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3. 把下列各数填入相应的括号内.（填序号）
①5；②0.1；③$\sqrt{25}$；④$-π$；⑤$-\sqrt[3]{27}$；⑥$\frac{3}{4}$；⑦$\sqrt{8}$；⑧$\sqrt{\frac{3}{7}}$；⑨$-7$；⑩0.32；⑪0；⑫0.101 001 000 1…（每两个1之间依次多一个0）.
(1)有理数：$\{ \dots \}$.
(2)无理数：$\{ \dots \}$.
(3)负实数：$\{ \dots \}$.
(4)分数：$\{ \dots \}$.
①5；②0.1；③$\sqrt{25}$；④$-π$；⑤$-\sqrt[3]{27}$；⑥$\frac{3}{4}$；⑦$\sqrt{8}$；⑧$\sqrt{\frac{3}{7}}$；⑨$-7$；⑩0.32；⑪0；⑫0.101 001 000 1…（每两个1之间依次多一个0）.
(1)有理数：$\{ \dots \}$.
(2)无理数：$\{ \dots \}$.
(3)负实数：$\{ \dots \}$.
(4)分数：$\{ \dots \}$.
答案
(1) ①②③⑤⑥⑨⑩⑪
(2) ④⑦⑧⑫
(3) ④⑤⑨
(4) ②⑥⑩
(2) ④⑦⑧⑫
(3) ④⑤⑨
(4) ②⑥⑩
解析
【分析】
解题前首先回忆各类数的定义，先对题中含根号的数进行化简，再根据定义逐一判断归类：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数；③负实数是小于0的实数；④分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数范畴。
【解析】
先化简题中可化简的数：③$\sqrt{25}=5$（整数），⑤$-\sqrt[3]{27}=-3$（整数），⑦$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（开方开不尽）。
(1) 有理数：整数和分数都属于有理数，因此①5、②0.1、③$\sqrt{25}$、⑤$-\sqrt[3]{27}$、⑥$\frac{3}{4}$、⑨$-7$、⑩0.32、⑪0都属于有理数。
(2) 无理数：无限不循环小数为无理数，因此④$-π$、⑦$\sqrt{8}$、⑧$\sqrt{\frac{3}{7}}$、⑫0.101 001 000 1…（每两个1之间依次多一个0）都属于无理数。
(3) 负实数：小于0的实数为负实数，因此④$-π$、⑤$-\sqrt[3]{27}$、⑨$-7$都属于负实数。
(4) 分数：有限小数、分数形式的有理数都属于分数（整数不属于分数），因此②0.1、⑥$\frac{3}{4}$、⑩0.32都属于分数。
【答案】
(1) ①②③⑤⑥⑨⑩⑪
(2) ④⑦⑧⑫
(3) ④⑤⑨
(4) ②⑥⑩
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题考查实数的分类判断，解题的关键是先对能化简的根式进行化简，再结合各类数的定义逐一甄别，注意不要误认为带根号的数都是无理数，只有开方开不尽的根式才是无理数，同时要熟记常见无理数的几种形式，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
解题前首先回忆各类数的定义，先对题中含根号的数进行化简，再根据定义逐一判断归类：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数；③负实数是小于0的实数；④分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数范畴。
【解析】
先化简题中可化简的数：③$\sqrt{25}=5$（整数），⑤$-\sqrt[3]{27}=-3$（整数），⑦$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（开方开不尽）。
(1) 有理数：整数和分数都属于有理数，因此①5、②0.1、③$\sqrt{25}$、⑤$-\sqrt[3]{27}$、⑥$\frac{3}{4}$、⑨$-7$、⑩0.32、⑪0都属于有理数。
(2) 无理数：无限不循环小数为无理数，因此④$-π$、⑦$\sqrt{8}$、⑧$\sqrt{\frac{3}{7}}$、⑫0.101 001 000 1…（每两个1之间依次多一个0）都属于无理数。
(3) 负实数：小于0的实数为负实数，因此④$-π$、⑤$-\sqrt[3]{27}$、⑨$-7$都属于负实数。
(4) 分数：有限小数、分数形式的有理数都属于分数（整数不属于分数），因此②0.1、⑥$\frac{3}{4}$、⑩0.32都属于分数。
【答案】
(1) ①②③⑤⑥⑨⑩⑪
(2) ④⑦⑧⑫
(3) ④⑤⑨
(4) ②⑥⑩
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题考查实数的分类判断，解题的关键是先对能化简的根式进行化简，再结合各类数的定义逐一甄别，注意不要误认为带根号的数都是无理数，只有开方开不尽的根式才是无理数，同时要熟记常见无理数的几种形式，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
4. 计算.
