10.(7分)(宜宾中考)如图，D,E分别是等边三角形ABC的边BC,AC上的点，且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.

10. 证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°.又
∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.

【分析】
要证明AD=BE，可通过证明两条线段所在的△ABD和△BCE全等来推导。首先根据等边三角形的性质，可得到AB=BC、∠ABD=∠BCE=60°，再结合题目给出的BD=CE的条件，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后，根据对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
又
∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE。
【答案】
证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°.又
∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，考查利用全等证明线段相等的常用思路，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定定理，是三角形部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

11.(9分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE//AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.

11. 解:(1)
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°.
∵DE//AB,
∴∠EDF=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°.
∴∠F = 90° - ∠EDF = 30°.
(2)
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB,
∴∠DEC=∠A=60°,∠EDC=∠B=60°.
∴∠DEC=∠EDC=∠ECD.
∴△CDE为等边三角形.
∴CE=CD=2.由(1)知∠F=30°,
∴∠CEF=∠ACB-∠F=30°=∠F.
∴CF=CE=2.
∴DF=CD+CF=4.

【分析】
(1)求解∠F的度数时，首先利用等边三角形内角为60°的性质，结合DE//AB的平行线性质，先得到∠EDF的度数；再根据EF⊥DE可知△DEF是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠F的度数。
(2)求DF的长时，先拆分线段DF=CD+CF，已知CD=2，只需推导CF的长度即可。首先通过DE//AB结合等边三角形的内角，可判定△CDE是等边三角形，得到CE=CD=2；再结合(1)中∠F=30°的结论，推导得出∠CEF=∠F，根据等角对等边得到CF=CE，即可求出DF的总长度。
【解析】
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°。
∵DE//AB，
∴∠EDF=∠B=60°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°。
∴∠F = 90° - ∠EDF = 30°。
(2)
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°。
∴∠DEC=∠EDC=∠ECD。
∴△CDE为等边三角形。
∴CE=CD=2。
由(1)知∠F=30°，
∴∠CEF=∠ACB-∠F=30°=∠F。
∴CF=CE=2。
∴DF=CD+CF=2+2=4。
【答案】
(1)∠F=30°；(2)DF=4
【知识点】
等边三角形的性质与判定；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题属于等边三角形相关的基础综合题，解题核心是通过平行线性质完成角度转化，准确识别出等边三角形，再结合角度的等量关系推导线段的等量关系，是对几何基础性质应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7

12.(12分)如图,在等边三角形ABC中,D是边AB上的动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE.
(1)求证:AE//BC;
(2)当点D运动到什么位置时,BC⊥EC?为什么?

12. (1)证明:
∵△ABC和△EDC均为等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠B=∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,即∠BCD=∠ACE. 在△BCD 和 △ACE 中,{BC=AC,∠BCD=∠ACE,CD=CE,
∴△BCD≌△ACE(SAS).
∴∠B=∠CAE. 又
∵∠B=∠ACB,
∴∠CAE=∠ACB.
∴AE//BC.
(2)解:当点 D 运动到 AB 的中点时,BC⊥EC. 理由如下:
∵△ABC为等边三角形,D 为 AB 边的中点,
∴CD⊥AB.
∴∠BDC = 90°. 由 (1) 知 △BCD ≌ △ACE,
∴∠AEC=∠BDC=90°.
∵ AE // BC,
∴ ∠BCE = 180°-∠AEC=90°.
∴BC⊥EC.

【分析】
(1) 要证AE//BC，可通过证明内错角∠CAE=∠ACB实现。首先利用等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，推导得出∠BCD=∠ACE，再通过SAS判定△BCD≌△ACE，得到∠B=∠CAE，结合∠B=∠ACB即可得到内错角相等，进而证明平行。
(2) 要确定使BC⊥EC时点D的位置，可逆向推导：若BC⊥EC，结合(1)的结论AE//BC可得∠AEC=90°，再结合全等三角形对应角相等的性质可得∠BDC=90°，根据等边三角形“三线合一”的性质，即可推出D为AB的中点，再正向验证该位置满足垂直关系即可。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△EDC均为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠B=∠ACB=∠DCE=60°。
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE。
在△BCD 和 △ACE 中，
$\{\begin{array}{l} BC=AC\\ ∠ BCD=∠ ACE\\ CD=CE\end{array} $
∴△BCD≌△ACE(SAS)。
∴∠B=∠CAE。
又
∵∠B=∠ACB，
∴∠CAE=∠ACB。
∴AE//BC。
(2) 解：当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC。理由如下：
∵△ABC为等边三角形，D为AB边的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BDC = 90°。
由(1)知△BCD ≌ △ACE，
∴∠AEC=∠BDC=90°。
∵ AE // BC，
∴ ∠BCE = 180°-∠AEC=90°，
∴BC⊥EC。
【答案】
(1) AE//BC，证明成立；
(2) 当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC，理由如上。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的经典题型，属于常见的“手拉手”全等模型，既考查了基础几何性质的灵活应用，也锻炼了正向证明、逆向推理的逻辑思维能力，解题的核心是准确找到全等三角形，通过全等转化角的数量关系。
【难度系数】
0.7

13.(5分)(鄂尔多斯伊金霍洛旗期末)如图,已知△ABC是等边三角形,BD=CD,E是边AC上的点,DE//AB,与BC交于点F.下面四个结论:①连接AD,则AD垂直平分线段BC;②△CEF是等边三角形;③若AB=8,CE=2,则CF=4;④若∠CBD=40°,则∠EDC=10°,其中所有正确结论的序号是.(填序号)

13. ①②

【分析】
我们需要逐一验证四个结论的正确性，解题时可结合线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形外角性质，逐个推导每个结论是否成立即可。
【解析】
我们对四个结论依次分析：
1. 判断结论①：
已知△ABC是等边三角形，因此AB=AC，即点A在BC的垂直平分线上；又已知BD=CD，即点D也在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，因此AD垂直平分线段BC，故①正确。
2. 判断结论②：
△ABC是等边三角形，因此∠A=∠ACB=60°。
∵DE//AB，根据两直线平行同位角相等，可得∠CEF=∠A=60°。
在△CEF中，∠CEF=∠ECF=60°，因此∠CFE=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，故△CEF是等边三角形，②正确。
3. 判断结论③：
由②可知△CEF是等边三角形，因此CF=CE，已知CE=2，则CF=2≠4，故③错误。
4. 判断结论④：
已知BD=CD，∠CBD=40°，因此∠BCD=∠CBD=40°。
由②得△CEF是等边三角形，因此∠CFE=60°。
根据三角形外角的性质，∠CFE=∠EDC+∠BCD，因此∠EDC=∠CFE-∠BCD=60°-40°=20°≠10°，故④错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查多个基础几何知识点的结合应用，解题时逐个验证结论，结合对应定理推导即可，需注意不要混淆等边三角形的边、角对应关系。
【难度系数】
0.7