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1.(教材 P84 习题 T4 原题呈现)如图,在△ABC中,点 D,E 在边 BC 上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.
答案
1. 证明:过点 A 作 AF⊥BC 于点 F(图略).
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=CE.
解析
【分析】
要证明BD=CE，可通过推导线段差相等来实现。已知AB=AC、AD=AE，说明△ABC和△ADE都是等腰三角形，且二者的底边都在同一直线BC上，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需过点A作BC的垂线，就能得到两组底边上的相等线段，再通过等式性质作差即可得到结论。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC，AD=AE，AF是△ABC和△ADE公共的底边上的高，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得BF=CF，DF=EF。
根据等式的性质，BF-DF=CF-EF，
即BD=CE。
【答案】
证明：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF。
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE。
【知识点】
等腰三角形三线合一、等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，构造底边上的高作为辅助线，利用“三线合一”性质推导线段关系，比全等证明的方法更简便，能帮助学生理解等腰三角形相关辅助线的构造逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，可通过推导线段差相等来实现。已知AB=AC、AD=AE，说明△ABC和△ADE都是等腰三角形，且二者的底边都在同一直线BC上，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需过点A作BC的垂线，就能得到两组底边上的相等线段，再通过等式性质作差即可得到结论。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC，AD=AE，AF是△ABC和△ADE公共的底边上的高，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得BF=CF，DF=EF。
根据等式的性质，BF-DF=CF-EF，
即BD=CE。
【答案】
证明：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF。
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE。
【知识点】
等腰三角形三线合一、等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，构造底边上的高作为辅助线，利用“三线合一”性质推导线段关系，比全等证明的方法更简便，能帮助学生理解等腰三角形相关辅助线的构造逻辑。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，延长$BC$至点$E$，使$CE=CD$，连接$DE$，作$DF⊥ BC$于点$F$.求证:$BF=EF$.
答案
2. 证明:连接 BD(图略).
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D 是 AC 的中点，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°,
∴∠E=30°=∠DBE.
∴BD=DE,△BDE 是等腰三角形.
∵DF⊥BE,
∴BF=EF.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D 是 AC 的中点，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°,
∴∠E=30°=∠DBE.
∴BD=DE,△BDE 是等腰三角形.
∵DF⊥BE,
∴BF=EF.
解析
【分析】
要证明BF=EF，已知DF⊥BC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导：若能证明△BDE为等腰三角形，则DF作为底边上的高，同时也是底边上的中线，即可直接得到BF=EF。因此解题核心是证明∠DBE=∠E：首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点可推出∠DBE=30°；再根据CE=CD可知△CDE为等腰三角形，结合三角形外角的性质可推出∠E=30°，即可得到∠DBE=∠E，证明△BDE是等腰三角形，最终结合三线合一性质得证。
【解析】
证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，
∴2∠E=60°，即∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE，△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴DF是等腰△BDE底边BE上的中线，
∴BF=EF。
【答案】
BF=EF，得证
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，解题关键是通过倒推结论确定需要构造的辅助线，将等边三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质结合应用，能有效训练学生的几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
要证明BF=EF，已知DF⊥BC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导：若能证明△BDE为等腰三角形，则DF作为底边上的高，同时也是底边上的中线，即可直接得到BF=EF。因此解题核心是证明∠DBE=∠E：首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点可推出∠DBE=30°；再根据CE=CD可知△CDE为等腰三角形，结合三角形外角的性质可推出∠E=30°，即可得到∠DBE=∠E，证明△BDE是等腰三角形，最终结合三线合一性质得证。
【解析】
证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，
∴2∠E=60°，即∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE，△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴DF是等腰△BDE底边BE上的中线，
∴BF=EF。
【答案】
BF=EF，得证
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，解题关键是通过倒推结论确定需要构造的辅助线，将等边三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质结合应用，能有效训练学生的几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,过点A作AE⊥DE,AF⊥DF,垂足分别是E,F,且AE=AF.求证:∠EDB=∠FDC.
答案
3. 证明:连接 AD(图略).
∵AB=AC,D 是边 BC 的中点,
∴ AD ⊥ BC.
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°. 在Rt△AED和Rt△AFD中,$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.
∵AB=AC,D 是边 BC 的中点,
∴ AD ⊥ BC.
