5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$E$为边$AB$上一点，$F$是$AC$的延长线上一点，连接$EF$，交$BC$于点$D$。若$DE=DF$，求证：$BE=CF$。

5. 证明：过点 E 作 EG//AC,交 BC 于点 G(图略),则∠BGE = ∠ACB, ∠GED = ∠F.
∵ AB = AC,
∴ ∠ACB=∠B.
∴ ∠B = ∠BGE.
∴ BE = EG. 在△GDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠GED=∠F, \\ DE=DF, \\ ∠EDG=∠FDC, \end{cases}$
∴ △GDE≌△CDF(ASA).
∴ EG=CF.
∴ BE=CF.

【分析】
要证明BE=CF，观察发现两条线段所在的三角形不全等，无法直接证明相等，因此考虑用转化思想：结合已知DE=DF，我们可以过点E作AC的平行线，一方面利用平行线的性质得到和△CDF全等的三角形，将CF转化为新的线段；另一方面结合AB=AC的等腰三角形性质，得到以BE为腰的等腰三角形，将BE转化为同一个新线段，即可通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：过点E作$EG// AC$，交$BC$于点$G$，
由平行线的性质可得：$∠ BGE = ∠ ACB$，$∠ GED = ∠ F$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ACB=∠ B$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ B = ∠ BGE$，
$\therefore BE = EG$（等角对等边）。
在$△ GDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ GED=∠ F, \\DE=DF, \\∠ EDG=∠ FDC（对顶角相等）,\end{cases}$
$\therefore △ GDE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EG=CF$（全等三角形对应边相等），
又$\because BE=EG$，
$\therefore BE=CF$（等量代换）。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何证明中线段等量转化的典型习题，通过作平行线的辅助线，同时构造出全等三角形和等腰三角形，将分散的待证线段关联起来，解题时要学会结合已知条件灵活选择辅助线的作法。
【难度系数】
0.7

6.【典型题】在等边三角形ABC中，E是边AB上的动点，且与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.
(1)如图①，若E是AB的中点，求证：BD=AE；
(2)如图②，若E不是AB的中点，(1)中的结论“BD=AE”仍成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出BD与AE之间的数量关系.

6. (1) 证明：
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=60°,AC=BC.
∵ E 是 AB 的中点,
∴ AE=BE,∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵ EC=ED,
∴ ∠D=∠BCE=30°.
∴ ∠BED=∠ABC−∠D=30°=∠D.
∴ BD=BE.
∴ BD=AE.
(2) 解：成立. 理由如下：过点 E 作 EF//BC,交 AC 于点 F(图略).
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∴ ∠DBE=180°−∠ABC=120°.
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°, ∠CEF = ∠ECD.
∴ ∠A = ∠AEF = ∠AFE.
∴ △AEF是等边三角形,∠EFC=180°−∠AFE=120°=∠DBE.
∴ AE=EF.
∵ EC=DE,
∴ ∠ECD=∠D.
∴ ∠D=∠CEF.
∴ △DEB≌△ECF(AAS).
∴ BD=FE.
∴ BD=AE.

【分析】
(1) 第一问先利用等边三角形的性质结合中点的特征，由“三线合一”得到CE平分∠ACB，同时得到AE=BE；再根据EC=ED，利用等腰三角形等边对等角得到∠D的度数，通过角的运算推导得出BD=BE，等量代换即可证明BD=AE。
(2) 第二问结论仍成立，要证明非中点条件下BD=AE，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段：过E作EF平行于BC，可证得△AEF是等边三角形，将AE转化为EF，再证明△DEB和△ECF全等，得到BD=EF，等量代换即可得到BD=AE。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC。
∵ E是AB的中点，
∴ AE=BE，CE平分∠ACB，即$∠ BCE=∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
∵ EC=ED，
∴ $∠ D=∠ BCE=30°$。
∵ ∠ABC是△BED的外角，
∴ $∠ ABC=∠ D+∠ BED$，即$60°=30°+∠ BED$，解得$∠ BED=30°$，
∴ $∠ BED=∠ D$，
∴ BD=BE，
又
∵ AE=BE，
∴ BD=AE。
(2) 解：成立，理由如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$，
∴ $∠ DBE=180°-∠ ABC=120°$。
∵ EF//BC，
∴ $∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，$∠ CEF=∠ ECD$，
∴ $∠ A=∠ AEF=∠ AFE$，
∴ △AEF是等边三角形，
∴ AE=EF，且$∠ EFC=180°-∠ AFE=120°$，即$∠ EFC=∠ DBE$。
∵ EC=DE，
∴ $∠ ECD=∠ D$，
又
∵ $∠ CEF=∠ ECD$，
∴ $∠ D=∠ CEF$。
在△DEB和△ECF中：
$\begin{cases}∠ DBE=∠ EFC \\∠ D=∠ CEF \\DE=EC\end{cases}$
∴ △DEB≌△ECF（AAS），
∴ BD=FE，
又
∵ AE=EF，
∴ BD=AE。
【答案】
(1) 证明成立，BD=AE；
(2) 结论仍成立，BD=AE。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕特殊三角形的性质展开，第一问直接利用等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质即可求解，难度较低；第二问通过作平行线构造等边三角形和全等三角形实现线段的转化，是解题的关键，考查了辅助线的构造能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6