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24.(12分)四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连结DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG。
(1)如图1,求证:矩形DEFG是正方形;
(2)若$AB=3$,$CE=2\sqrt{2}$,求CG的长度;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$30°$时,求$∠ EFC$的度数。
(1)如图1,求证:矩形DEFG是正方形;
(2)若$AB=3$,$CE=2\sqrt{2}$,求CG的长度;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$30°$时,求$∠ EFC$的度数。
答案
24.(1)如图1,作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q。因为∠DCA=∠BCA=45°,所以EQ=EP。因为∠QEF+∠PEF=90°,∠PED+∠PEF=90°,所以∠QEF=∠PED。在Rt△EQF和Rt△EPD中,$\begin{cases} ∠QEF=∠PED, \\ EQ=EP \\ ∠EQF=∠EPD, \end{cases}$所以Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA),EF=ED,所以矩形DEFG是正方形；
(2)因为四边形ABCD是正方形,AB=3,所以AD=CD=3,∠ADC=90°,$AC=\sqrt{2}AD=3\sqrt{2}$。因为$CE=2\sqrt{2}$,所以$AE=\sqrt{2}$。因为四边形DEFG是正方形,所以DE=DG,∠EDG=90°=∠ADC,所以∠ADE=∠CDG,所以$△ ADE ≌ △ CDG$(SAS),所以$CG=AE=\sqrt{2}$；
(3)①当DE与AD的夹角为30°时,如图2。因为∠ADE=30°,∠ADC=90°,所以∠EDC=60°。因为∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD=360°,所以∠EFC=360°-90°-90°-60°=120°;②当DE与DC的夹角为30°时,如图3。因为∠EDC=30°,∠DCA=45°,所以∠DEC=180°-30°-45°=105°。因为∠DEF=90°,所以∠CEF=105°-90°=15°,所以∠EFC=∠ACB-∠CEF=30°。综上所述,∠EFC=30°或120°。
解析
【分析】
本题为正方形综合题，分三小问突破：
(1) 要证矩形DEFG是正方形，需证邻边DE=EF。利用正方形对角线平分内角的性质，作辅助线EQ⊥BC、EP⊥CD，得EQ=EP；再通过同角的余角相等证∠QEF=∠PED，进而证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得EF=ED，结合矩形邻边相等即正方形完成证明。
(2) 求CG长度时，利用正方形DEFG的性质（DE=DG，∠EDG=90°），结合正方形ABCD的∠ADC=90°，推出∠ADE=∠CDG，证明△ADE≌△CDG得CG=AE；先由正方形边长AB=3算出AC=3√2，再减CE=2√2得AE=√2，即CG=√2。
(3) 分两种情况讨论DE与正方形边的夹角：①DE与AD夹角30°，利用四边形内角和计算∠EFC；②DE与DC夹角30°，利用三角形内角和及角的关系计算∠EFC，最终得两个结果。
【解析】
(1) 证明：如图1，作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q。
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ ∠DCA=∠BCA=45°，
∴ EQ=EP（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ EF⊥DE，
∴ ∠DEF=90°，
∴ ∠QEF + ∠PEF = 90°，∠PED + ∠PEF = 90°，
∴ ∠QEF=∠PED。
在Rt△EQF和Rt△EPD中：
$\begin{cases} ∠QEF=∠PED \\ EQ=EP \\ ∠EQF=∠EPD=90° \end{cases}$
∴ Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴ EF=ED。
又
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 矩形DEFG是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴ AD=CD=3，∠ADC=90°，AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}$=$\sqrt{3^2 +3^2}$=3√2。
∵ CE=2√2，
∴ AE=AC - CE=3√2 -2√2=√2。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ DE=DG，∠EDG=90°，
∴ ∠ADC=∠EDG=90°，
∴ ∠ADC - ∠EDC = ∠EDG - ∠EDC，即∠ADE=∠CDG。
在△ADE和△CDG中：
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ADE=∠CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ △ADE≌△CDG（SAS），
∴ CG=AE=√2。
(3) 解：分两种情况：
① 当DE与AD的夹角为30°时，
