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2. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为(
A.27°
B.53°
C.57°
D.63°
D
)A.27°
B.53°
C.57°
D.63°
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先结合图形和已知条件梳理关系：首先矩形的四个内角为90°，且对边互相平行；其次杯中水面是水平的，因此AE与图中下方的水平面平行。第一步先根据平角定义和矩形内角特征，求出AB与水平面的夹角；第二步利用平行线的内错角相等，得到∠BAE的度数；第三步再结合AB//CD的性质，再次利用内错角相等即可求出∠AED的大小。
【解析】
解：设下方水平面所在直线为BF，F在B的右侧，已知∠CBF=27°
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=90°，AB//CD
∵ 点A、E在水面上，水面为水平线，因此AE//BF
∴ ∠ABF = 180° - ∠ABC - ∠CBF = 180° - 90° - 27° = 63°
∵ AE//BF，
∴ ∠BAE = ∠ABF = 63°（两直线平行，内错角相等）
又
∵ AB//CD，
∴ ∠AED = ∠BAE = 63°（两直线平行，内错角相等）
【答案】D
【知识点】
矩形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的倒水场景出题，需要学生将生活常识（水面水平）转化为数学中的平行关系，再结合矩形和平行线的角度性质求解，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图形和已知条件梳理关系：首先矩形的四个内角为90°，且对边互相平行；其次杯中水面是水平的，因此AE与图中下方的水平面平行。第一步先根据平角定义和矩形内角特征，求出AB与水平面的夹角；第二步利用平行线的内错角相等，得到∠BAE的度数；第三步再结合AB//CD的性质，再次利用内错角相等即可求出∠AED的大小。
【解析】
解：设下方水平面所在直线为BF，F在B的右侧，已知∠CBF=27°
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=90°，AB//CD
∵ 点A、E在水面上，水面为水平线，因此AE//BF
∴ ∠ABF = 180° - ∠ABC - ∠CBF = 180° - 90° - 27° = 63°
∵ AE//BF，
∴ ∠BAE = ∠ABF = 63°（两直线平行，内错角相等）
又
∵ AB//CD，
∴ ∠AED = ∠BAE = 63°（两直线平行，内错角相等）
【答案】D
【知识点】
矩形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的倒水场景出题，需要学生将生活常识（水面水平）转化为数学中的平行关系，再结合矩形和平行线的角度性质求解，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 已知在四边形ABCD中，$∠ ABC=90°$,再补充一个条件使得ABCD为矩形,这个条件可以是(
A.$AC=BD$
B.$AB=BC$
C.$AC$与$BD$互相平分
D.$AC⊥ BD$
C
)A.$AC=BD$
B.$AB=BC$
C.$AC$与$BD$互相平分
D.$AC⊥ BD$
答案
3.C
解析
【分析】
要判定四边形ABCD是矩形，已知∠ABC=90°，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，我们只需要先证明四边形ABCD是平行四边形即可。接下来逐一分析各选项是否能推出ABCD是平行四边形，或者满足矩形的判定条件。
【解析】
矩形的判定规则：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。
已知四边形ABCD中∠ABC=90°，逐一分析选项：
选项A：AC=BD，直角梯形也可满足一个内角为90°且对角线相等，无法判定是矩形，排除；
选项B：AB=BC，仅能说明△ABC是等腰直角三角形，无法推出四边形是矩形，排除；
选项C：AC与BD互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得ABCD是平行四边形，又因为∠ABC=90°，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定规则，该选项符合要求；
选项D：AC⊥BD是菱形的相关判定条件，无法推出四边形是矩形，排除。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定逻辑，解题关键是明确矩形的判定前提，区分矩形、菱形等不同特殊四边形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判定四边形ABCD是矩形，已知∠ABC=90°，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，我们只需要先证明四边形ABCD是平行四边形即可。接下来逐一分析各选项是否能推出ABCD是平行四边形，或者满足矩形的判定条件。
【解析】
矩形的判定规则：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。
已知四边形ABCD中∠ABC=90°，逐一分析选项：
选项A：AC=BD，直角梯形也可满足一个内角为90°且对角线相等，无法判定是矩形，排除；
选项B：AB=BC，仅能说明△ABC是等腰直角三角形，无法推出四边形是矩形，排除；
选项C：AC与BD互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得ABCD是平行四边形，又因为∠ABC=90°，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定规则，该选项符合要求；
选项D：AC⊥BD是菱形的相关判定条件，无法推出四边形是矩形，排除。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定逻辑，解题关键是明确矩形的判定前提，区分矩形、菱形等不同特殊四边形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
4. 如图,矩形ABCD对角线AC=10,BC=6,则图中四个小矩形的周长和为
28
.答案
4. 28
