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14. 有一串代数式：$-x$，$2x^2$，$-3x^3$，$4x^4$，…，$-19x^{19}$，$20x^{20}$，….
（1）观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律；
（2）写出第2025个代数式；
（3）写出第$n$个和第$n+1$个代数式.
（1）观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律；
（2）写出第2025个代数式；
（3）写出第$n$个和第$n+1$个代数式.
答案
（1）这串代数式都是单项式,它们的系数和次数都是从1开始的连续的整数,且第奇数个代数式的系数为负,第偶数个代数式的系数为正 （2）$-2025x^{2025}$ （3）第n个代数式是$(-1)^nnx^n$,第$n+1$个代数式是$(-1)^{n+1}(n+1)x^{n+1}$
解析
【分析】
解决这道题我们可以把每个单项式拆成系数符号、系数绝对值、字母部分的次数三个部分分别找规律：①先看系数绝对值：第1个是1，第2个是2，第3个是3……和对应项的序号完全一致；②再看系数符号：第1个（奇数项）为负，第2个（偶数项）为正，交替出现；③最后看x的次数：第1个次数是1，第2个是2，第3个是3……也和对应项的序号一致。找完规律后，第2025个代数式直接对应序号2025代入规律即可，第n个代数式只需要把序号用字母n表示，符号用乘方的形式表示正负交替即可。
【解析】
（1）分别观察每一项的特征：
所有代数式都是单项式，系数的绝对值和x的次数都等于该项的序号，且序号为奇数时系数为负，序号为偶数时系数为正。
（2）第2025个代数式的序号是2025，属于奇数项，因此系数为负，系数绝对值为2025，x的次数为2025，所以该代数式为$-2025x^{2025}$。
（3）第n个代数式：系数的正负规律可以用$(-1)^n$表示（n为奇数时$(-1)^n=-1$，n为偶数时$(-1)^n=1$，完全符合符号规律），系数绝对值为n，x的次数为n，因此第n个代数式为$(-1)^nnx^n$；
第n+1个代数式将序号替换为n+1，即可得$(-1)^{n+1}(n+1)x^{n+1}$。
【答案】
（1）这串代数式都是单项式,它们的系数和次数都是从1开始的连续的整数,且第奇数个代数式的系数为负,第偶数个代数式的系数为正
（2）$-2025x^{2025}$
（3）第n个代数式是$(-1)^nnx^n$,第$n+1$个代数式是$(-1)^{n+1}(n+1)x^{n+1}$
【知识点】
单项式，规律探究，列代数式
【点评】
本题属于代数式规律探究类基础题，解题的关键是将单项式拆分为系数符号、系数绝对值、字母次数三个独立部分分别寻找规律，掌握分类找规律的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以把每个单项式拆成系数符号、系数绝对值、字母部分的次数三个部分分别找规律：①先看系数绝对值：第1个是1，第2个是2，第3个是3……和对应项的序号完全一致；②再看系数符号：第1个（奇数项）为负，第2个（偶数项）为正，交替出现；③最后看x的次数：第1个次数是1，第2个是2，第3个是3……也和对应项的序号一致。找完规律后，第2025个代数式直接对应序号2025代入规律即可，第n个代数式只需要把序号用字母n表示，符号用乘方的形式表示正负交替即可。
【解析】
（1）分别观察每一项的特征：
所有代数式都是单项式，系数的绝对值和x的次数都等于该项的序号，且序号为奇数时系数为负，序号为偶数时系数为正。
（2）第2025个代数式的序号是2025，属于奇数项，因此系数为负，系数绝对值为2025，x的次数为2025，所以该代数式为$-2025x^{2025}$。
（3）第n个代数式：系数的正负规律可以用$(-1)^n$表示（n为奇数时$(-1)^n=-1$，n为偶数时$(-1)^n=1$，完全符合符号规律），系数绝对值为n，x的次数为n，因此第n个代数式为$(-1)^nnx^n$；
第n+1个代数式将序号替换为n+1，即可得$(-1)^{n+1}(n+1)x^{n+1}$。
【答案】
（1）这串代数式都是单项式,它们的系数和次数都是从1开始的连续的整数,且第奇数个代数式的系数为负,第偶数个代数式的系数为正
（2）$-2025x^{2025}$
（3）第n个代数式是$(-1)^nnx^n$,第$n+1$个代数式是$(-1)^{n+1}(n+1)x^{n+1}$
【知识点】
单项式，规律探究，列代数式
【点评】
本题属于代数式规律探究类基础题，解题的关键是将单项式拆分为系数符号、系数绝对值、字母次数三个独立部分分别寻找规律，掌握分类找规律的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
1.（上海中考）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是 【 】
