$，
解得：$m = -2 -9 = -11$。
【答案】-11
【知识点】完全平方公式，整式的加减
【点评】本题考查完全平方公式的应用及整式的恒等变形，属于基础题型，难度较低，只要掌握完全平方公式的展开方法，通过对应项系数相等即可快速求解。
【难度系数】0.8