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1.(教材 P84 习题 T2 延伸)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A作BC的平行线,与∠ABC,∠ACB的平分线分别交于点E,D,则DE的长为 (
A.14
B.16
C.18
D.20
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.14
B.16
C.18
D.20
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先观察到题中存在平行线与角平分线的组合条件，这类组合通常可推导得到等腰三角形。我们可以先利用平行线的内错角相等的性质，结合角平分线的定义，得到相等的角，再根据等角对等边的性质，分别求出AD和AE的长度，最后DE是AD与AE的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠DCB=∠D（两直线平行，内错角相等），
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠ACD，
∴∠D=∠ACD，
∴AD=AC=6（等角对等边）。
同理，
∵DE//BC，
∴∠EBC=∠E（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠E=∠ABE，
∴AE=AB=8（等角对等边）。
∵点D、A、E在同一直线上，
∴DE=AD+AE=6+8=14。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的几何模型应用题，核心考查“平行线+角平分线”构造等腰三角形的模型，掌握该模型可以快速找到线段间的等量关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题中存在平行线与角平分线的组合条件，这类组合通常可推导得到等腰三角形。我们可以先利用平行线的内错角相等的性质，结合角平分线的定义，得到相等的角，再根据等角对等边的性质，分别求出AD和AE的长度，最后DE是AD与AE的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠DCB=∠D（两直线平行，内错角相等），
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠ACD，
∴∠D=∠ACD，
∴AD=AC=6（等角对等边）。
同理，
∵DE//BC，
∴∠EBC=∠E（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠E=∠ABE，
∴AE=AB=8（等角对等边）。
∵点D、A、E在同一直线上，
∴DE=AD+AE=6+8=14。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的几何模型应用题，核心考查“平行线+角平分线”构造等腰三角形的模型，掌握该模型可以快速找到线段间的等量关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
2.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB，AC于点D，E.若$AB=5$，$AC=4$，则$△ ADE$的周长为（
A.9
B.5
C.17
D.20
A
）A.9
B.5
C.17
D.20
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先观察图形条件：出现角平分线和平行线的组合，可优先推导等腰三角形，通过线段等量转换求解周长。第一步根据角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推导出△DBO和△ECO均为等腰三角形，得到DB=DO、EC=EO；再将△ADE的周长拆分，把DE替换为DO+EO，进而将周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO。
同理，
∵CO平分∠ACB，
∴∠ECO=∠BCO，
∵DE//BC，
∴∠EOC=∠BCO，
∴∠ECO=∠EOC，
∴EC=EO。
△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE，
将DO=DB、OE=EC代入得：
周长=AD+DB+EC+AE=(AD+DB)+(AE+EC)=AB+AC，
已知AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=5+4=9。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线、等腰三角形判定的综合基础题，核心是掌握“角平分线+平行线”的常见模型，可快速推出等腰三角形实现线段等量转换，无需计算各边具体长度，通过整体代换即可求出周长。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形条件：出现角平分线和平行线的组合，可优先推导等腰三角形，通过线段等量转换求解周长。第一步根据角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推导出△DBO和△ECO均为等腰三角形，得到DB=DO、EC=EO；再将△ADE的周长拆分，把DE替换为DO+EO，进而将周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO。
同理，
∵CO平分∠ACB，
∴∠ECO=∠BCO，
∵DE//BC，
∴∠EOC=∠BCO，
∴∠ECO=∠EOC，
∴EC=EO。
△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE，
将DO=DB、OE=EC代入得：
周长=AD+DB+EC+AE=(AD+DB)+(AE+EC)=AB+AC，
已知AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=5+4=9。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线、等腰三角形判定的综合基础题，核心是掌握“角平分线+平行线”的常见模型，可快速推出等腰三角形实现线段等量转换，无需计算各边具体长度，通过整体代换即可求出周长。
【难度系数】
0.7
3.如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE// BC$，交AB于点E.