A.$x^2 - y^2$
B.$(x - y)^2$
C.$x^2 - y$
D.$x - y^2$
A.$x^2 - y^2$
B.$(x - y)^2$
C.$x^2 - y$
D.$x - y^2$
答案
B
解析
【分析】
解答本题需要先明确文字描述对应的运算顺序：首先，“x与y的差的平方”的运算优先级为：先算x与y的差，再对差求平方；其次要注意，若要优先计算减法，需要给减法部分加上括号保证运算顺序，最后对应选项判断即可。
【解析】
第一步：拆分运算层级，先计算“x与y的差”，列式为$x-y$；再对这个差求平方，为了保证先算减法，给$x-y$整体加括号后再写平方，最终代数式为$(x-y)^2$。
第二步：逐一核对选项：
A选项$x^2-y^2$表示x、y的平方差，不符合题意；
B选项$(x-y)^2$表示x与y的差的平方，符合题意；
C选项$x^2-y$表示x的平方与y的差，不符合题意；
D选项$x-y^2$表示x与y的平方的差，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；代数式运算顺序
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是准确理解文字表述的运算先后逻辑，涉及不同级运算时要注意用括号明确优先运算的部分，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.9
解答本题需要先明确文字描述对应的运算顺序：首先，“x与y的差的平方”的运算优先级为：先算x与y的差，再对差求平方；其次要注意，若要优先计算减法，需要给减法部分加上括号保证运算顺序，最后对应选项判断即可。
【解析】
第一步：拆分运算层级，先计算“x与y的差”，列式为$x-y$；再对这个差求平方，为了保证先算减法，给$x-y$整体加括号后再写平方，最终代数式为$(x-y)^2$。
第二步：逐一核对选项：
A选项$x^2-y^2$表示x、y的平方差，不符合题意；
B选项$(x-y)^2$表示x与y的差的平方，符合题意；
C选项$x^2-y$表示x的平方与y的差，不符合题意；
D选项$x-y^2$表示x与y的平方的差，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；代数式运算顺序
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是准确理解文字表述的运算先后逻辑，涉及不同级运算时要注意用括号明确优先运算的部分，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法中，不正确的是 【 】
A.$x$的倒数与$y$的差：$\frac{1}{x} - y$
B.$x$的平方与$y$的差：$x - y^2$
C.$x$与$y$的和的倒数：$\frac{1}{x + y}$
D.$x$与$y$的和的相反数：$-(x + y)$
A.$x$的倒数与$y$的差：$\frac{1}{x} - y$
B.$x$的平方与$y$的差：$x - y^2$
C.$x$与$y$的和的倒数：$\frac{1}{x + y}$
D.$x$与$y$的和的相反数：$-(x + y)$
答案
B
解析
【分析】
本题考查列代数式的正误判断，解题思路为逐一将每个选项的文字描述按照运算顺序转化为代数式，再和选项给出的代数式对比，找出对应错误的选项即可。转化时要注意明确运算对象：比如“x的平方”的运算对象是x，结果为$x^2$，再和其他量做运算时不能混淆运算对象。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：x的倒数为$\frac{1}{x}$，与y的差即$\frac{1}{x} - y$，和选项给出的式子一致，表述正确；
B选项：x的平方为$x^2$，与y的差应为$x^2 - y$，但选项给出的是$x - y^2$，混淆了运算对象，表述错误；
C选项：x与y的和为$x+y$，和的倒数即$\frac{1}{x+y}$，和选项给出的式子一致，表述正确；
D选项：x与y的和为$x+y$，和的相反数即$-(x+y)$，和选项给出的式子一致，表述正确。
因此不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；倒数；相反数
【点评】
本题考查文字语言到代数语言的转化能力，解题时要注意明确运算对象和运算顺序，避免出现运算对象混淆、顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查列代数式的正误判断，解题思路为逐一将每个选项的文字描述按照运算顺序转化为代数式，再和选项给出的代数式对比，找出对应错误的选项即可。转化时要注意明确运算对象：比如“x的平方”的运算对象是x，结果为$x^2$，再和其他量做运算时不能混淆运算对象。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：x的倒数为$\frac{1}{x}$，与y的差即$\frac{1}{x} - y$，和选项给出的式子一致，表述正确；
