24.(12分)【创设情境】在七年级数学活动课上,老师带领学生用一副三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动。老师让同学们将两把三角尺EFG和HMN(∠GEF=∠MHN=90°,∠MNH=60°,∠HMN=30°,∠EGF=∠EFG=45°)按要求摆放并旋转。已知AB//CD,如图1,把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上,把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上,HM经过点E。

(1)若∠GEM=120°,∠DEF=20°,求∠AHN的度数。
【操作探究】
(2)如图2,绕点H按逆时针方向旋转三角尺HMN,恰好可以使得点G与点N重合,此时测得∠FGM=20°,请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系。
【深度探究】
(3)在(1)的条件下,将三角尺GEF绕点E以每秒3°的速度按逆时针方向旋转,同时将三角尺HMN绕点H以每秒2°的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为t s(0≤t≤60)。请直接写出当HN与三角形EGF的一边平行时t的值。

24.(1)因为$∠ GEM=120°$,所以$∠ GEH=180°-120°=60°$。因为$∠ GEF=90°$,所以$∠ FEH=90°-60°=30°$。因为$∠ DEF=20°$,所以$∠ DEH=∠ DEF+∠ FEH=20°+30°=50°$。因为$AB// CD$,所以$∠ AHM=∠ DEH=50°$。因为$∠ MHN=90°$,所以$∠ AHN=90°-50°=40°$。(2)设$∠ DEF=x$。因为$∠ FEG=90°$,所以$∠ CEG=90°-x$。因为$∠ FGM=20°$,$∠ MGH=60°$,所以$∠ FGH=60°-20°=40°$。因为$∠ EGF=45°$,所以$∠ EGH=∠ EGF+∠ FGH=85°$。由$AB// CD$,易得$∠ AHG+∠ CEG=∠ EGH$。所以$∠ AHG=85°-(90°-x)=x-5°$。所以$∠ AHG=∠ DEF-5°$。(3)如图,过点F作$FK// ED$。由(1)可得,$∠ AHN=40°$,$∠ DEF=20°$,根据条件可得,$∠ NHB=140°-2t°$,$∠ GED=110°+3t°$,$∠ DEF=20°+3t°$,$∠ GFK=155°+3t°$。①当$NH// GF$时,$|140-2t-155-3t|=0$或$|140-2t-155-3t|=180$,解得$t=33$;②当$NH// EF$时,$|140-2t-20-3t|=0$或$|140-2t-20-3t|=180$,解得$t=24$或60;③当$NH// EG$时,$|140-2t-110-3t|=0$或180,解得$t=6$或42。综上所述,当HN与三角形EGF的一边平行时t的值为6或24或33或42或60。

【分析】
第(1)问：利用平角定义求出∠GEH，结合三角尺EFG的直角∠GEF=90°得到∠FEH，再结合已知∠DEF算出∠DEH，最后由AB//CD的内错角相等得∠AHM，根据三角尺HMN的直角∠MHN=90°，计算∠AHN；第(2)问设∠DEF=x，利用平角和三角尺直角表示∠CEG，结合三角尺HMN的角度算出∠EGH，再根据AB//CD的拐点平行线性质推导∠AHG与∠DEF的关系；第(3)问先确定旋转后各角的表达式，再分HN分别与△EGF的三边平行的三种情况，利用平行线的角度关系列方程，结合t的范围求解，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 因为∠GEM=120°，∠GEM与∠GEH组成平角，所以∠GEH = 180° - 120° = 60°。
又∠GEF=90°（三角尺EFG的直角），故∠FEH = ∠GEF - ∠GEH = 90° - 60° = 30°。
已知∠DEF=20°，则∠DEH = ∠DEF + ∠FEH = 20° + 30° = 50°。
因为AB//CD，所以∠AHM = ∠DEH = 50°（两直线平行，内错角相等）。
又∠MHN=90°（三角尺HMN的直角），所以∠AHN = ∠MHN - ∠AHM = 90° - 50° = 40°。
(2) 设∠DEF = x。
因为∠GEF=90°，所以∠CEG = 180° - ∠DEF - ∠GEF = 90° - x。
由三角尺HMN的角度，∠MGH=60°，已知∠FGM=20°，故∠FGH=∠MGH - ∠FGM=60° - 20°=40°。
又∠EGF=45°，所以∠EGH=∠EGF + ∠FGH=45° + 40°=85°。
过G作GK//AB，因AB//CD，故GK//CD，得∠AHG=∠HGK，∠CEG=∠EGK，因此∠EGH=∠AHG + ∠CEG，即85°=∠AHG + (90° - x)，整理得∠AHG = x - 5°，即∠AHG=∠DEF -5°。
(3) 旋转t秒后，结合旋转速度和初始角度，可得相关角度：∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠DEF=20°+3t°，∠GFK=155°+3t°。分三种情况：
① 当HN//GF时，列方程得t=-3（舍去），无符合范围解；
② 当HN//EF时，|140-2t - (20+3t)|=0或180，解得t=24或t=60（均在0≤t≤60范围内）；
③ 当HN//EG时，|140-2t - (110+3t)|=0或180，解得t=6或t=42（均在范围内）。
综上，t的值为6或24或33或42或60。
【答案】
(1) 40°；(2) ∠AHG=∠DEF -5°；(3) t的值为6或24或33或42或60。
【知识点】
平行线的性质、三角尺的角度计算、旋转的性质
【点评】
本题为七年级几何综合题，融合平行线性质、三角尺角度与旋转知识，第(1)(2)问侧重基础角度推导，第(3)问需分类讨论HN与三角形三边平行的情况，对逻辑分析和分类讨论能力要求较高，是七年级几何的难点题型。
【难度系数】
0.4