∵ ∠ADE=30°，∠ADC=90°，
∴ ∠EDC=∠ADC - ∠ADE=60°。
在四边形DEFC中，∠DEF=90°，∠DCF=90°，
∴ ∠EFC=360° - ∠DEF - ∠DCF - ∠EDC=360°-90°-90°-60°=120°。
② 当DE与DC的夹角为30°时，
∵ ∠EDC=30°，∠DCA=45°，
∴ 在△DEC中，∠DEC=180° - ∠EDC - ∠DCA=180°-30°-45°=105°。
∵ ∠DEF=90°，
∴ ∠CEF=∠DEC - ∠DEF=105°-90°=15°。
又
∵ ∠ACB=45°，
∴ ∠EFC=∠ACB - ∠CEF=45°-15°=30°。
综上，∠EFC的度数为30°或120°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) CG的长度为$\sqrt{2}$；
(3) ∠EFC的度数为30°或120°；
【知识点】
正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质
【点评】
本题是正方形的综合应用，涉及全等三角形的判定、正方形的性质与判定，以及分类讨论思想，需要学生具备较强的几何推理能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题为正方形综合题，分三小问突破：
(1) 要证矩形DEFG是正方形，需证邻边DE=EF。利用正方形对角线平分内角的性质，作辅助线EQ⊥BC、EP⊥CD，得EQ=EP；再通过同角的余角相等证∠QEF=∠PED，进而证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得EF=ED，结合矩形邻边相等即正方形完成证明。
(2) 求CG长度时，利用正方形DEFG的性质（DE=DG，∠EDG=90°），结合正方形ABCD的∠ADC=90°，推出∠ADE=∠CDG，证明△ADE≌△CDG得CG=AE；先由正方形边长AB=3算出AC=3√2，再减CE=2√2得AE=√2，即CG=√2。
(3) 分两种情况讨论DE与正方形边的夹角：①DE与AD夹角30°，利用四边形内角和计算∠EFC；②DE与DC夹角30°，利用三角形内角和及角的关系计算∠EFC，最终得两个结果。
【解析】
(1) 证明：如图1，作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q。
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ ∠DCA=∠BCA=45°，
∴ EQ=EP（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ EF⊥DE，
∴ ∠DEF=90°，
∴ ∠QEF + ∠PEF = 90°，∠PED + ∠PEF = 90°，
∴ ∠QEF=∠PED。
在Rt△EQF和Rt△EPD中：
$\begin{cases} ∠QEF=∠PED \\ EQ=EP \\ ∠EQF=∠EPD=90° \end{cases}$
∴ Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴ EF=ED。
又
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 矩形DEFG是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴ AD=CD=3，∠ADC=90°，AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}$=$\sqrt{3^2 +3^2}$=3√2。
∵ CE=2√2，
∴ AE=AC - CE=3√2 -2√2=√2。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ DE=DG，∠EDG=90°，
∴ ∠ADC=∠EDG=90°，
∴ ∠ADC - ∠EDC = ∠EDG - ∠EDC，即∠ADE=∠CDG。
在△ADE和△CDG中：
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ADE=∠CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ △ADE≌△CDG（SAS），
∴ CG=AE=√2。
(3) 解：分两种情况：
① 当DE与AD的夹角为30°时，
∵ ∠ADE=30°，∠ADC=90°，
∴ ∠EDC=∠ADC - ∠ADE=60°。
在四边形DEFC中，∠DEF=90°，∠DCF=90°，
∴ ∠EFC=360° - ∠DEF - ∠DCF - ∠EDC=360°-90°-90°-60°=120°。
② 当DE与DC的夹角为30°时，
∵ ∠EDC=30°，∠DCA=45°，
∴ 在△DEC中，∠DEC=180° - ∠EDC - ∠DCA=180°-30°-45°=105°。
∵ ∠DEF=90°，
∴ ∠CEF=∠DEC - ∠DEF=105°-90°=15°。
又
∵ ∠ACB=45°，
∴ ∠EFC=∠ACB - ∠CEF=45°-15°=30°。
综上，∠EFC的度数为30°或120°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) CG的长度为$\sqrt{2}$；
(3) ∠EFC的度数为30°或120°；
【知识点】
正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质
【点评】
本题是正方形的综合应用，涉及全等三角形的判定、正方形的性质与判定，以及分类讨论思想，需要学生具备较强的几何推理能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