B选项：x的平方为$x^2$，与y的差应为$x^2 - y$，但选项给出的是$x - y^2$，混淆了运算对象，表述错误；
C选项：x与y的和为$x+y$，和的倒数即$\frac{1}{x+y}$，和选项给出的式子一致，表述正确；
D选项：x与y的和为$x+y$，和的相反数即$-(x+y)$，和选项给出的式子一致，表述正确。
因此不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；倒数；相反数
【点评】
本题考查文字语言到代数语言的转化能力，解题时要注意明确运算对象和运算顺序，避免出现运算对象混淆、顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.9
3. 下列用代数式表示“$m$的3倍与$n$的差的平方”，正确的是 【 】
A.$(3m - n)^2$
B.$3(m - n)^2$
C.$3m - n^2$
D.$(m - 3n)^2$
A.$(3m - n)^2$
B.$3(m - n)^2$
C.$3m - n^2$
D.$(m - 3n)^2$
答案
A
解析
【分析】
解这道题需要按照题干描述的运算顺序逐步拆解代数式：首先明确运算的先后逻辑，第一步先算“m的3倍”，第二步算该结果与n的差，第三步算差的平方，注意平方的运算对象是整个差，因此需要给差添加括号再平方，最后逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
按照题意逐步推导代数式：
1. 先计算“m的3倍”：可表示为$3m$；
2. 再计算“3m与n的差”：可表示为$3m - n$；
3. 最后计算“差的平方”：由于平方是对整个差的结果运算，因此要给差加括号再平方，最终得到$(3m - n)^2$。
再逐一分析错误选项：
B选项$3(m-n)^2$表示“m与n的差的平方的3倍”，不符合题意；
C选项$3m - n^2$表示“m的3倍与n的平方的差”，不符合题意；
D选项$(m - 3n)^2$表示“m与n的3倍的差的平方”，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；运算顺序判断
【点评】
这类题的解题关键是准确匹配文字描述和运算先后顺序，要注意“差的平方”是先求差再求平方，不要搞反运算顺序，也不要搞错倍数对应的对象。
【难度系数】
0.9
解这道题需要按照题干描述的运算顺序逐步拆解代数式：首先明确运算的先后逻辑，第一步先算“m的3倍”，第二步算该结果与n的差，第三步算差的平方，注意平方的运算对象是整个差，因此需要给差添加括号再平方，最后逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
按照题意逐步推导代数式：
1. 先计算“m的3倍”：可表示为$3m$；
2. 再计算“3m与n的差”：可表示为$3m - n$；
3. 最后计算“差的平方”：由于平方是对整个差的结果运算，因此要给差加括号再平方，最终得到$(3m - n)^2$。
再逐一分析错误选项：
B选项$3(m-n)^2$表示“m与n的差的平方的3倍”，不符合题意；
C选项$3m - n^2$表示“m的3倍与n的平方的差”，不符合题意；
D选项$(m - 3n)^2$表示“m与n的3倍的差的平方”，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；运算顺序判断
【点评】
这类题的解题关键是准确匹配文字描述和运算先后顺序，要注意“差的平方”是先求差再求平方，不要搞反运算顺序，也不要搞错倍数对应的对象。
【难度系数】
0.9
4. 用代数式表示：
（1）a与b的和乘a与b的差的积的3倍；
（2）比x的立方小1的数与y的积；
（3）a、b两个数的平方差除以这两个数的平方和所得的商；
（4）买c元/个的球拍n个，付出200元，应找回
（1）a与b的和乘a与b的差的积的3倍；
$3(a+b)(a-b)$
（2）比x的立方小1的数与y的积；
$(x^3 - 1)y$
（3）a、b两个数的平方差除以这两个数的平方和所得的商；
$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$
（4）买c元/个的球拍n个，付出200元，应找回
$(200 - cn)$
元。答案
4. （1）$3(a+b)(a-b)$ （2）$(x^3 - 1)y$ （3）$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$ （4）$(200 - cn)$
解析
【分析】
列代数式的核心是准确梳理文字描述的运算顺序，先进行的运算如果是后续运算的组成部分，需要添加括号保证运算优先级，同时结合实际问题的基本数量关系列式即可。解题时逐句拆分题干：
（1）运算顺序为：先算a与b的和、a与b的差，再算两个结果的积，最后求积的3倍；
（2）运算顺序为：先求比x的立方小1的数，再求这个数与y的积；
