6. 如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1) 求证:四边形ABCD是矩形.

(2) 若DE⊥AC交BC于E,∠ADB:∠CDB=2:3,则∠BDE的度数是多少?

6. (1) 证明:
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形. (2)
∵∠ADC=90°,∠ADB:∠CDB=2:3,
∴∠ADB=36°
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OD,
∴∠OAD=∠ADB=36°,
∴∠DOC=72°.
∵DE⊥AC,
∴∠BDE=90°−∠DOC=18°.

【分析】
(1) 要证四边形ABCD是矩形，可走“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的路径：首先由对角线互相平分的判定定理可证四边形是平行四边形，再结合平行四边形对角相等、已知两角和为180°的条件，可推出内角为90°，满足矩形判定要求。
(2) 求∠BDE的度数：首先利用矩形内角为90°的性质，结合角度比例算出∠ADB的度数；再根据矩形对角线相等且互相平分的性质，得到等腰三角形，推出对应角相等，利用外角性质求出∠DOC的度数；最后结合DE垂直AC的直角条件，用直角三角形两锐角互余的关系即可算出∠BDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴∠ABC=∠ADC（平行四边形对角相等），
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵∠ADC=90°，∠ADB:∠CDB=2:3，且∠ADB+∠CDB=∠ADC，
∴∠ADB=90°×$\frac{2}{2+3}$=36°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD（矩形对角线相等且互相平分），
∴∠OAD=∠ADB=36°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADB=72°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∵DE⊥AC，
∴∠DOC+∠BDE=90°，
∴∠BDE=90°−72°=18°。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形，证明成立；
(2) ∠BDE的度数是18°。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、矩形的性质
【点评】
本题侧重考察特殊平行四边形的判定与性质的基础应用，第一问是常规的矩形判定推导，第二问需要结合角度关系、等腰三角形性质、直角三角形性质综合计算，解题时要理清角与角之间的数量关系，保证推导逻辑严谨。
【难度系数】
0.7