(1)求证：$∠ EBD=∠ EDB$；
(2)当$AB=AC$时，请判断CD与DE的大小关系，并说明理由.
(1)求证：$∠ EBD=∠ EDB$；
(2)当$AB=AC$时，请判断CD与DE的大小关系，并说明理由.
答案
3. (1) 证明：
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠CBD=∠EBD.
∵ DE//BC,
∴ ∠CBD=∠EDB.
∴ ∠EBD=∠EDB.
(2) 解：CD = DE. 理由如下：
∵ AB = AC,
∴ ∠C=∠ABC.
∵ DE // BC,
∴ ∠ADE = ∠C, ∠AED = ∠ABC.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ AD=AE.
∴ AB−AE = AC−AD, 即 BE=CD. 由(1)知∠EBD=∠EDB,
∴ BE=DE.
∴ CD=DE.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠CBD=∠EBD.
∵ DE//BC,
∴ ∠CBD=∠EDB.
∴ ∠EBD=∠EDB.
(2) 解：CD = DE. 理由如下：
∵ AB = AC,
∴ ∠C=∠ABC.
∵ DE // BC,
∴ ∠ADE = ∠C, ∠AED = ∠ABC.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ AD=AE.
∴ AB−AE = AC−AD, 即 BE=CD. 由(1)知∠EBD=∠EDB,
∴ BE=DE.
∴ CD=DE.
解析
【分析】
(1) 要证明∠EBD=∠EDB，可通过等量代换推导：首先利用角平分线的定义得到一组相等的角，再结合平行线的内错角相等得到另一组相等的角，两个角均等于∠CBD，即可推出待证结论。
(2) 判断CD与DE的大小关系，首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，两底角相等，结合DE//BC可推出△ADE也是等腰三角形，得到AD=AE，通过线段作差可得BE=CD；再结合第(1)问的结论可推出△EBD是等腰三角形，得到BE=DE，最后等量代换即可得到CD与DE的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠CBD=∠EBD。
∵ DE//BC，
∴ ∠CBD=∠EDB。
∴ ∠EBD=∠EDB。
(2) 解：CD = DE，理由如下：
∵ AB = AC，
∴ ∠C=∠ABC。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠C，∠AED = ∠ABC。
∴ ∠ADE=∠AED。
∴ AD=AE。
∴ AB−AE = AC−AD，即 BE=CD。
由(1)知∠EBD=∠EDB，
∴ BE=DE。
∴ CD=DE。
【答案】
(1) ∠EBD=∠EDB，证明成立；
(2) CD=DE。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考察“平行线+角平分线”构造等腰三角形的常见模型，熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明∠EBD=∠EDB，可通过等量代换推导：首先利用角平分线的定义得到一组相等的角，再结合平行线的内错角相等得到另一组相等的角，两个角均等于∠CBD，即可推出待证结论。
(2) 判断CD与DE的大小关系，首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，两底角相等，结合DE//BC可推出△ADE也是等腰三角形，得到AD=AE，通过线段作差可得BE=CD；再结合第(1)问的结论可推出△EBD是等腰三角形，得到BE=DE，最后等量代换即可得到CD与DE的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠CBD=∠EBD。
∵ DE//BC，
∴ ∠CBD=∠EDB。
∴ ∠EBD=∠EDB。
(2) 解：CD = DE，理由如下：
∵ AB = AC，
∴ ∠C=∠ABC。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠C，∠AED = ∠ABC。
∴ ∠ADE=∠AED。
∴ AD=AE。
∴ AB−AE = AC−AD，即 BE=CD。
由(1)知∠EBD=∠EDB，
∴ BE=DE。
∴ CD=DE。
【答案】
(1) ∠EBD=∠EDB，证明成立；
(2) CD=DE。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考察“平行线+角平分线”构造等腰三角形的常见模型，熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 一题多解 在$△ ABC$中，$CA=CB$，点$D$在$AC$的延长线上，点$E$在边$BC$上，且$CD=CE$，求证：$DE⊥ AB$.