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°. 在Rt△AED和Rt△AFD中,$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.
解析
【分析】
要证明∠EDB=∠FDC，首先结合等腰三角形ABC中D是底边BC中点的条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，优先考虑连接AD作辅助线，可得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。观察待证的两个角可知：∠EDB=∠ADB-∠ADE，∠FDC=∠ADC-∠ADF，因此只需证明∠ADE=∠ADF即可。已知AE⊥DE、AF⊥DF，可得△AED和△AFD均为直角三角形，结合已知AE=AF、公共边AD=AD，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到对应角∠ADE=∠ADF，最后利用等式性质即可推出待证结论。
【解析】
证明：连接AD。
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\begin{cases} AD=AD\\ AE=AF \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE=∠ADF，
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF，即∠EDB=∠FDC。
【答案】
∠EDB=∠FDC
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与全等三角形的综合应用题，解题的关键是合理构造辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，再通过证明全等得到等角，进而推导出待证结论，能够锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠EDB=∠FDC，首先结合等腰三角形ABC中D是底边BC中点的条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，优先考虑连接AD作辅助线，可得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。观察待证的两个角可知：∠EDB=∠ADB-∠ADE，∠FDC=∠ADC-∠ADF，因此只需证明∠ADE=∠ADF即可。已知AE⊥DE、AF⊥DF，可得△AED和△AFD均为直角三角形，结合已知AE=AF、公共边AD=AD，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到对应角∠ADE=∠ADF，最后利用等式性质即可推出待证结论。
【解析】
证明：连接AD。
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\begin{cases} AD=AD\\ AE=AF \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE=∠ADF，
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF，即∠EDB=∠FDC。
【答案】
∠EDB=∠FDC
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与全等三角形的综合应用题，解题的关键是合理构造辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，再通过证明全等得到等角，进而推导出待证结论，能够锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB ＜ BC$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$于点$P$，连接$PC$。若$△ ABC$的面积为4，则$△ BPC$的面积为
（第4题图）
（变式题图）
【变式题】如图，$D$为$△ ABC$内一点，$CD$平分$∠ ACB$，$BD ⊥ CD$于点$D$，$∠ ABD = ∠ A$。若$BD=1$，$BC=3$，则$AC$的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
2
。（第4题图）
（变式题图）
【变式题】如图，$D$为$△ ABC$内一点，$CD$平分$∠ ACB$，$BD ⊥ CD$于点$D$，$∠ ABD = ∠ A$。若$BD=1$，$BC=3$，则$AC$的长为（
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
4. 2 【变式题】D
解析
【分析】
两道题均属于“角平分线+垂线”的典型几何模型，解题思路一致：当已知条件同时出现角平分线和垂直于角平分线的线段时，优先考虑延长垂线段与角的两边相交，构造全等三角形和等腰三角形，利用全等性质、等腰三角形性质转化线段或面积关系求解。
第4题：延长AP交BC于点D，可证△ABP≌△DBP，得到AP=PD，即P为AD中点，根据等底同高的三角形面积相等，可得△BPC的面积是△ABC面积的一半。
变式题：延长BD交AC于点E，可证△CDE≌△CDB，得到CE=BC、DE=BD，再结合∠ABD=∠A推出AE=BE，即可求出AC的长度。
【解析】
第4题解答：
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP，
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=PD，
∴ $S_{△ABP}=S_{△DBP}$，$S_{△APC}=S_{△DPC}$（等底同高的三角形面积相等），
∴ $S_{△BPC}=S_{△DBP}+S_{△DPC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2$。
变式题解答：
延长BD交AC于点E。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ECD=∠BCD，
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDE=∠CDB=90°，
在△CDE和△CDB中：
