登录
23.(8分)小能到某体育用品商店购物,他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类,若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元;若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元。
(1)求每个篮球和每副羽毛球拍各多少元。
(2)“暑假”期间,该体育用品商店举行让利促销活动,篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售,小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5。
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售。
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍,最后扫码支付了281.6元,则他有几种购买方案?请说明理由。
(1)求每个篮球和每副羽毛球拍各多少元。
(2)“暑假”期间,该体育用品商店举行让利促销活动,篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售,小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5。
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售。
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍,最后扫码支付了281.6元,则他有几种购买方案?请说明理由。
答案
23.(1)设每个篮球需要x元,每副羽毛球拍需要y元。依题意得$\begin{cases}3x+8y=416, \\ 6x+y=232,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=32, \\ y=40,\end{cases}$所以每个篮球需要32元,每副羽毛球拍需要40元。(2)①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售。依题意得$\dfrac{256}{32×0.1m}+5=\dfrac{480}{40×0.1m}$,解得$m=8$,经检验,$m=8$是原方程的解,且符合题意。所以商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售。②他有2种购买方案。理由如下:设小能购买了a个篮球,b副羽毛球拍。依题意得$32×0.8a+40×0.8b=281.6$,化简得$4a+5b=44$。因为a,b均为正整数,所以$\begin{cases}a=1, \\ b=8\end{cases}$或$\begin{cases}a=6, \\ b=4。\end{cases}$所以小能有2种购买方案。
解析
【分析】
本题为购物类方程应用问题，分三小问逐步解决：第(1)问需通过二元一次方程组求解篮球和羽毛球拍的单价，关键是根据两种购买组合的总价建立等量关系；第(2)①问是折扣问题，需结合打折后单价，利用“两种商品购买数量的差值”列分式方程，注意解后要检验；第(2)②问需根据打折后的总支付金额建立二元一次方程，再结合“购买数量为正整数”的限定条件，找出所有符合要求的解，确定购买方案数量。
【解析】
(1)设每个篮球需要$x$元，每副羽毛球拍需要$y$元。
依题意得方程组：$\begin{cases}3x + 8y = 416 \\ 6x + y = 232 \end{cases}$
解方程组：由第二个方程得$y = 232 - 6x$，代入第一个方程：
$3x + 8(232 - 6x) = 416$
$3x + 1856 - 48x = 416$
$-45x = -1440$，解得$x = 32$
则$y = 232 - 6×32 = 40$
即每个篮球32元，每副羽毛球拍40元。
(2)①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行$m$折销售。
打折后篮球单价为$32×0.1m$元，羽毛球拍单价为$40×0.1m$元。
依题意：用256元买篮球的个数比480元买羽毛球拍的副数少5，列方程：
$\dfrac{256}{32×0.1m} + 5 = \dfrac{480}{40×0.1m}$
化简得：$\dfrac{80}{m} + 5 = \dfrac{120}{m}$
移项得：$\dfrac{40}{m} = 5$，解得$m = 8$
经检验，$m=8$是原方程的解，且符合题意，即打八折。
②设小能购买了$a$个篮球，$b$副羽毛球拍（$a,b$为正整数）。
打折后篮球单价为$32×0.8=25.6$元，羽毛球拍单价为$40×0.8=32$元。
依题意：$25.6a + 32b = 281.6$
两边同除以6.4化简得：$4a + 5b = 44$
找正整数解：
当$b=8$时，$4a=44-40=4$，$a=1$；
当$b=4$时，$4a=44-20=24$，$a=6$；
当$b=0$时，$a=11$（但购买羽毛球拍副数为0不符合题意，舍去）；
其他$b$值时$a$非正整数，故有2种购买方案。
【答案】
(1)每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元；
(2)①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售；②他有2种购买方案。
【知识点】
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合实际购物场景，综合考查方程类应用问题，需学生准确提取等量关系，注意分式方程的检验步骤，以及正整数解的限定条件，是初中数学方程应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题为购物类方程应用问题，分三小问逐步解决：第(1)问需通过二元一次方程组求解篮球和羽毛球拍的单价，关键是根据两种购买组合的总价建立等量关系；第(2)①问是折扣问题，需结合打折后单价，利用“两种商品购买数量的差值”列分式方程，注意解后要检验；第(2)②问需根据打折后的总支付金额建立二元一次方程，再结合“购买数量为正整数”的限定条件，找出所有符合要求的解，确定购买方案数量。
【解析】
(1)设每个篮球需要$x$元，每副羽毛球拍需要$y$元。
依题意得方程组：$\begin{cases}3x + 8y = 416 \\ 6x + y = 232 \end{cases}$
解方程组：由第二个方程得$y = 232 - 6x$，代入第一个方程：
$3x + 8(232 - 6x) = 416$
$3x + 1856 - 48x = 416$
$-45x = -1440$，解得$x = 32$
则$y = 232 - 6×32 = 40$
即每个篮球32元，每副羽毛球拍40元。
(2)①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行$m$折销售。
打折后篮球单价为$32×0.1m$元，羽毛球拍单价为$40×0.1m$元。
依题意：用256元买篮球的个数比480元买羽毛球拍的副数少5，列方程：
$\dfrac{256}{32×0.1m} + 5 = \dfrac{480}{40×0.1m}$
化简得：$\dfrac{80}{m} + 5 = \dfrac{120}{m}$
移项得：$\dfrac{40}{m} = 5$，解得$m = 8$
经检验，$m=8$是原方程的解，且符合题意，即打八折。
②设小能购买了$a$个篮球，$b$副羽毛球拍（$a,b$为正整数）。
打折后篮球单价为$32×0.8=25.6$元，羽毛球拍单价为$40×0.8=32$元。
依题意：$25.6a + 32b = 281.6$
两边同除以6.4化简得：$4a + 5b = 44$
找正整数解：
当$b=8$时，$4a=44-40=4$，$a=1$；
当$b=4$时，$4a=44-20=24$，$a=6$；
当$b=0$时，$a=11$（但购买羽毛球拍副数为0不符合题意，舍去）；
其他$b$值时$a$非正整数，故有2种购买方案。
【答案】
(1)每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元；
(2)①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售；②他有2种购买方案。
【知识点】
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合实际购物场景，综合考查方程类应用问题，需学生准确提取等量关系，注意分式方程的检验步骤，以及正整数解的限定条件，是初中数学方程应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