（3）运算顺序为：先算a、b的平方差作为被除数，再算a、b的平方和作为除数，最后求两者的商；
（4）先根据“总价=单价×数量”求出总花费，再用付出的钱减去总花费得到应找回的钱。
【解析】
（1）先写出a与b的和为$a+b$，a与b的差为$a-b$，两者的积为$(a+b)(a-b)$，积的3倍即为$3(a+b)(a-b)$；
（2）x的立方为$x^3$，比x的立方小1的数为$x^3-1$，这个数与y的积为$(x^3-1)y$；
（3）a、b的平方差为$a^2-b^2$，a、b的平方和为$a^2+b^2$，两者的商为$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$；
（4）买n个单价为c元的球拍总花费为$cn$元，付出200元，应找回的钱为$(200 - cn)$元。
【答案】
（1）$3(a+b)(a-b)$；（2）$(x^3 - 1)y$；（3）$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$；（4）$(200 - cn)$
【知识点】
1. 列代数式 2. 运算优先级 3. 常见数量关系
【点评】
本题是列代数式的基础常规题，重点考查对文字表述中运算顺序的理解，解题的关键是准确判断运算的先后顺序，注意需要括号调整优先级时不要漏写括号，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
列代数式的核心是准确梳理文字描述的运算顺序，先进行的运算如果是后续运算的组成部分，需要添加括号保证运算优先级，同时结合实际问题的基本数量关系列式即可。解题时逐句拆分题干：
（1）运算顺序为：先算a与b的和、a与b的差，再算两个结果的积，最后求积的3倍；
（2）运算顺序为：先求比x的立方小1的数，再求这个数与y的积；
（3）运算顺序为：先算a、b的平方差作为被除数，再算a、b的平方和作为除数，最后求两者的商；
（4）先根据“总价=单价×数量”求出总花费，再用付出的钱减去总花费得到应找回的钱。
【解析】
（1）先写出a与b的和为$a+b$，a与b的差为$a-b$，两者的积为$(a+b)(a-b)$，积的3倍即为$3(a+b)(a-b)$；
（2）x的立方为$x^3$，比x的立方小1的数为$x^3-1$，这个数与y的积为$(x^3-1)y$；
（3）a、b的平方差为$a^2-b^2$，a、b的平方和为$a^2+b^2$，两者的商为$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$；
（4）买n个单价为c元的球拍总花费为$cn$元，付出200元，应找回的钱为$(200 - cn)$元。
【答案】
（1）$3(a+b)(a-b)$；（2）$(x^3 - 1)y$；（3）$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$；（4）$(200 - cn)$
【知识点】
1. 列代数式 2. 运算优先级 3. 常见数量关系
【点评】
本题是列代数式的基础常规题，重点考查对文字表述中运算顺序的理解，解题的关键是准确判断运算的先后顺序，注意需要括号调整优先级时不要漏写括号，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
5. 三个连续的偶数中，a是最大的偶数，那么最小的偶数是
$a-4$
.答案
5. $a-4$
解析
【分析】
解题时首先回忆连续偶数的性质：相邻两个偶数的差为2。题目给出三个连续偶数中最大的是a，我们可以先推导中间的偶数大小，再推导最小的偶数：三个连续偶数中，最大数和最小数之间相差2个2，也就是总差值为4，因此用最大的偶数减去总差值即可得到最小的偶数。
【解析】
已知相邻偶数之间相差2，三个连续偶数里最大的偶数是a：
1. 中间的偶数比最大的偶数小2，即中间的偶数为$a-2$；
2. 最小的偶数比中间的偶数小2，因此最小的偶数为$(a-2)-2=a-4$。
【答案】
$a-4$
【知识点】
连续偶数的特征、列代数式
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是掌握相邻偶数的差值为2，结合已知条件按数量关系列式即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆连续偶数的性质：相邻两个偶数的差为2。题目给出三个连续偶数中最大的是a，我们可以先推导中间的偶数大小，再推导最小的偶数：三个连续偶数中，最大数和最小数之间相差2个2，也就是总差值为4，因此用最大的偶数减去总差值即可得到最小的偶数。
【解析】
已知相邻偶数之间相差2，三个连续偶数里最大的偶数是a：
1. 中间的偶数比最大的偶数小2，即中间的偶数为$a-2$；
2. 最小的偶数比中间的偶数小2，因此最小的偶数为$(a-2)-2=a-4$。
【答案】
$a-4$
【知识点】
连续偶数的特征、列代数式
