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7. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=3,BC=4$,将点C沿BD折叠至点E,连结AE,当$∠ ABC$从$0°～180°$变化过程中,四边形ABDE恰为平行四边形时,此时四边形ABDE的周长是(
A.$6+2\sqrt{7}$
B.16
C.14
D.$8+2\sqrt{7}$
A
)A.$6+2\sqrt{7}$
B.16
C.14
D.$8+2\sqrt{7}$
答案
7. A
解析
【分析】
首先梳理已知条件：1. 平行四边形ABCD中，对边平行且相等，可得AB=CD=3，BC=AD=4；2. 折叠的性质：折叠前后对应图形全等，因此△BDE≌△BDC，可得DE=CD=3，BE=BC=4；3. 若ABDE为平行四边形，根据平行四边形性质，对边相等可知AB=DE=3，AE=BD，要求周长只需先求出BD的长度，再代入平行四边形周长公式计算即可。求BD时可利用平行四边形对角线平方和等于四条边平方和的性质，代入已知边长解方程即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD=3，BC=AD=4
∵ 点C沿BD折叠至点E
∴ △BDE≌△BDC，得DE=CD=3，BE=BC=4
当四边形ABDE为平行四边形时，设BD=AE=x
根据平行四边形对角线平方和等于四条边平方和的性质，ABDE的对角线为AD、BE，因此：
$AD^2 + BE^2 = AB^2 + BD^2 + DE^2 + EA^2$
代入数值：
$4^2 + 4^2 = 3^2 + x^2 + 3^2 + x^2$
$32 = 18 + 2x^2$
解得$x^2=7$，$x=\sqrt{7}$（边长为正，舍去负根）
∴ 平行四边形ABDE的周长为：
$2(AB+BD)=2×(3+\sqrt{7})=6+2\sqrt{7}$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，结合了平行四边形与折叠的性质，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等，结合平行四边形边与对角线的数量关系求出未知边长，再计算周长，需要同学们熟练掌握平行四边形的相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：1. 平行四边形ABCD中，对边平行且相等，可得AB=CD=3，BC=AD=4；2. 折叠的性质：折叠前后对应图形全等，因此△BDE≌△BDC，可得DE=CD=3，BE=BC=4；3. 若ABDE为平行四边形，根据平行四边形性质，对边相等可知AB=DE=3，AE=BD，要求周长只需先求出BD的长度，再代入平行四边形周长公式计算即可。求BD时可利用平行四边形对角线平方和等于四条边平方和的性质，代入已知边长解方程即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD=3，BC=AD=4
∵ 点C沿BD折叠至点E
∴ △BDE≌△BDC，得DE=CD=3，BE=BC=4
当四边形ABDE为平行四边形时，设BD=AE=x
根据平行四边形对角线平方和等于四条边平方和的性质，ABDE的对角线为AD、BE，因此：
$AD^2 + BE^2 = AB^2 + BD^2 + DE^2 + EA^2$
代入数值：
$4^2 + 4^2 = 3^2 + x^2 + 3^2 + x^2$
$32 = 18 + 2x^2$
解得$x^2=7$，$x=\sqrt{7}$（边长为正，舍去负根）
∴ 平行四边形ABDE的周长为：
$2(AB+BD)=2×(3+\sqrt{7})=6+2\sqrt{7}$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，结合了平行四边形与折叠的性质，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等，结合平行四边形边与对角线的数量关系求出未知边长，再计算周长，需要同学们熟练掌握平行四边形的相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形ABCD是矩形,顶点A,B,C,D的坐标分别为(-1,0),(5,0),(5,2),(-1,2),点E(3,0)在x轴上,点P在CD边上运动,使△OPE为等腰三角形,则满足条件的P点有
3
个.答案
8. 3
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需结合等腰三角形“两边相等”的性质，分三类情况讨论△OPE为等腰三角形的可能：①OP=OE；②PE=OE；③OP=PE。首先明确OE长度为3，点P在CD边上运动，因此P点纵坐标恒为2，横坐标的取值范围是-1≤x≤5，我们只需对每种情况列方程求解，再验证解是否在横坐标的取值范围内，即可得到符合条件的P点个数。
【解析】
已知O(0,0)，E(3,0)，因此OE的长度为3；
CD为矩形的边，D(-1,2)、C(5,2)，因此点P在CD上运动时，可设P点坐标为(x,2)，且-1≤x≤5。
分三种情况讨论：
1. 当OP=OE=3时，由勾股定理得：
$OP^2=x^2+2^2=9$，解得$x=\sqrt{5}$或$x=-\sqrt{5}$
$\because -\sqrt{5}\approx-2.24＜-1$，不符合横坐标范围，舍去；$\sqrt{5}\approx2.24$在[-1,5]范围内，因此该情况有1个符合条件的P点。
2. 当PE=OE=3时，由勾股定理得：
$PE^2=(x-3)^2+2^2=9$，解得$x=3+\sqrt{5}$或$x=3-\sqrt{5}$
$\because 3+\sqrt{5}\approx5.24＞5$，不符合横坐标范围，舍去；$3-\sqrt{5}\approx0.76$在[-1,5]范围内，因此该情况有1个符合条件的P点。
3. 当OP=PE时，有$OP^2=PE^2$，即：
$x^2+2^2=(x-3)^2+2^2$，化简得$x^2=(x-3)^2$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$，在[-1,5]范围内，因此该情况有1个符合条件的P点。
综上，符合条件的P点共有1+1+1=3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需全面考虑等腰三角形的腰的所有可能情况，同时要结合点的运动范围对求出的解进行取舍，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需结合等腰三角形“两边相等”的性质，分三类情况讨论△OPE为等腰三角形的可能：①OP=OE；②PE=OE；③OP=PE。首先明确OE长度为3，点P在CD边上运动，因此P点纵坐标恒为2，横坐标的取值范围是-1≤x≤5，我们只需对每种情况列方程求解，再验证解是否在横坐标的取值范围内，即可得到符合条件的P点个数。
