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14. 如图，OC是∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为
3
。答案
14. 3
解析
【分析】
要求点C到射线OA的距离，首先根据点到直线距离的定义，需过C作OA的垂线段，该垂线段的长度即为所求。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点C到OA的距离与点C到OB的距离CM相等。观察图形可知△OMC是直角三角形，已知斜边OC和直角边OM的长度，用勾股定理即可求出CM的长度，从而得到最终结果。
【解析】
解：过点C作CN⊥OA于点N，CN的长度就是点C到射线OA的距离。
∵OC是∠AOB的平分线，CM⊥OB，CN⊥OA
∴根据角平分线的性质可得：CN = CM
在Rt△OMC中，OC=5，OM=4，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
∴$CN=CM=3$
即点C到射线OA的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质实现未知距离的转化，再结合勾股定理计算即可，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要求点C到射线OA的距离，首先根据点到直线距离的定义，需过C作OA的垂线段，该垂线段的长度即为所求。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点C到OA的距离与点C到OB的距离CM相等。观察图形可知△OMC是直角三角形，已知斜边OC和直角边OM的长度，用勾股定理即可求出CM的长度，从而得到最终结果。
【解析】
解：过点C作CN⊥OA于点N，CN的长度就是点C到射线OA的距离。
∵OC是∠AOB的平分线，CM⊥OB，CN⊥OA
∴根据角平分线的性质可得：CN = CM
在Rt△OMC中，OC=5，OM=4，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
∴$CN=CM=3$
即点C到射线OA的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质实现未知距离的转化，再结合勾股定理计算即可，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
15. 如图，$△ ACB$和$△ DCE$都是等腰直角三角形，$AC=BC$，$DC=EC$，$△ ACB$的顶点A在$△ DCE$的斜边DE上. 若$AD=\sqrt{2}$，$AE=\sqrt{6}$，则$BC=$
2
.答案
15. 2
解析
【分析】
本题首先观察到两个等腰直角三角形共直角顶点C，先通过角的和差关系得到相等的夹角，证明△DCA和△ECB全等，将AD转化为BE的长度；再结合等腰直角三角形的角度性质推出∠AEB为直角，得到直角△AEB，利用勾股定理算出AB的长；最后根据等腰直角三角形的三边关系即可求出BC的长度。
【解析】
1. 连接BE
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC
∴∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE，即$∠ DCA=∠ ECB$
2. 证明△DCA≌△ECB
在$△ DCA$和$△ ECB$中：
$\{\begin{array}{l}DC=EC\\ ∠ DCA=∠ ECB\\ AC=BC\end{array} $
∴$△ DCA≌△ ECB(\mathrm{SAS})$
∴$AD=BE=\sqrt{2}$，$∠ D=∠ CEB$
3. 推导∠AEB为直角
∵△DCE是等腰直角三角形
∴$∠ D+∠ CED=90{°}$
∴$∠ CEB+∠ CED=90{°}$，即$∠ AEB=90{°}$，△AEB为直角三角形
4. 用勾股定理求AB
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$AE=\sqrt{6}$，$BE=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$AB^2=AE^2+BE^2=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2=6+2=8$
5. 求BC的长度
在等腰$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=BC$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=2BC^2$
代入$AB^2=8$得$2BC^2=8$，解得$BC=2$（边长为正，舍去负根）
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于共顶点等腰直角三角形的经典题型，解题核心是通过全等转化线段和角度，构造直角三角形结合勾股定理求解，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题首先观察到两个等腰直角三角形共直角顶点C，先通过角的和差关系得到相等的夹角，证明△DCA和△ECB全等，将AD转化为BE的长度；再结合等腰直角三角形的角度性质推出∠AEB为直角，得到直角△AEB，利用勾股定理算出AB的长；最后根据等腰直角三角形的三边关系即可求出BC的长度。
【解析】
1. 连接BE
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC
∴∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE，即$∠ DCA=∠ ECB$
2. 证明△DCA≌△ECB
在$△ DCA$和$△ ECB$中：
$\{\begin{array}{l}DC=EC\\ ∠ DCA=∠ ECB\\ AC=BC\end{array} $
∴$△ DCA≌△ ECB(\mathrm{SAS})$
∴$AD=BE=\sqrt{2}$，$∠ D=∠ CEB$
3. 推导∠AEB为直角
∵△DCE是等腰直角三角形
∴$∠ D+∠ CED=90{°}$
∴$∠ CEB+∠ CED=90{°}$，即$∠ AEB=90{°}$，△AEB为直角三角形
4. 用勾股定理求AB
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$AE=\sqrt{6}$，$BE=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$AB^2=AE^2+BE^2=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2=6+2=8$
5. 求BC的长度
在等腰$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=BC$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=2BC^2$
代入$AB^2=8$得$2BC^2=8$，解得$BC=2$（边长为正，舍去负根）
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于共顶点等腰直角三角形的经典题型，解题核心是通过全等转化线段和角度，构造直角三角形结合勾股定理求解，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分8分)
已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
求证：△OBC是等腰三角形.
16. (本小题满分8分)
已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
求证：△OBC是等腰三角形.
答案
16. 证明：在Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
∵$\begin{cases} AC=DB, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴∠OBC=∠OCB.
∴△OBC 是等腰三角形.
∵$\begin{cases} AC=DB, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴∠OBC=∠OCB.
∴△OBC 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△OBC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠OBC=∠OCB即可。观察图形可知∠OBC、∠OCB分别是Rt△DCB、Rt△ABC的内角，已知两个三角形均为直角三角形，有公共斜边BC，且直角边AC=BD，因此可先通过HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DCB，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠OBC=∠OCB，即可完成证明。
【解析】
证明：在Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
∵$\begin{cases} AC=DB, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)。
∴∠OBC=∠OCB。
∴△OBC 是等腰三角形。
【答案】
证明：在Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
∵$\begin{cases} AC=DB, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)。
∴∠OBC=∠OCB。
∴△OBC 是等腰三角形。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是借助公共边确定可证全等的直角三角形，再结合全等的性质推导角相等，最终完成等腰三角形的判定，考查的均是几何模块的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
要证明△OBC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠OBC=∠OCB即可。观察图形可知∠OBC、∠OCB分别是Rt△DCB、Rt△ABC的内角，已知两个三角形均为直角三角形，有公共斜边BC，且直角边AC=BD，因此可先通过HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DCB，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠OBC=∠OCB，即可完成证明。
【解析】
证明：在Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
∵$\begin{cases} AC=DB, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)。
∴∠OBC=∠OCB。
∴△OBC 是等腰三角形。
【答案】
证明：在Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
∵$\begin{cases} AC=DB, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)。
∴∠OBC=∠OCB。
∴△OBC 是等腰三角形。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是借助公共边确定可证全等的直角三角形，再结合全等的性质推导角相等，最终完成等腰三角形的判定，考查的均是几何模块的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