(1)$|-3|+(π +1)^0 -\sqrt{4}$；
(2)$\sqrt{16}+|-5|-3^{-2}$；
(3)$\sqrt{9}-(-\dfrac{1}{5})^0 + (-1)^{2024}$；
(4)$(-0.1)^2 + |-0.1| + (-0.1)^{-1}$。
(1)$|-3|+(π +1)^0 -\sqrt{4}$；
(2)$\sqrt{16}+|-5|-3^{-2}$；
(3)$\sqrt{9}-(-\dfrac{1}{5})^0 + (-1)^{2024}$；
(4)$(-0.1)^2 + |-0.1| + (-0.1)^{-1}$。
答案
(1) 2
(2) $8\dfrac{8}{9}$
(3) 3
(4) $-9.89$
(2) $8\dfrac{8}{9}$
(3) 3
(4) $-9.89$
解析
【分析】
这几道题均为实数混合运算基础题，解题遵循“先化简各运算项，再做加减运算”的思路即可：第一步先根据对应规则分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、乘方等运算项，第二步将化简后的结果按加减法则合并即可。需要牢记核心运算规则：①负数的绝对值是它的相反数；②非零数的0次幂等于1；③非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数；④算术平方根为非负数；⑤-1的偶次幂为1。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$|-3|=3$，$(π+1)^0=1$（$π+1≠0$，非零数的0次幂为1），$\sqrt{4}=2$
代入原式计算：$3+1-2=2$
(2) 分别化简各项：
$\sqrt{16}=4$，$|-5|=5$，$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
代入原式计算：$4+5-\frac{1}{9}=9-\frac{1}{9}=8\frac{8}{9}$
(3) 分别化简各项：
$\sqrt{9}=3$，$(-\frac{1}{5})^0=1$，$(-1)^{2024}=1$（2024为偶数）
代入原式计算：$3-1+1=3$
(4) 分别化简各项：
$(-0.1)^2=0.01$，$|-0.1|=0.1$，$(-0.1)^{-1}=\frac{1}{-0.1}=-10$
代入原式计算：$0.01+0.1+(-10)=0.11-10=-9.89$
【答案】
(1) 2
(2) $8\dfrac{8}{9}$
(3) 3
(4) $-9.89$
【知识点】
实数混合运算，零指数幂与负整数指数幂，绝对值与算术平方根
【点评】
本题是实数运算的常规考题，侧重考察基础运算规则的掌握程度，运算时需注意负整数指数幂、零指数幂的符号问题，避免因记错规则出错。
【难度系数】
0.8
这几道题均为实数混合运算基础题，解题遵循“先化简各运算项，再做加减运算”的思路即可：第一步先根据对应规则分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、乘方等运算项，第二步将化简后的结果按加减法则合并即可。需要牢记核心运算规则：①负数的绝对值是它的相反数；②非零数的0次幂等于1；③非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数；④算术平方根为非负数；⑤-1的偶次幂为1。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$|-3|=3$，$(π+1)^0=1$（$π+1≠0$，非零数的0次幂为1），$\sqrt{4}=2$
代入原式计算：$3+1-2=2$
(2) 分别化简各项：
$\sqrt{16}=4$，$|-5|=5$，$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
代入原式计算：$4+5-\frac{1}{9}=9-\frac{1}{9}=8\frac{8}{9}$
(3) 分别化简各项：
$\sqrt{9}=3$，$(-\frac{1}{5})^0=1$，$(-1)^{2024}=1$（2024为偶数）
代入原式计算：$3-1+1=3$
(4) 分别化简各项：
$(-0.1)^2=0.01$，$|-0.1|=0.1$，$(-0.1)^{-1}=\frac{1}{-0.1}=-10$
代入原式计算：$0.01+0.1+(-10)=0.11-10=-9.89$
【答案】
(1) 2
(2) $8\dfrac{8}{9}$
(3) 3
(4) $-9.89$
【知识点】
实数混合运算，零指数幂与负整数指数幂，绝对值与算术平方根
【点评】
本题是实数运算的常规考题，侧重考察基础运算规则的掌握程度，运算时需注意负整数指数幂、零指数幂的符号问题，避免因记错规则出错。
【难度系数】
0.8
5. 实数$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{6}$.求代数式$x^2 + (a + b + cd)x + \sqrt{a + b} + \sqrt[3]{cd}$的值.