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是掌握相邻偶数的差值为2，结合已知条件按数量关系列式即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
6.（内蒙古中考）冰糖葫芦是我国传统小吃.若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数可用代数式表示为
$5m+3n$
.答案
6. $5m+3n$
解析
【分析】
要计算穿m根大串和n根小串需要的山楂总个数，首先明确总个数=大串山楂总个数+小串山楂总个数。先分别计算两部分的数量：大串每根穿5个山楂，m根的总个数就是5乘m；小串每根穿3个山楂，n根的总个数就是3乘n，最后将两部分相加即可得到总个数的代数式。
【解析】
1. 计算m根大串需要的山楂个数：每根大串穿5个山楂，m根共需要$5× m=5m$个；
2. 计算n根小串需要的山楂个数：每根小串穿3个山楂，n根共需要$3× n=3n$个；
3. 总山楂个数为大串和小串的山楂个数之和，即$5m+3n$。
【答案】
$5m+3n$
【知识点】
列代数式；用字母表示数
【点评】
本题结合生活实际场景考查列代数式的应用，解题核心是准确梳理数量关系，分别求出两类冰糖葫芦的山楂总量后求和，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9
要计算穿m根大串和n根小串需要的山楂总个数，首先明确总个数=大串山楂总个数+小串山楂总个数。先分别计算两部分的数量：大串每根穿5个山楂，m根的总个数就是5乘m；小串每根穿3个山楂，n根的总个数就是3乘n，最后将两部分相加即可得到总个数的代数式。
【解析】
1. 计算m根大串需要的山楂个数：每根大串穿5个山楂，m根共需要$5× m=5m$个；
2. 计算n根小串需要的山楂个数：每根小串穿3个山楂，n根共需要$3× n=3n$个；
3. 总山楂个数为大串和小串的山楂个数之和，即$5m+3n$。
【答案】
$5m+3n$
【知识点】
列代数式；用字母表示数
【点评】
本题结合生活实际场景考查列代数式的应用，解题核心是准确梳理数量关系，分别求出两类冰糖葫芦的山楂总量后求和，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9
7. 我们常用$\overline{ab}$表示一个十位数字为$a$、个位数字为$b$的两位数，即$\overline{ab}=10a+b$，类似地，
答案
$1000a+100b+10c+d$
解析
【分析】
我们已知两位数$\overline{ab}$的表示逻辑是：每个数位上的数字乘该数位对应的计数单位，再将结果相加。要推导四位数$\overline{abcd}$的代数式表示，只需明确四位数各数位的计数单位：千位计数单位为1000、百位为100、十位为10、个位为1，把各数位数字乘对应计数单位后求和即可得到结果。
【解析】
根据多位数的表示规则：每个数位的数字乘以该数位的计数单位，再将所有乘积相加。
对于四位数$\overline{abcd}$：
1. 千位数字是a，计数单位为1000，对应数值为$1000a$；
2. 百位数字是b，计数单位为100，对应数值为$100b$；
3. 十位数字是c，计数单位为10，对应数值为$10c$；
4. 个位数字是d，计数单位为1，对应数值为$d$。
将四部分相加可得：$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$。
【答案】
$1000a+100b+10c+d$
【知识点】
列代数式；数位的意义
【点评】
本题考查多位数的代数式表示，解题核心是掌握不同数位对应的计数单位，按照“数字×对应计数单位求和”的规则计算即可，是代数式应用的基础题型。
【难度系数】
0.9
我们已知两位数$\overline{ab}$的表示逻辑是：每个数位上的数字乘该数位对应的计数单位，再将结果相加。要推导四位数$\overline{abcd}$的代数式表示，只需明确四位数各数位的计数单位：千位计数单位为1000、百位为100、十位为10、个位为1，把各数位数字乘对应计数单位后求和即可得到结果。
【解析】
根据多位数的表示规则：每个数位的数字乘以该数位的计数单位，再将所有乘积相加。
对于四位数$\overline{abcd}$：
1. 千位数字是a，计数单位为1000，对应数值为$1000a$；
2. 百位数字是b，计数单位为100，对应数值为$100b$；
3. 十位数字是c，计数单位为10，对应数值为$10c$；
4. 个位数字是d，计数单位为1，对应数值为$d$。
将四部分相加可得：$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$。
【答案】
$1000a+100b+10c+d$
【知识点】
列代数式；数位的意义
【点评】
本题考查多位数的代数式表示，解题核心是掌握不同数位对应的计数单位，按照“数字×对应计数单位求和”的规则计算即可，是代数式应用的基础题型。
【难度系数】
0.9