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①先利用矩形的性质和勾股定理求出大矩形ABCD的长AB的长度：矩形内角为直角，因此△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC，可直接用勾股定理算AB；②再利用平移法求四个小矩形的总周长：把所有小矩形的水平边向大矩形的上下边平移，竖直边向大矩形的左右边平移，会发现四个小矩形的周长和恰好等于大矩形ABCD的周长，代入边长计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，AD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=10，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
将四个小矩形的水平边分别平移至AB、CD边，竖直边分别平移至AD、BC边，可得四个小矩形的周长之和等于矩形ABCD的周长。
∴ 四个小矩形周长和 $=2×(AB+BC)=2×(8+6)=28$。
【答案】
28
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，平移法求周长
【点评】
本题巧妙运用平移思想将分散的小矩形边长转化为大矩形的边长，避免了逐个计算小矩形周长的繁琐，能有效考查学生的图形转化能力，解题的关键是发现小矩形周长和与大矩形周长的等价关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：①先利用矩形的性质和勾股定理求出大矩形ABCD的长AB的长度：矩形内角为直角，因此△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC，可直接用勾股定理算AB；②再利用平移法求四个小矩形的总周长：把所有小矩形的水平边向大矩形的上下边平移，竖直边向大矩形的左右边平移，会发现四个小矩形的周长和恰好等于大矩形ABCD的周长，代入边长计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，AD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=10，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
将四个小矩形的水平边分别平移至AB、CD边，竖直边分别平移至AD、BC边，可得四个小矩形的周长之和等于矩形ABCD的周长。
∴ 四个小矩形周长和 $=2×(AB+BC)=2×(8+6)=28$。
【答案】
28
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，平移法求周长
【点评】
本题巧妙运用平移思想将分散的小矩形边长转化为大矩形的边长，避免了逐个计算小矩形周长的繁琐，能有效考查学生的图形转化能力，解题的关键是发现小矩形周长和与大矩形周长的等价关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图,四边形ABCD与AEGF均为矩形,点E、F分别在线段AB、AD上.若BE=FD=2 cm,矩形AEGF的周长为20 cm,则图中阴影部分的面积为
24 cm²
. 答案
5. 24 cm²
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“大面积减小面积”的思路：用矩形ABCD的面积减去空白矩形AEGF的面积。首先根据矩形AEGF的周长求出它的相邻两边之和，再分别表示出大矩形ABCD的长和宽，代入面积差的表达式后，利用整体代入法计算即可，无需单独求出小矩形的长和宽。
【解析】
设$AE = a\ \mathrm{cm}$，$AF = b\ \mathrm{cm}$。
∵ 矩形AEGF的周长为20 cm，
∴ $2(a + b) = 20$，即$a + b = 10$。
由题意可知，矩形ABCD的长$AD = AF + FD = (b + 2)\ \mathrm{cm}$，宽$AB = AE + BE = (a + 2)\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积 = 矩形ABCD的面积 - 矩形AEGF的面积
$= AB· AD - AE· AF$
$= (a + 2)(b + 2) - ab$
展开化简得：$= ab + 2a + 2b + 4 - ab = 2(a + b) + 4$
将$a + b = 10$代入上式，得：
$2×10 + 4 = 24\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{24\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
矩形面积计算，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题通过面积差法求解阴影面积，解题关键是利用整体代入的思想简化计算，不需要单独求出小矩形的边长，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用“大面积减小面积”的思路：用矩形ABCD的面积减去空白矩形AEGF的面积。首先根据矩形AEGF的周长求出它的相邻两边之和，再分别表示出大矩形ABCD的长和宽，代入面积差的表达式后，利用整体代入法计算即可，无需单独求出小矩形的长和宽。
【解析】
设$AE = a\ \mathrm{cm}$，$AF = b\ \mathrm{cm}$。
∵ 矩形AEGF的周长为20 cm，
∴ $2(a + b) = 20$，即$a + b = 10$。
由题意可知，矩形ABCD的长$AD = AF + FD = (b + 2)\ \mathrm{cm}$，宽$AB = AE + BE = (a + 2)\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积 = 矩形ABCD的面积 - 矩形AEGF的面积
$= AB· AD - AE· AF$
$= (a + 2)(b + 2) - ab$
展开化简得：$= ab + 2a + 2b + 4 - ab = 2(a + b) + 4$
将$a + b = 10$代入上式，得：
$2×10 + 4 = 24\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{24\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
矩形面积计算，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题通过面积差法求解阴影面积，解题关键是利用整体代入的思想简化计算，不需要单独求出小矩形的边长，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