答案
解：根据题意，得$a+b=0$，$cd=1$，$|x|=\sqrt{6}$。
$\therefore x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=7+x$。
当$x=\sqrt{6}$时，原式$=7+\sqrt{6}$；
当$x=-\sqrt{6}$时，原式$=7-\sqrt{6}$。
$\therefore x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=7+x$。
当$x=\sqrt{6}$时，原式$=7+\sqrt{6}$；
当$x=-\sqrt{6}$时，原式$=7-\sqrt{6}$。
解析
【分析】
解题时首先提取题目中的关键条件，对应转化为代数式的值：①互为相反数的两个数和为0，可得a+b=0；②互为倒数的两个数乘积为1，可得cd=1；③绝对值为√6的数有两个，即x=√6或x=-√6，且x²=(√6)²=6。接下来将上述值代入待求代数式，先化简代数式，再分x的两种取值计算最终结果即可，注意不要漏去x为负数的情况。
【解析】
解：根据题意可得：
$a+b=0$，$cd=1$，$|x|=\sqrt{6}$，
$\therefore x^2=(\sqrt{6})^2=6$，$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$，
将上述值代入代数式：
$x^2 + (a + b + cd)x + \sqrt{a + b} + \sqrt[3]{cd}$
$=6 + (0 + 1)x + \sqrt{0} + \sqrt[3]{1}$
$=6 + x + 0 + 1$
$=7 + x$
当$x=\sqrt{6}$时，原式$=7+\sqrt{6}$；
当$x=-\sqrt{6}$时，原式$=7-\sqrt{6}$。
【答案】
$7+\sqrt{6}$或$7-\sqrt{6}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的意义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查实数相关基本概念的应用，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的性质，同时注意绝对值对应两个互为相反数的数，计算时要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题目中的关键条件，对应转化为代数式的值：①互为相反数的两个数和为0，可得a+b=0；②互为倒数的两个数乘积为1，可得cd=1；③绝对值为√6的数有两个，即x=√6或x=-√6，且x²=(√6)²=6。接下来将上述值代入待求代数式，先化简代数式，再分x的两种取值计算最终结果即可，注意不要漏去x为负数的情况。
【解析】
解：根据题意可得：
$a+b=0$，$cd=1$，$|x|=\sqrt{6}$，
$\therefore x^2=(\sqrt{6})^2=6$，$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$，
将上述值代入代数式：
$x^2 + (a + b + cd)x + \sqrt{a + b} + \sqrt[3]{cd}$
$=6 + (0 + 1)x + \sqrt{0} + \sqrt[3]{1}$
$=6 + x + 0 + 1$
$=7 + x$
当$x=\sqrt{6}$时，原式$=7+\sqrt{6}$；
当$x=-\sqrt{6}$时，原式$=7-\sqrt{6}$。
【答案】
$7+\sqrt{6}$或$7-\sqrt{6}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的意义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查实数相关基本概念的应用，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的性质，同时注意绝对值对应两个互为相反数的数，计算时要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.8