$\{\begin{array}{l}∠ECD=∠BCD \\CD=CD \\∠CDE=∠CDB\end{array} $
∴ △CDE≌△CDB（ASA），
∴ CE=BC=3，DE=BD=1，
∴ BE=BD+DE=2，
∵ ∠ABD=∠A，
∴ AE=BE=2，
∴ AC=AE+CE=2+3=5，故选D。
【答案】
4. 2 【变式题】D
【知识点】
角平分线性质；全等三角形判定与性质；等腰三角形判定与性质
【点评】
这两道题核心考查“角平分线+垂线”构造辅助线的方法，通过构造全等将零散的已知条件关联起来，是几何中非常经典的辅助线模型，熟练掌握该模型可以大幅提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.65
两道题均属于“角平分线+垂线”的典型几何模型，解题思路一致：当已知条件同时出现角平分线和垂直于角平分线的线段时，优先考虑延长垂线段与角的两边相交，构造全等三角形和等腰三角形，利用全等性质、等腰三角形性质转化线段或面积关系求解。
第4题：延长AP交BC于点D，可证△ABP≌△DBP，得到AP=PD，即P为AD中点，根据等底同高的三角形面积相等，可得△BPC的面积是△ABC面积的一半。
变式题：延长BD交AC于点E，可证△CDE≌△CDB，得到CE=BC、DE=BD，再结合∠ABD=∠A推出AE=BE，即可求出AC的长度。
【解析】
第4题解答：
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP，
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=PD，
∴ $S_{△ABP}=S_{△DBP}$，$S_{△APC}=S_{△DPC}$（等底同高的三角形面积相等），
∴ $S_{△BPC}=S_{△DBP}+S_{△DPC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2$。
变式题解答：
延长BD交AC于点E。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ECD=∠BCD，
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDE=∠CDB=90°，
在△CDE和△CDB中：
$\{\begin{array}{l}∠ECD=∠BCD \\CD=CD \\∠CDE=∠CDB\end{array} $
∴ △CDE≌△CDB（ASA），
∴ CE=BC=3，DE=BD=1，
∴ BE=BD+DE=2，
∵ ∠ABD=∠A，
∴ AE=BE=2，
∴ AC=AE+CE=2+3=5，故选D。
【答案】
4. 2 【变式题】D
【知识点】
角平分线性质；全等三角形判定与性质；等腰三角形判定与性质
【点评】
这两道题核心考查“角平分线+垂线”构造辅助线的方法，通过构造全等将零散的已知条件关联起来，是几何中非常经典的辅助线模型，熟练掌握该模型可以大幅提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.65
5. 如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F. 求证：AC=AB.
答案
5. 证明:连接 BC(图略).
∵D 是 AB 的中点,
∴AD=BD.
∵CD⊥AB,
∴点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴AC=BC. 同理易证 BC=AB,
∴AC=AB.
∵D 是 AB 的中点,
∴AD=BD.
∵CD⊥AB,
∴点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴AC=BC. 同理易证 BC=AB,
∴AC=AB.
解析
【分析】
要证明AC=AB，可通过找中间量等量代换的思路推导。观察已知条件，“中点+垂直”的组合符合线段垂直平分线的特征，因此我们可以作辅助线连接BC，先利用线段垂直平分线的性质推导AC与BC相等，再同理推导AB与BC相等，最终即可得到AC=AB的结论。
【解析】
证明：连接BC。
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵CD⊥AB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴AC=BC。
同理可证BC=AB，
∴AC=AB。
【答案】
证明:连接 BC(图略).
∵D 是 AB 的中点,
∴AD=BD.
∵CD⊥AB,
∴点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴AC=BC. 同理易证 BC=AB,
∴AC=AB.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是识别出“中点+垂直”对应线段垂直平分线的特征，通过连接公共边BC作为中间量即可快速推导结论，同学们要熟练掌握几何特征与对应定理的关联，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
要证明AC=AB，可通过找中间量等量代换的思路推导。观察已知条件，“中点+垂直”的组合符合线段垂直平分线的特征，因此我们可以作辅助线连接BC，先利用线段垂直平分线的性质推导AC与BC相等，再同理推导AB与BC相等，最终即可得到AC=AB的结论。
【解析】
证明：连接BC。
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵CD⊥AB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴AC=BC。
同理可证BC=AB，
∴AC=AB。
【答案】
证明:连接 BC(图略).
∵D 是 AB 的中点,
∴AD=BD.
∵CD⊥AB,
∴点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴AC=BC. 同理易证 BC=AB,
∴AC=AB.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是识别出“中点+垂直”对应线段垂直平分线的特征，通过连接公共边BC作为中间量即可快速推导结论，同学们要熟练掌握几何特征与对应定理的关联，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