证法一：如图①，过点$D$作$DM// AB$，交$BC$的延长线于点$M$.（请将证明过程补充完整）
证法二：如图②，过点$B$作$BN// DE$，交$AC$的延长线于点$N$.（请将证明过程补充完整）
思考：本题还有多种作平行线构造等腰三角形解题的方法，也可用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线解题，跟同学们交流一下吧.
证法一：如图①，过点$D$作$DM// AB$，交$BC$的延长线于点$M$.（请将证明过程补充完整）
证法二：如图②，过点$B$作$BN// DE$，交$AC$的延长线于点$N$.（请将证明过程补充完整）
思考：本题还有多种作平行线构造等腰三角形解题的方法，也可用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线解题，跟同学们交流一下吧.
答案
4. (证法一)
∵ CA = CB,
∴ ∠A = ∠B.
∵ DM // AB,
∴ ∠CDM=∠A,∠M=∠B.
∴ ∠CDM=∠M.
∵ CD = CE,
∴ ∠CDE=∠CED.
∵ ∠CDM+∠M+∠CDE +∠CED = 180°,
∴ ∠CDM + ∠CDE = 90°, 即∠EDM=90°.
∴ DE⊥DM.
∵ DM//AB,
∴ DE⊥AB.
(证法二)
∵ CD = CE,
∴ ∠CDE=∠CED.
∵ BN // DE,
∴ ∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED.
∴ ∠CBN=∠N.
∵ CA=CB,
∴ ∠A=∠ABC.
∵ ∠A+∠ABC+∠CBN+∠N = 180°,
∴ ∠ABC+∠CBN = 90°, 即∠ABN=90°.
∴ BN⊥AB.
∵ BN//DE,
∴ DE⊥AB.
∵ CA = CB,
∴ ∠A = ∠B.
∵ DM // AB,
∴ ∠CDM=∠A,∠M=∠B.
∴ ∠CDM=∠M.
∵ CD = CE,
∴ ∠CDE=∠CED.
∵ ∠CDM+∠M+∠CDE +∠CED = 180°,
∴ ∠CDM + ∠CDE = 90°, 即∠EDM=90°.
∴ DE⊥DM.
∵ DM//AB,
∴ DE⊥AB.
(证法二)
∵ CD = CE,
∴ ∠CDE=∠CED.
∵ BN // DE,
∴ ∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED.
∴ ∠CBN=∠N.
∵ CA=CB,
∴ ∠A=∠ABC.
∵ ∠A+∠ABC+∠CBN+∠N = 180°,
∴ ∠ABC+∠CBN = 90°, 即∠ABN=90°.
∴ BN⊥AB.
∵ BN//DE,
∴ DE⊥AB.
解析
【分析】
本题两种证法均通过作平行线转移角，结合等腰三角形性质、平行线性质与三角形内角和定理证明垂直。证法一先利用等腰△ABC的等边对等角得∠A=∠B，再由DM//AB的性质得到∠CDM=∠M，结合CD=CE得到的△CDE等腰关系，由三角形内角和推出∠EDM=90°，最后根据平行线的垂直传递性得证；证法二先利用等腰△CDE的等边对等角得∠CDE=∠CED，再由BN//DE的性质得到∠CBN=∠N，结合CA=CB得到的△ABC等腰关系，由三角形内角和推出∠ABN=90°，最后根据平行线的垂直传递性得证。
【解析】
证法一：
∵ CA = CB，
∴ ∠A = ∠B。
∵ DM // AB，
∴ ∠CDM=∠A，∠M=∠B。
∴ ∠CDM=∠M。
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ ∠CDM+∠M+∠CDE +∠CED = 180°，
∴ ∠CDM + ∠CDE = 90°， 即∠EDM=90°，
∴ DE⊥DM。
∵ DM//AB，
∴ DE⊥AB。
证法二：
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ BN // DE，
∴ ∠N=∠CDE，∠CBN=∠CED。
∴ ∠CBN=∠N。
∵ CA=CB，
∴ ∠A=∠ABC。
∵ ∠A+∠ABC+∠CBN+∠N = 180°，
∴ ∠ABC+∠CBN = 90°， 即∠ABN=90°，
∴ BN⊥AB。
∵ BN//DE，
∴ DE⊥AB。
【答案】
（证法一）