【解析】
已知O(0,0)，E(3,0)，因此OE的长度为3；
CD为矩形的边，D(-1,2)、C(5,2)，因此点P在CD上运动时，可设P点坐标为(x,2)，且-1≤x≤5。
分三种情况讨论：
1. 当OP=OE=3时，由勾股定理得：
$OP^2=x^2+2^2=9$，解得$x=\sqrt{5}$或$x=-\sqrt{5}$
$\because -\sqrt{5}\approx-2.24＜-1$，不符合横坐标范围，舍去；$\sqrt{5}\approx2.24$在[-1,5]范围内，因此该情况有1个符合条件的P点。
2. 当PE=OE=3时，由勾股定理得：
$PE^2=(x-3)^2+2^2=9$，解得$x=3+\sqrt{5}$或$x=3-\sqrt{5}$
$\because 3+\sqrt{5}\approx5.24＞5$，不符合横坐标范围，舍去；$3-\sqrt{5}\approx0.76$在[-1,5]范围内，因此该情况有1个符合条件的P点。
3. 当OP=PE时，有$OP^2=PE^2$，即：
$x^2+2^2=(x-3)^2+2^2$，化简得$x^2=(x-3)^2$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$，在[-1,5]范围内，因此该情况有1个符合条件的P点。
综上，符合条件的P点共有1+1+1=3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需全面考虑等腰三角形的腰的所有可能情况，同时要结合点的运动范围对求出的解进行取舍，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图,将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,使点B落在AD边上的点E处,连结BG交CE于点H,连结BE.若$BC=2AB=2$,则BG的长为
√7
.答案
9. $\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时先利用旋转和矩形的性质得到相等的边和角，先在Rt△CDE中根据边的关系得出∠DCE的度数，进而求出∠BCG的度数；再通过作GM垂直BC的延长线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出CM、GM的长度，最后用勾股定理计算BG的长度即可。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，
∴ CE=BC=2，CG=CD=AB=1，∠ECG=∠BCD=∠D=90°。
在Rt△CDE中，CE=2，CD=1，即CE=2CD，
∴ ∠CED=30°，
∴ ∠DCE=90°-∠CED=60°，
∴ ∠BCE=∠BCD - ∠DCE=90°-60°=30°，
∴ ∠BCG=∠BCE + ∠ECG=30°+90°=120°。
过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，
则∠GCM=180°-∠BCG=60°，∠CGM=90°-60°=30°。
在Rt△CGM中，∠CGM=30°，CG=1，
∴ CM=½CG=½，
由勾股定理得：$GM=\sqrt{CG^2 - CM^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∴ $BM=BC + CM=2 + \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
在Rt△BGM中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BM^2 + GM^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4}}=\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
旋转的性质、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转、矩形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，利用特殊直角三角形的性质求出对应线段的长度。
【难度系数】
0.65
解题时先利用旋转和矩形的性质得到相等的边和角，先在Rt△CDE中根据边的关系得出∠DCE的度数，进而求出∠BCG的度数；再通过作GM垂直BC的延长线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出CM、GM的长度，最后用勾股定理计算BG的长度即可。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，
∴ CE=BC=2，CG=CD=AB=1，∠ECG=∠BCD=∠D=90°。
在Rt△CDE中，CE=2，CD=1，即CE=2CD，
∴ ∠CED=30°，
∴ ∠DCE=90°-∠CED=60°，
∴ ∠BCE=∠BCD - ∠DCE=90°-60°=30°，
∴ ∠BCG=∠BCE + ∠ECG=30°+90°=120°。
过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，
则∠GCM=180°-∠BCG=60°，∠CGM=90°-60°=30°。
在Rt△CGM中，∠CGM=30°，CG=1，
∴ CM=½CG=½，
由勾股定理得：$GM=\sqrt{CG^2 - CM^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∴ $BM=BC + CM=2 + \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
在Rt△BGM中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BM^2 + GM^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4}}=\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
旋转的性质、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转、矩形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，利用特殊直角三角形的性质求出对应线段的长度。
【难度系数】
0.65
