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7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$，$CE$分别是$△ ABC$的中线和角平分线.当$∠ ACE=35°$时，$∠ BAD$的度数为（
）
A.$55°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$20°$
）A.$55°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$20°$
答案
D
解析
【分析】
解题首先从已知条件入手：①先由CE是角平分线、∠ACE=35°，求出∠ACB的度数；②再结合AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，两底角相等，可求出顶角∠BAC的度数；③最后利用等腰三角形“三线合一”的性质，已知AD是底边中线，可得AD也是顶角的角平分线，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACE=35°
∴∠ACB=2∠ACE=2×35°=70°
2. 求△ABC顶角度数：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB=70°
根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°
3. 求∠BAD的度数：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，AD平分∠BAC
∴∠BAD=½∠BAC=½×40°=20°
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导即可，计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件入手：①先由CE是角平分线、∠ACE=35°，求出∠ACB的度数；②再结合AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，两底角相等，可求出顶角∠BAC的度数；③最后利用等腰三角形“三线合一”的性质，已知AD是底边中线，可得AD也是顶角的角平分线，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACE=35°
∴∠ACB=2∠ACE=2×35°=70°
2. 求△ABC顶角度数：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB=70°
根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°
3. 求∠BAD的度数：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，AD平分∠BAC
∴∠BAD=½∠BAC=½×40°=20°
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导即可，计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
8. 在用反证法证明“三角形的最大内角不小于$60°$”时，假设三角形的最大内角不小于$60°$不成立，则有三角形的最大内角（
A.小于$60°$
B.等于$60°$
C.大于$60°$
D.大于或等于$60°$
A
）A.小于$60°$
B.等于$60°$
C.大于$60°$
D.大于或等于$60°$
答案
8. A
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步逻辑：反证法需要先假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。首先先拆解原结论的含义：“三角形的最大内角不小于60°”里的“不小于”等价于“大于或等于（≥）60°”，接下来只需要找到“≥60°”的否定形式，就能得到假设的内容，对应选项即可。
【解析】
反证法证明命题时，首先假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立。
原命题结论为“三角形的最大内角不小于60°”，“不小于60°”就是“大于或等于60°”，它的否定形式为“小于60°”，因此假设的内容是三角形的最大内角小于60°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法，命题的否定，不等关系判断
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确理解“不小于”这类常用表述的含义，正确写出结论的否定形式，属于基础题型，掌握反证法的基本逻辑就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的第一步逻辑：反证法需要先假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。首先先拆解原结论的含义：“三角形的最大内角不小于60°”里的“不小于”等价于“大于或等于（≥）60°”，接下来只需要找到“≥60°”的否定形式，就能得到假设的内容，对应选项即可。
【解析】
反证法证明命题时，首先假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立。
原命题结论为“三角形的最大内角不小于60°”，“不小于60°”就是“大于或等于60°”，它的否定形式为“小于60°”，因此假设的内容是三角形的最大内角小于60°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法，命题的否定，不等关系判断
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确理解“不小于”这类常用表述的含义，正确写出结论的否定形式，属于基础题型，掌握反证法的基本逻辑就能快速解答。
【难度系数】
0.8
9. 下列式子中，正确的是（
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$(\sqrt{2})^2=2$
C.$-\sqrt{(-2)^2}=2$
D.$(-\sqrt{2})^2=-2$
B
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$(\sqrt{2})^2=2$
C.$-\sqrt{(-2)^2}=2$
D.$(-\sqrt{2})^2=-2$
答案
9. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题核心是熟练掌握二次根式的两个基本性质：①$\sqrt{a^2}=|a|$，②$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），解题时只需逐个计算四个选项的结果，对比选项给出的结论判断对错，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：先计算根号内的乘方，$(-2)^2=4$，再化简二次根式，$\sqrt{4}=2≠-2$，因此A错误；
选项B：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{2})^2=2$，因此B正确；
选项C：先计算根号内的乘方，$(-2)^2=4$，化简得$\sqrt{4}=2$，加上前面的负号后结果为$-2≠2$，因此C错误；
选项D：平方运算的结果是非负数，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2≠-2$，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 二次根式的乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次根式基本性质的理解和运用，解题时要注意区分$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的运算规则，同时留意运算过程中的符号变化，仔细计算即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，解题核心是熟练掌握二次根式的两个基本性质：①$\sqrt{a^2}=|a|$，②$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），解题时只需逐个计算四个选项的结果，对比选项给出的结论判断对错，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：先计算根号内的乘方，$(-2)^2=4$，再化简二次根式，$\sqrt{4}=2≠-2$，因此A错误；
选项B：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{2})^2=2$，因此B正确；
选项C：先计算根号内的乘方，$(-2)^2=4$，化简得$\sqrt{4}=2$，加上前面的负号后结果为$-2≠2$，因此C错误；
