21.(6分)如图,已知$AB// CD$,$∠ B=∠ D$,AE交BC的延长线于点E。
(1)求证:$AD// BE$。
(2)若$∠ 1=∠ 2=60°$,$∠ BAC=2∠ EAC$,求$∠ B$的度数。

21.(1)因为$AB// CD$,所以$∠ B=∠ DCE$。因为$∠ B=∠ D$,所以$∠ DCE=∠ D$。所以$AD// BE$。(2)因为$AB// CD$,$∠ 2=60°$,所以$∠ BAE=∠ 2=60°$,$∠ BAC=∠ ACD$,$∠ B=∠ DCE$。所以$∠ EAC+∠ BAC=60°$。因为$∠ BAC=2∠ EAC$,所以$∠ EAC=20°$。所以$∠ BAC=∠ ACD=40°$。因为$∠ 1+∠ ACD+∠ DCE=180°$,所以$∠ DCE=180°-∠ 1-∠ ACD=180°-60°-40°=80°$。所以$∠ B=∠ DCE=80°$。

【分析】
要解决本题，第一问需利用平行线的性质和判定定理：已知AB//CD，可得同位角∠B=∠DCE，结合∠B=∠D，等量代换得到内错角∠D=∠DCE，从而证明AD//BE；第二问需结合平行线的性质、平角定义和角的倍数关系，先由AB//CD得出∠BAE=∠2，再根据∠BAC与∠EAC的倍数关系算出两角，进而求出∠ACD，最后利用平角求出∠DCE，结合平行线性质得到∠B。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠B = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠B = ∠D（已知），
∴ ∠D = ∠DCE（等量代换），
∴ AD//BE（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠BAE = ∠2 = 60°（两直线平行，同位角相等），
∠BAC = ∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∠B = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠BAE = ∠EAC + ∠BAC = 60°，且∠BAC = 2∠EAC，
设∠EAC = x，则∠BAC = 2x，
∴ x + 2x = 60°，解得x = 20°，
∴ ∠BAC = 2×20° = 40°，
∴ ∠ACD = 40°。
又
∵ ∠1 + ∠ACD + ∠DCE = 180°（平角的定义），∠1=60°，
∴ ∠DCE = 180° - 60° - 40° = 80°，
∴ ∠B = ∠DCE = 80°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠B的度数为80°。
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、平角定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定，需熟练运用平行线相关定理，理清角的等量关系逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.5

22. (6分)两个边长分别为a和b的正方形如图1放置,其未重叠部分(阴影)的面积为$S_{1}$;若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形(如图2),两个小正方形重叠部分(阴影)的面积为$S_{2}$;图3中A为BC的中点,阴影部分的面积为$S_{3}$。

(1)用含a,b的代数式分别表示$S_{1},S_{2}$。
(2)若$a+b=7,ab=11$。
①求$S_{1}+S_{2}$的值。
②求$S_{3}$的值。

22.(1)$S_1=a^2-b^2$,$S_2=b(2b-a)=2b^2-ab$。(2)①$S_1+S_2=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=7^2-33=16$。②因为A是BC的中点,所以$AB=AC=\dfrac{a+b}{2}$。所以$S_3=a^2+b^2-\dfrac{1}{2}×\dfrac{a(a+b)}{2}-\dfrac{1}{2}×\dfrac{b(a+b)}{2}=\dfrac{3a^2+3b^2-2ab}{4}=\dfrac{3(a+b)^2-8ab}{4}=\dfrac{3×49-88}{4}=\dfrac{59}{4}$。

【分析】
要解决本题，需先分析三个图形的面积构成，推导阴影部分面积的代数式，再结合已知条件代入计算：
1. 图1中，阴影面积为大正方形面积减去空白小正方形面积，直接列式得S₁；
2. 图2中，阴影面积为两个小正方形的面积和减去重叠部分的面积，重叠部分是长为b、宽为(2b -a)的长方形，由此推导S₂；
3. 计算S₁+S₂时，将S₁和S₂的代数式相加，利用完全平方公式变形，结合a+b和ab的值用整体代入法求值；
4. 图3中，阴影面积为两个正方形面积和减去两个空白三角形的面积，利用A是BC中点的条件确定三角形的底，化简后代入求值。
【解析】
(1) 求S₁和S₂：
图1中，大正方形边长为a，面积为a²，空白小正方形边长为b，面积为b²，因此S₁ = a² - b²；
图2中，两个边长为b的小正方形面积和为2b²，重叠部分是长为b、宽为(b - (a - b))=2b - a的长方形，面积为b(2b - a)=2b² - ab，故S₂ = 2b² - ab；
(2) ① 计算S₁+S₂：
将S₁与S₂相加：
S₁ + S₂ = (a² - b²) + (2b² - ab) = a² + b² - ab；
利用完全平方公式变形：a² + b² = (a + b)² - 2ab，代入得：
S₁ + S₂ = (a + b)² - 2ab - ab = (a + b)² - 3ab；
已知a + b=7，ab=11，代入得：
S₁ + S₂ = 7² - 3×11 = 49 - 33 = 16；
② 计算S₃：
图3中，A是BC中点，BC长为a + b，故AB=AC=(a + b)/2；
阴影面积 = 两个正方形面积和 - 两个空白三角形面积，即：
S₃ = a² + b² - (1/2)×AB×a - (1/2)×AC×b；
代入AB=AC=(a + b)/2，得：
S₃ = a² + b² - (1/2)×(a + b)/2 ×a - (1/2)×(a + b)/2 ×b
= a² + b² - (a(a + b) + b(a + b))/4
= a² + b² - (a + b)²/4
= (4a² + 4b² - a² - 2ab - b²)/4
= (3a² + 3b² - 2ab)/4；
将a + b=7，ab=11代入，先计算a² + b²=(a + b)² - 2ab=49 - 22=27，因此：
S₃=(3×27 - 2×11)/4=(81 - 22)/4=59/4；
【答案】
(1) S₁=a² - b²，S₂=2b² - ab；(2) ①16；②59/4；
【知识点】
整式的加减、代数式求值、图形面积计算；
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，考查学生根据图形面积关系推导代数式的能力，以及整体代入法在代数式求值中的应用，题型常规，难度适中，需注意图形中边长的关系分析。
【难度系数】
0.6