∵ CA = CB，
∴ ∠A = ∠B。
∵ DM // AB，
∴ ∠CDM=∠A,∠M=∠B。
∴ ∠CDM=∠M。
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ ∠CDM+∠M+∠CDE +∠CED = 180°,
∴ ∠CDM + ∠CDE = 90°, 即∠EDM=90°。
∴ DE⊥DM。
∵ DM//AB，
∴ DE⊥AB。
（证法二）
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ BN // DE，
∴ ∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。
∴ ∠CBN=∠N。
∵ CA=CB，
∴ ∠A=∠ABC。
∵ ∠A+∠ABC+∠CBN+∠N = 180°,
∴ ∠ABC+∠CBN = 90°, 即∠ABN=90°。
∴ BN⊥AB。
∵ BN//DE，
∴ DE⊥AB。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题通过一题多解的形式，考查了等腰三角形、平行线相关性质的综合应用，解题关键是通过作平行线实现角的转移，结合角度关系推导得到直角，有助于锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
本题两种证法均通过作平行线转移角，结合等腰三角形性质、平行线性质与三角形内角和定理证明垂直。证法一先利用等腰△ABC的等边对等角得∠A=∠B，再由DM//AB的性质得到∠CDM=∠M，结合CD=CE得到的△CDE等腰关系，由三角形内角和推出∠EDM=90°，最后根据平行线的垂直传递性得证；证法二先利用等腰△CDE的等边对等角得∠CDE=∠CED，再由BN//DE的性质得到∠CBN=∠N，结合CA=CB得到的△ABC等腰关系，由三角形内角和推出∠ABN=90°，最后根据平行线的垂直传递性得证。
【解析】
证法一：
∵ CA = CB，
∴ ∠A = ∠B。
∵ DM // AB，
∴ ∠CDM=∠A，∠M=∠B。
∴ ∠CDM=∠M。
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ ∠CDM+∠M+∠CDE +∠CED = 180°，
∴ ∠CDM + ∠CDE = 90°， 即∠EDM=90°，
∴ DE⊥DM。
∵ DM//AB，
∴ DE⊥AB。
证法二：
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ BN // DE，
∴ ∠N=∠CDE，∠CBN=∠CED。
∴ ∠CBN=∠N。
∵ CA=CB，
∴ ∠A=∠ABC。
∵ ∠A+∠ABC+∠CBN+∠N = 180°，
∴ ∠ABC+∠CBN = 90°， 即∠ABN=90°，
∴ BN⊥AB。
∵ BN//DE，
∴ DE⊥AB。
【答案】
（证法一）
∵ CA = CB，
∴ ∠A = ∠B。
∵ DM // AB，
∴ ∠CDM=∠A,∠M=∠B。
∴ ∠CDM=∠M。
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ ∠CDM+∠M+∠CDE +∠CED = 180°,
∴ ∠CDM + ∠CDE = 90°, 即∠EDM=90°。
∴ DE⊥DM。
∵ DM//AB，
∴ DE⊥AB。
（证法二）
∵ CD = CE，
∴ ∠CDE=∠CED。
∵ BN // DE，
∴ ∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。
∴ ∠CBN=∠N。
∵ CA=CB，
∴ ∠A=∠ABC。
∵ ∠A+∠ABC+∠CBN+∠N = 180°,
∴ ∠ABC+∠CBN = 90°, 即∠ABN=90°。
∴ BN⊥AB。
∵ BN//DE，
∴ DE⊥AB。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题通过一题多解的形式，考查了等腰三角形、平行线相关性质的综合应用，解题关键是通过作平行线实现角的转移，结合角度关系推导得到直角，有助于锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