选项D：平方运算的结果是非负数，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2≠-2$，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 二次根式的乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次根式基本性质的理解和运用，解题时要注意区分$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的运算规则，同时留意运算过程中的符号变化，仔细计算即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
10. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下部分是如图所示的图形，其三边的长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片斜边的长可能为（
A.11
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{17}$
B
）A.11
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{17}$
答案
10. B
解析
【分析】
首先判断剩余图形是直角梯形，有两个相邻直角，已知三边长度分别为2、3、4。解题时需先还原原直角三角形：剪线是原直角三角形斜边中点与两直角边上取点的连线，结合直角梯形的直角特征，可知长度为2的边是原直角三角形的中位线，再结合中位线性质求出原直角三角形的两条直角边，最后用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
观察剩余图形为直角梯形，还原原直角三角形：
1. 梯形长度为2的边平行于原直角三角形的一条直角边，根据直角三角形斜边中点的性质，该边是原三角形的中位线，因此对应直角边的长度为 $2×2=4$；
2. 梯形长度为4的垂直边是原直角三角形另一条直角边的一半，因此这条直角边的长度为 $2×4=8$；
3. 根据勾股定理，原直角三角形的斜边长为 $\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形中位线定理，图形剪拼
【点评】
本题需要结合图形剪拼的特征还原原图形，核心是利用中位线性质推导原直角三角形的边长，侧重考查空间想象能力和对三角形基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
首先判断剩余图形是直角梯形，有两个相邻直角，已知三边长度分别为2、3、4。解题时需先还原原直角三角形：剪线是原直角三角形斜边中点与两直角边上取点的连线，结合直角梯形的直角特征，可知长度为2的边是原直角三角形的中位线，再结合中位线性质求出原直角三角形的两条直角边，最后用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
观察剩余图形为直角梯形，还原原直角三角形：
1. 梯形长度为2的边平行于原直角三角形的一条直角边，根据直角三角形斜边中点的性质，该边是原三角形的中位线，因此对应直角边的长度为 $2×2=4$；
2. 梯形长度为4的垂直边是原直角三角形另一条直角边的一半，因此这条直角边的长度为 $2×4=8$；
3. 根据勾股定理，原直角三角形的斜边长为 $\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形中位线定理，图形剪拼
【点评】
本题需要结合图形剪拼的特征还原原图形，核心是利用中位线性质推导原直角三角形的边长，侧重考查空间想象能力和对三角形基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共5个小题，每小题2分，共10分)
11. 8的立方根为
11. 8的立方根为
2
。答案
11. 2
解析
【分析】
解题时先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。我们要找8的立方根，只需要找到哪个数的三次方等于8即可，结合正数的立方根是正数的性质，就能快速得出结果。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得$2^3=2×2×2=8$，因此8的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握立方根的定义，熟记常见整数的立方结果，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。我们要找8的立方根，只需要找到哪个数的三次方等于8即可，结合正数的立方根是正数的性质，就能快速得出结果。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得$2^3=2×2×2=8$，因此8的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握立方根的定义，熟记常见整数的立方结果，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
12. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有
第12题
5
条。 第12题答案
12. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形及对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。接下来观察五角星的结构，它有5个完全相同的凸角，我们依次找过每个凸角顶点和图形中心的直线，验证发现沿这类直线折叠时，五角星两边的部分都能完全重合，数出这类直线的总数量就是对称轴的条数。
【解析】
根据轴对称图形对称轴的定义，对五角星进行验证：过五角星的任意一个凸角顶点，以及该顶点正对的凹点和图形中心作直线，沿这条直线折叠，直线两旁的五角星部分可以完全重合。五角星共有5个凸角，对应可以作出5条满足要求的直线，因此它的对称轴共有5条。
【答案】
5
【知识点】
轴对称图形、对称轴计数
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称图形的对称轴识别，解题时要结合图形的特征有序计数，避免漏数。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称图形及对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。接下来观察五角星的结构，它有5个完全相同的凸角，我们依次找过每个凸角顶点和图形中心的直线，验证发现沿这类直线折叠时，五角星两边的部分都能完全重合，数出这类直线的总数量就是对称轴的条数。
【解析】
根据轴对称图形对称轴的定义，对五角星进行验证：过五角星的任意一个凸角顶点，以及该顶点正对的凹点和图形中心作直线，沿这条直线折叠，直线两旁的五角星部分可以完全重合。五角星共有5个凸角，对应可以作出5条满足要求的直线，因此它的对称轴共有5条。
【答案】
5
【知识点】
轴对称图形、对称轴计数
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称图形的对称轴识别，解题时要结合图形的特征有序计数，避免漏数。
【难度系数】
0.9
13. 计算：$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=$
4
. 第12题答案
13. 4
解析
【分析】
观察算式的结构，是两个数的差与这两个数的和相乘的形式，完全符合平方差公式的特征，因此可以直接套用平方差公式简化计算，无需逐项展开相乘。计算时先分别求出两个数的平方，再作差就能得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{5}$，$b=1$，代入得：
$\begin{split}原式&=(\sqrt{5})^2 - 1^2\\&=5 - 1\\&=4\end{split}$
【答案】
4
【知识点】
1.平方差公式 2.二次根式的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查乘法公式在二次根式运算中的应用，熟练掌握常用乘法公式能大幅提升运算效率，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
观察算式的结构，是两个数的差与这两个数的和相乘的形式，完全符合平方差公式的特征，因此可以直接套用平方差公式简化计算，无需逐项展开相乘。计算时先分别求出两个数的平方，再作差就能得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{5}$，$b=1$，代入得：
$\begin{split}原式&=(\sqrt{5})^2 - 1^2\\&=5 - 1\\&=4\end{split}$
【答案】
4
【知识点】
1.平方差公式 2.二次根式的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查乘法公式在二次根式运算中的应用，熟练掌握常用乘法公式能大幅提升运算效率，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
