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3. 证明三角形的外角和为 $360°$.
答案
3. 已知：如图，∠1，∠2，∠3为△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
证明：
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB.
同理，得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC.
∴∠1+∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)+(∠ABC+∠BAC)+(∠ACB+∠BAC)=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°.
解析
【分析】
要证明三角形的外角和为360°，我们可以从三角形外角的性质入手：首先将每个外角转化为和它不相邻的两个内角的和，再把三个外角相加，可发现三个外角的和恰好等于2倍的三角形内角和，最后代入三角形内角和为180°的定理，就能推导出外角和的度数。思考时要先明确已知条件和待证结论，再逐步搭建内外角的数量关系桥梁即可。
【解析】
已知：如图，∠1，∠2，∠3为△ABC的三个外角。
求证：∠1+∠2+∠3=360°。
证明：
∵∠1是△ABC的外角，根据三角形外角的性质（外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠1=∠ABC+∠ACB。
同理可得，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC。
将三个等式左右两边分别相加：
∠1+∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)+(∠ABC+∠BAC)+(∠ACB+∠BAC)
化简后得：∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)
又
∵根据三角形内角和定理，△ABC的内角和∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴代入得∠1+∠2+∠3=2×180°=360°，结论得证。
【答案】
已知：如图，∠1，∠2，∠3为△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
证明：
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB.
同理，得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC.
∴∠1+∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)+(∠ABC+∠BAC)+(∠ACB+∠BAC)=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°.
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理、角度运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心解题思路是通过外角性质将未知的外角和转化为已知的内角和进行计算，既考查学生对三角形内外角相关性质的掌握程度，也能锻炼学生逻辑推理、规范书写证明过程的能力。
【难度系数】
0.8
要证明三角形的外角和为360°，我们可以从三角形外角的性质入手：首先将每个外角转化为和它不相邻的两个内角的和，再把三个外角相加，可发现三个外角的和恰好等于2倍的三角形内角和，最后代入三角形内角和为180°的定理，就能推导出外角和的度数。思考时要先明确已知条件和待证结论，再逐步搭建内外角的数量关系桥梁即可。
【解析】
已知：如图，∠1，∠2，∠3为△ABC的三个外角。
求证：∠1+∠2+∠3=360°。
证明：
∵∠1是△ABC的外角，根据三角形外角的性质（外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠1=∠ABC+∠ACB。
同理可得，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC。
将三个等式左右两边分别相加：
∠1+∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)+(∠ABC+∠BAC)+(∠ACB+∠BAC)
化简后得：∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)
又
∵根据三角形内角和定理，△ABC的内角和∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴代入得∠1+∠2+∠3=2×180°=360°，结论得证。
【答案】
已知：如图，∠1，∠2，∠3为△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
证明：
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB.
同理，得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC.
∴∠1+∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)+(∠ABC+∠BAC)+(∠ACB+∠BAC)=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°.
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理、角度运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心解题思路是通过外角性质将未知的外角和转化为已知的内角和进行计算，既考查学生对三角形内外角相关性质的掌握程度，也能锻炼学生逻辑推理、规范书写证明过程的能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.
(1)判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论.
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条直线
(3)由此可以探究并得到：如果两条直线
(1)判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论.
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条直线
平行
，那么内错角的平分线互相平行
.(3)由此可以探究并得到：如果两条直线
平行
，那么同旁内角的平分线互相垂直
.答案
4. 解：(1) EM//FN.
证明:
∵∠1+∠2=180°, ∠EFD+∠2=180°,
∴∠1=∠EFD.
∴AB//CD.
∴∠BEF=∠CFE.
∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3=∠4.
∴EM//FN.
(2) 平行；平行
(3) 平行；垂直
证明:
∵∠1+∠2=180°, ∠EFD+∠2=180°,
∴∠1=∠EFD.
∴AB//CD.
∴∠BEF=∠CFE.
∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3=∠4.
∴EM//FN.
(2) 平行；平行
(3) 平行；垂直
解析
【分析】
（1）要判断EM与FN的位置关系，先从已知条件$∠1+∠2=180°$入手，结合邻补角的性质先证明$AB// CD$，再利用平行线的性质得到内错角$∠ BEF=∠ CFE$，结合角平分线的定义得到新的一组内错角相等，即可判定$EM// FN$；（2）根据（1）的推导过程直接总结命题即可，前提为两直线平行，结论是内错角的平分线平行；（3）拓展推导：两直线平行时同旁内角互补，两条平分线分出的两个角之和为$90°$，即可得到同旁内角的平分线互相垂直。
【解析】
(1) $EM// FN$，证明如下：
$\because ∠1+∠2=180°$，$∠ EFD+∠2=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠1=∠ EFD$（同角的补角相等），
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ BEF=∠ CFE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EM$，$FN$分别平分$∠ BEF$和$∠ CFE$，
$\therefore ∠4=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠3=\frac{1}{2}∠ CFE$（角平分线的定义），
$\therefore ∠3=∠4$（等量代换），
$\therefore EM// FN$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 结合(1)的推导，命题为：如果两条直线平行，那么内错角的平分线互相平行。
(3) 两条直线平行时，同旁内角和为$180°$，两个角的平分线分出的角之和为$\frac{1}{2}×180°=90°$，故命题为：如果两条直线平行，那么同旁内角的平分线互相垂直。
【答案】
(1) $EM// FN$，证明见解析；
(2) 平行；平行
(3) 平行；垂直
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定、性质及角平分线的定义，同时考查归纳命题的能力，解题时按照“从已知条件出发，逐步推导隐含结论”的思路即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断EM与FN的位置关系，先从已知条件$∠1+∠2=180°$入手，结合邻补角的性质先证明$AB// CD$，再利用平行线的性质得到内错角$∠ BEF=∠ CFE$，结合角平分线的定义得到新的一组内错角相等，即可判定$EM// FN$；（2）根据（1）的推导过程直接总结命题即可，前提为两直线平行，结论是内错角的平分线平行；（3）拓展推导：两直线平行时同旁内角互补，两条平分线分出的两个角之和为$90°$，即可得到同旁内角的平分线互相垂直。
【解析】
(1) $EM// FN$，证明如下：
$\because ∠1+∠2=180°$，$∠ EFD+∠2=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠1=∠ EFD$（同角的补角相等），
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ BEF=∠ CFE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EM$，$FN$分别平分$∠ BEF$和$∠ CFE$，
$\therefore ∠4=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠3=\frac{1}{2}∠ CFE$（角平分线的定义），
$\therefore ∠3=∠4$（等量代换），
$\therefore EM// FN$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 结合(1)的推导，命题为：如果两条直线平行，那么内错角的平分线互相平行。
(3) 两条直线平行时，同旁内角和为$180°$，两个角的平分线分出的角之和为$\frac{1}{2}×180°=90°$，故命题为：如果两条直线平行，那么同旁内角的平分线互相垂直。
【答案】
(1) $EM// FN$，证明见解析；
(2) 平行；平行
(3) 平行；垂直
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定、性质及角平分线的定义，同时考查归纳命题的能力，解题时按照“从已知条件出发，逐步推导隐含结论”的思路即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
